Matris Hesap Makinesi

Matris hesap makinesi hakkında

Matrisler sayıları satırlar ve sütunlar halinde düzenler; doğrusal cebirin, bilgisayar grafiklerinin, ekonomik modellerin, istatistiğin ve makine öğreniminin dilidir. İşlemlerin kendisi basittir, ama çok sayıda küçük çarpma ve toplamadan oluşur; tek bir elemandaki tek bir hata da tüm cevabı bozar.

Hesap makinesi dokuz matris işlemi yapar: çarpım, toplam, fark, sayıyla çarpma, tam sayı kuvvetleri, devrik alma, satır basamak biçimine indirgeme, rank ve iz. Elemanlar tam sayı, ondalık sayı veya kesir olabilir ve tüm hesaplar tamdır: $\frac32$ gibi bir sonuç yuvarlanmış ondalık sayı olarak değil, kesir olarak verilir. Satır basamak biçimine indirgemede her satır işlemi sırayla listelenir.

Matris nedir?

Matris, $m$ satır ve $n$ sütundan oluşan dikdörtgen bir sayı tablosudur ve $m \times n$ boyutlu matris olarak adlandırılır. $i$ satırı ve $j$ sütunundaki eleman $a_{ij}$ ile gösterilir. Bir kare matrisin satır sayısı sütun sayısına eşittir; $I$ birim matrisinin ana köşegeninde birler, diğer her yerde sıfırlar bulunur.

Matrisler doğrusal dönüşümleri ve doğrusal denklem sistemlerini tanımlar. Bir matrisi bir vektörle çarpmak, döndürme veya germe gibi bir dönüşümü uygulamak; iki matrisi çarpmak ise iki dönüşümü tek bir dönüşümde birleştirmek demektir.

Matris hesap makinesi nasıl kullanılır?

Listeden bir işlem seçin.
Elemanları boşluklarla, satırları noktalı virgüllerle ayırarak A matrisini girin, örneğin 1 2; 3 4.
Çarpım, toplam ve fark için B matrisini aynı biçimde girin.
Sayıyla çarpma veya kuvvet alma için $k$ sayısını girin.
«Hesapla» düğmesine basın ve sonuca kadar adımları izleyin.

Formüller

Matris çarpımının elemanı

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

Toplam

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Devrik matris

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

Matrisin izi

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i} a_{ii}

Çözümlü örnek: A × B (2×2)

Örnekte $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$ matrisi $B = \begin{pmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{pmatrix}$ ile çarpılır. Çarpımın her elemanı, $A$ matrisinin bir satırıyla $B$ matrisinin bir sütununun iç çarpımıdır; sol üst eleman $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ olur.

Bu hesap kalan üç konum için tekrarlanınca $\begin{pmatrix}19 & 22\\43 & 50\end{pmatrix}$ elde edilir. Ters sırayla $\begin{pmatrix}23 & 34\\31 & 46\end{pmatrix}$ elde edilir; bu farklı matris, matris çarpımının değişmeli olmadığını gösterir.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}

Probleminizi nasıl okuduk

A × B ifadesini tam olarak hesaplayalım.

Adım adım çözüm

A matrisini okuyalım
$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\ (2×2)$
Matrisi okuyalım: B
$B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}\ (2×2)$
Her eleman, A matrisinin bir satırıyla şu matrisin bir sütununun iç çarpımıdır: B
Sonuç: 2×2.
$c_{11} = (1)(5) + (2)(7) = 19$
Sonuç
$\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}$

Kullanılan formüller

Matris çarpımı
$c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$

A matrisinin boyutu 2×2, B matrisinin boyutu 2×2 olduğundan AB matrisinin boyutu 2×2 olur. Matris çarpımı değişmeli değildir: BA genel olarak farklıdır.

Doğrulama

Tüm işlemler tamdır (kesirlerle, yuvarlama olmadan).

Ayrıntılı açıklama

İşlemler ne zaman tanımlıdır?

Toplam ve fark aynı boyutta matrisler gerektirir ve eleman eleman hesaplanır. $AB$ çarpımı, $A$ matrisinin sütun sayısının $B$ matrisinin satır sayısına eşit olmasını gerektirir; bir $m \times n$ matrisin bir $n \times p$ matrisle çarpımı $m \times p$ boyutunda bir sonuç verir. Bir $2 \times 3$ matris bir $2 \times 2$ matrisle çarpılamaz; hesap makinesi bir hata kodu vermek yerine boyut uyuşmazlığını açıklar.

Kuvvetler yalnızca kare matrisler için tanımlıdır, çünkü $A \cdot A$ uyumlu boyutlar gerektirir. $\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ matrisinin beşinci kuvveti alınınca elemanları Fibonacci sayıları olan $\begin{pmatrix}8 & 5\\5 & 3\end{pmatrix}$ elde edilir.

Satır basamak biçimi ve rank

İndirgenmiş satır basamak biçimi üç temel satır işlemiyle elde edilir: iki satırın yerini değiştirmek, bir satırı sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak ve bir satıra başka bir satırın katını eklemek. Amaç, sıfırdan farklı her satırda üstünde ve altında sıfırlar bulunan bir 1 pivot elemanı olmasıdır. İndirgenmiş satır basamak biçimi, doğrusal denklem sistemlerini çözmenin, taban bulmanın ve doğrusal bağımsızlığı incelemenin standart yoludur.

Rank, indirgenmiş satır basamak biçimindeki sıfırdan farklı satırların sayısıdır; bu aynı zamanda doğrusal bağımsız satırların veya sütunların sayısıdır. $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{pmatrix}$ matrisi bir sıfır satırı içeren biçime getirilebilir, bu yüzden rankı 2'dir: üçüncü satır ilk ikisinin bir birleşimidir.

Devrik ve iz

Devrik matris, matrisin ana köşegene göre yansımasıdır: satırlar sütun olur. İç çarpımlarda, en küçük kareler yönteminde ve kendi devriğine eşit olan simetrik matrisin tanımında karşımıza çıkar. İz, bir kare matrisin köşegen elemanlarının toplamıdır; özdeğerlerin toplamına eşittir, bu da onu özdeğer hesaplarında hızlı bir kontrol yapar.

Sık yapılan hatalar

Matrisleri «satır çarpı sütun» kuralıyla değil, eleman eleman çarpmak.
$AB = BA$ sanmak; çarpanların sırası önemlidir.
Farklı boyutlardaki matrisleri toplamaya çalışmak.
Çarpımın boyutunu yanlış belirlemek; bir $m \times n$ matrisin bir $n \times p$ matrisle çarpımı $m \times p$ verir.
İşlemler sırasında bir satırı sıfırla çarpmak; bu yüzden bilgi kaybolur.

İpuçları

Çarpımın var olup olmadığını kontrol etmek için çarpmadan önce her matrisin yanına boyutunu yazın.
Satır işlemlerinin tam kalması için yuvarlanmış ondalık sayılar yerine kesirler kullanın.
Çarpımı, bir elemanı elle yeniden hesaplayarak kontrol edin.
Bir kare matrisin tersinir olup olmadığını kontrol etmek için determinant hesap makinesini kullanın.
Matrisiniz bir doğrusal denklem sisteminden geliyorsa denklem sistemi hesap makinesini kullanın.

Sıkça sorulan sorular

Matris nasıl girilir?

Bir satırın elemanlarını boşluklarla veya virgüllerle, satırları ise noktalı virgüllerle ayırın. Örneğin 1 2; 3 4, satırları (1, 2) ve (3, 4) olan 2×2 bir matristir.

Matris çarpımı neden değişmeli değildir?

AB, A matrisinin satırlarını B matrisinin sütunlarıyla; BA ise B matrisinin satırlarını A matrisinin sütunlarıyla birleştirir. Bunlar farklı hesaplardır: genel olarak sonuçlar farklıdır, bazen de çarpımlardan biri vardır, diğeri yoktur.

İki matris ne zaman çarpılabilir?

Birincinin sütun sayısı ikincinin satır sayısına eşit olduğunda. Çarpımın satır sayısı birinci matrisinkine, sütun sayısı ikinci matrisinkine eşittir.

İndirgenmiş satır basamak biçimi nedir?

Sıfırdan farklı her satırın bir 1 pivotuyla başladığı, her 1 pivotunun bir önceki satırın 1 pivotunun sağında yer aldığı ve pivot sütunundaki diğer tüm elemanların sıfır olduğu biçimdir.

Matrisin rankı neyi ölçer?

Doğrusal bağımsız satırların veya sütunların sayısını. Bir kare matris için tam rank, matrisin tersinir olduğu ve karşılık gelen doğrusal denklem sisteminin tek bir çözümü olduğu anlamına gelir.

Matriste kesir kullanılabilir mi?

Evet. 1/2 gibi elemanlar kabul edilir ve tüm sonuçlar tam kesirlerle hesaplanır.

Matrisin izi nedir?

Bir kare matrisin ana köşegenindeki elemanların toplamıdır. Matrisin özdeğerlerinin toplamına da eşittir.

Matris hesap makinesini deneyin

Matrisleri girin, bir işlem seçin ve tam sonucu her adımın açıklamasıyla alın.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun