Matematik Ödevleri ve Cevapları Nasıl Kontrol Edilir?

Kontrol etmek neden öğrenilebilir?

Birçok öğrenci için kontrol etmek çözümü bir kez daha okumak demektir ve bu neredeyse hiçbir zaman bir şey ortaya çıkarmaz: göz görmeyi beklediği şeyi görür. Gerçek kontrol aynı sonuca başka bir yoldan ulaşmaktır; böylece ilk yoldaki bir hata bir çelişki olarak ortaya çıkar. Aşağıdaki yolların her biri böyle bir yol sunar. Çoğu bir dakikadan az sürer ve birlikte ödevlerdeki ve sınavlardaki hataların büyük çoğunluğunu bulur.

Kontrol etmek anlamayı da geliştirir. Bir kökü denkleme yerine koymak, kökün aslında ne olduğunu hatırlatır. İlkel fonksiyonun türevini almak iki işlem arasındaki bağı hatırlatır. Zamanla alışkanlık hâline getirerek kontrol eden kişi yanlış cevaplar için bir sezgi geliştirir; bu, matematikteki en değerli içgüdülerden biridir.

1. Çözümü yerine koyun

Bir denklemin kökü onu doğru bir eşitliğe dönüştüren değerdir; bu yüzden en doğrudan kontrol onu yerine koymaktır. Bunun için çözümün sonraki satırlarından birini değil, başlangıçtaki denklemi kullanın; aksi hâlde ilk adımlardaki bir hata fark edilmeden kalır.

İki tarafın karesini aldıysanız ya da bilinmeyen içeren bir ifadeyle çarptıysanız yerine koyma zorunludur, çünkü bu adımlar yabancı kökler doğurabilir. $\sqrt{x + 7} = x - 5$ denklemini kare alarak çözünce $x^2 - 11x + 18 = 0$, yani $x = 9$ ya da $x = 2$ elde ederiz. Yerine koyma $\sqrt{16} = 4 = 9 - 5$ ile ilk değerin sağladığını, ama $\sqrt{9} = 3$ iken $2 - 5 = -3$ olduğunu gösterir; bu yüzden $x = 2$ atılmalıdır.

2. Ters işlemi yapın

Pek çok işlemin onu geri alan bir tersi vardır ve bu ters işlemi yapmak çoğu zaman daha kolaydır. Çarpanlara ayırma parantez açarak, bölme çarparak, ilkel fonksiyon ise türev alarak kontrol edilir.

• Çarpanlara ayırma: $x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)$ yazdıysanız sağ taraftaki parantezleri açın: $x^2 - 3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$.
• Bölme: $391 \div 17 = 23$ ise $17 \times 23 = 391$ olduğunu kontrol edin.
• İlkel fonksiyonlar: $\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$ ise $\sin(x^2)$'nin zincir kuralıyla türevi gerçekten $2x\cos(x^2)$ verir.
• Logaritmalar: $\log_2 32 = 5$ ise $2^5 = 32$ olduğunu kontrol edin.
• Ters fonksiyonlar: $f^{-1}$ doğru bulunduysa birkaç deneme değeri için $f(f^{-1}(x)) = x$ olur.

3. Önce ve sonra tahmin yapın

Hesaplamadan önce yapılan kaba bir tahmin size bir referans noktası verir. $49 \times 21$ çarpımını $50 \times 20 = 1000$'e yuvarlarsanız 1029 olan kesin sonucun makul olduğu, 10 290 ya da 129'un ise büyük hatalar olacağı görülür. Tahmin özellikle hesap makinesiyle çalışırken yararlıdır; orada yanlış girilen bir rakam ya da kayan bir virgül tamamen farklı büyüklükte bir sonuç verir.

Sözel problemlerde cevabın bağlam içinde anlamlı olup olmadığını kendinize sorun. Bir insanın boyu 25 metre olamaz, bir olasılık negatif olamaz ve bir otomobil saatte 900 km ortalama hızla gidemez. Bu tür makullük kontrolleri birkaç saniye sürer ve en pahalı hatalardan bazılarını yakalar.

4. Cevabın yapısını kullanın

Pek çok cevap, problemi yeniden çözmeden kontrol edilebilecek ilişkileri sağlar. Kökleri $r_1$ ve $r_2$ olan $ax^2 + bx + c = 0$ ikinci dereceden denklemi için köklerin toplamı ve çarpımı Vieta formüllerini sağlamalıdır:

$x^2 - 5x + 6 = 0$ için 2 ve 3 köklerinin toplamı 5, çarpımı 6'dır; bu da $-\frac{-5}{1}$ ve $\frac{6}{1}$ ile uyumludur. Diğer yapısal kontroller simetri, işaretler ve derecelerle ilgilidir: 2. dereceden bir polinomla 3. dereceden bir polinomun çarpımı 5. dereceden olmalıdır, iki satırı aynı olan bir matrisin determinantı sıfıra eşit olmalıdır ve bir dağılımın olasılıklarının toplamı 1 vermelidir.

5. Özel ya da basit değerleri deneyin

Cevap bir sayı değil de bir ifade ya da özdeşlikse onu kullanışlı değerlerle deneyin. Bir ifadeyi sadeleştirdiyseniz başlangıçtaki ve sadeleştirilmiş biçim tüm tanımlı değerlerde aynı olmalıdır. $x = 0$, $x = 1$ ve $x = 2$'yi deneyin; bunlardan birinde bile uyuşmazlık bir hata olduğunu kanıtlar.

Türevler küçük bir artımla sayısal olarak kontrol edilebilir. $f(x) = x^3$ için türev $3x^2$'dir, yani $f'(2) = 12$. $\frac{2.001^3 - 1.999^3}{0.002} = 12.000001$ değişim hızı neredeyse tam olarak uyuşur ve sonucu doğrular. Aynı yaklaşım limitler ve birkaç dikdörtgenle tahmin edilen integraller için de işe yarar.

6. Birimleri ve boyutları kontrol edin

Fen bilimlerinde ve uygulamalı matematikte ölçü birimleri bedava bir kontrol sağlar. Alan kare birimlerle, hacim küp birimlerle, hız ise birim zamandaki uzaklık birimleriyle ifade edilmelidir. Bir alan formülü sonucu metrekare değil de metre olarak veriyorsa bir yerde bir çarpan eksiktir. Birimleri çözümün her satırında taşırsanız bu tür hatalar hemen görünür hâle gelir.

7. Başka bir yolla çözün

Önemli problemler için ikinci bir çözüm yolu en güvenilir kontroldür. Yerine koyma yöntemiyle çözülen bir denklem sistemi yok etme yöntemiyle yeniden çözülebilir; çarpanlara ayırarak çözülen ikinci dereceden bir denklem diskriminantla kontrol edilebilir; bir integral sayısal bir tahminle karşılaştırılabilir. Birbirinden bağımsız iki yol aynı sonucu veriyorsa cevap neredeyse kesinlikle doğrudur.

Grafikler görsel bir alternatif sunar. Bir denklemin kökleri, sol ve sağ taraflarının grafiklerinin kesişim noktalarının apsisleridir; bir polinomun sıfırları ise grafiğinin x eksenini kestiği noktalardır. Bir taslak ya da bir grafik çizici, çözüm sayınızın doğru olup olmadığını ve çözümlerin aşağı yukarı orada bulunup bulunmadığını bir bakışta gösterir.

8. Adım adım bir çözücüyle karşılaştırın

Bitirdiğinizde çözümünüzü denklem hesap makinesi, çarpanlara ayırma hesap makinesi ya da türev hesap makinesi gibi adım adım çalışan bir araçla karşılaştırın. Cevaplar farklıysa aracın cevabını öylece kopyalamayın. Adımların ayrıldığı ilk satırı bulun: hatanız oradadır ve onu anlamak tekrarlamanızı önler. En yaygın hataların bir özeti matematikte dikkatsizlik hatalarından nasıl kaçınılır makalesinde yer alıyor.

En ucuz kontrolle başlayın. Yerine koyma ve tahmin saniyeler, tamamen yeniden çözmek ise dakikalar sürer. Zahmetli kontrolleri en çok puan getiren problemlere ya da hızlı bir kontrolün başarısız olduğu durumlara saklayın.

Zamanın kısıtlı olduğu bir sınavda kontrol sırası

Sınavda her şeyi yeniden çözmeye neredeyse hiçbir zaman vakit olmaz; bu yüzden seçici kontrol etmek gerekir. Çalışırken emin olmadığınız, uzun hesap yaptığınız ya da iki tarafın karesini aldığınız problemleri işaretleyin. Sonda önce işaretli problemlere dönün. Her biri için genellikle yerine koyma ya da tahmin olmak üzere hızlı bir kontrol yapın ve başarısız olmadıysa devam edin. Kalan süreyi her problemin sorusunu yeniden okuyup tam olarak sorulan soruyu, istenen biçimde, doğru birimlerle ve belirtilen yuvarlamayla yanıtladığınızdan emin olmak için kullanın. Bu sıra, kontrol için harcanan her dakikada en fazla hatayı bulur.

Sıkça sorulan sorular