İç Çarpım Hesap Makinesi

İç çarpım hesap makinesi hakkında

İç çarpım, iki vektörü karşılaştırmanın en basit yoludur. Karşılık gelen bileşenler çarpılır ve sonuçlar toplanır; vektörlerin ne ölçüde aynı yöne baktığını gösteren tek bir sayı elde edilir. Bu sayıyla vektörler arasındaki açı bulunur, dik olup olmadıkları kontrol edilir ve bir vektör diğerinin üzerine izdüşürülür.

Hesap makinesi, ikisinde de eşit sayıda bileşen olduğu sürece her bileşen sayısındaki vektörleri kabul eder. Bileşen çarpımlarını, toplamlarını, iki uzunluğu, derece cinsinden açıyı ve birinci vektörün ikinci üzerine skaler ve vektörel izdüşümlerini gösterir. Vektörlerden biri sıfır vektörüyse açının neden belirlenemeyeceğini açıklar.

İç çarpım nedir?

$\mathbf{u} = \langle u_1, \dots, u_n \rangle$ ve $\mathbf{v} = \langle v_1, \dots, v_n \rangle$ vektörlerinin iç çarpımı $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$ olur. Vektörel çarpımdan farklı olarak sonuç bir vektör değil, bir sayıdır.

Geometrik olarak $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta$ olur; burada $\theta$ vektörler arasındaki açıdır. İç çarpım, açı dar açıysa pozitif, vektörler dikse sıfır, açı geniş açıysa negatiftir.

İç çarpım hesap makinesi nasıl kullanılır?

Birinci vektörün bileşenlerini virgülle ayırarak girin, örneğin 1, 2, 3.
Aynı sayıda bileşeni olan ikinci vektörü girin.
«Hesapla» düğmesine basın.
İç çarpıma, vektörlerin uzunluklarına ve aralarındaki açıya bakın.
Bir vektörün diğerinin yönündeki bileşenine ihtiyacınız varsa izdüşüm adımını kullanın.

Formüller

İç çarpım

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i

Vektörün uzunluğu

|\mathbf{u}| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}

İki vektör arasındaki açı

\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}

u vektörünün v üzerine izdüşümü

\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\,\mathbf{v}

Çözümlü örnek: ⟨1,2,3⟩ · ⟨4,−5,6⟩

Örnekte $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ ve $\mathbf{v} = \langle 4, -5, 6 \rangle$ kullanılır. Bileşen çarpımları 4, $-10$ ve 18, toplamları ise 12'dir.

Uzunluklar $\sqrt{14}$ ve $\sqrt{77}$ olduğundan $\cos\theta = \frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{77}}$ olur ve açı yaklaşık $68.56°$ çıkar. Pozitif iç çarpım açının dar açı olduğunu doğrular.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

u v = 12

Probleminizi nasıl okuduk

İki 3 boyutlu vektörün iç çarpımı.

\langle 1, 2, 3 \rangle \cdot \langle 4, -5, 6 \rangle

Adım adım çözüm

Karşılık gelen bileşenleri çarpalım
$(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)$
Çarpımları toplayalım
$u v = 4 - 10 + 18 = 12$
Uzunlukları bulalım
$|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387$
Vektörler arasındaki açı
$\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ rad})$
u vektörünün v üzerine skaler ve vektörel izdüşümü
$\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle$

Kullanılan formüller

İç çarpım
$u \cdot v = \sum u_i v_i = |u||v|\cos\theta$

İç çarpım pozitif, bu yüzden vektörler arasındaki açı dar açıdır.

Doğrulama

Tam olarak hesaplandı; iç çarpım simetriktir, bu yüzden v·u aynı değeri verir.

Ayrıntılı açıklama

Açı nasıl ölçülür ve diklik nasıl kontrol edilir?

Geometrik formülden $\cos\theta$ yalnız bırakılırsa sıfırdan farklı herhangi iki vektör arasındaki açı elde edilir. Açının dar mı geniş mi olduğu yalnızca kosinüsün işaretiyle belirlendiğinden bunun için iç çarpımın işareti yeterlidir; üstelik herhangi bir uzunluğu bulmadan önce.

İki vektör ancak ve ancak iç çarpımları sıfırsa diktir. $\langle 1, 0 \rangle$ ve $\langle 0, 1 \rangle$ için iç çarpım 0, açı ise $90°$ olur. Bu kontrol her boyutta işe yarar; bu yüzden açıların artık çizilemediği dört boyuttan itibaren diklik iç çarpımla belirlenir.

Dik izdüşümler

$\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ skaler izdüşümü, $\mathbf{u}$ vektörünün $\mathbf{v}$ yönündeki doğruya düşürdüğü «gölgenin» işaretli uzunluğudur. Vektörel izdüşüm, $\mathbf{v}$ yönündeki birim vektörün bu uzunlukla çarpımıdır. İzdüşüm $\mathbf{u}$ vektöründen çıkarılırsa $\mathbf{v}$ vektörüne dik olan bileşen kalır: Gram–Schmidt dikleştirme yöntemi ve en küçük kareler yöntemi bu fikre dayanır.

Fizikte bir cismi $\mathbf{d}$ vektörü kadar hareket ettiren sabit bir $\mathbf{F}$ kuvvetinin yaptığı iş $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}$ olur: işi yalnızca kuvvetin hareket yönündeki bileşeni yapar.

Özellikler

İç çarpım simetriktir, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$ , ve toplama üzerine dağılır. Bir vektörün kendisiyle iç çarpımı uzunluğunun karesine eşittir; uzunluklar da tam olarak böyle hesaplanır. Vektörlerden biri $k$ ile çarpılırsa iç çarpım da $k$ ile çarpılır; pozitif $k$ için açı değişmez.

İç çarpım kosinüs teoremiyle de bağlantılıdır. $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v})$ açılınca $|\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ elde edilir; bu, iki vektör ve farklarının oluşturduğu üçgen için tam olarak kosinüs teoremidir. Bu özdeşlik, açı formülünün neden işe yaradığını açıklar.

Sık yapılan hatalar

Cevapta bir vektör beklemek; iç çarpım tek bir sayıdır.
Karşılık gelmeyen bileşenleri çarpmak ya da farklı uzunlukta vektörler almak.
Uzunlukları hesaplarken karekök almayı unutmak.
Açı derece cinsinden gerekirken hesap makinesini radyan modunda bırakmak.
Yanlış vektörün üzerine izdüşürmek; $\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}$ ve $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}$ farklıdır.

İpuçları

Önce dikliği kontrol edin: sıfır iç çarpım dik açı demektir.
Açının dar mı geniş mi olduğunu iç çarpımın işaretinden önceden belirleyin.
Vektörler önceden 1 uzunluğa normlanırsa iç çarpım doğrudan $\cos\theta$ değerine eşit olur.
İkisine de dik bir vektör gerekiyorsa vektörel çarpım hesap makinesini kullanın.
Birçok iç çarpımı tek seferde bir matris çarpımı olarak bulmak için matris hesap makinesini kullanın.
Çarpmadan önce karşılık gelen bileşenlerin karşı karşıya gelmesi için iki vektörü sütun olarak yan yana yazın.

Sıkça sorulan sorular

İç çarpım nasıl bulunur?

İki vektörün karşılık gelen bileşenlerini çarpın ve çarpımları toplayın. ⟨1, 2, 3⟩ ve ⟨4, −5, 6⟩ için 4 − 10 + 18 = 12 elde edilir.

İki vektör arasındaki açı nasıl bulunur?

İç çarpımı uzunlukların çarpımına bölün ve arkkosinüsünü alın. Hesap makinesi açıyı derece cinsinden gösterir.

Sıfır iç çarpım ne anlama gelir?

İkisi de sıfır vektörü değilse vektörlerin dik olduğu anlamına gelir.

İç çarpım negatif olabilir mi?

Evet. Negatif iç çarpım, vektörler arasındaki açının 90°'den büyük olduğu anlamına gelir.

Hesap makinesi üçten fazla boyutta çalışır mı?

Evet. İkisinde de eşit sayıda bileşen olduğu sürece vektörlerin istediğiniz kadar bileşeni olabilir.

İç çarpımın vektörel çarpımdan farkı nedir?

İç çarpım, yönlerin ne kadar uyumlu olduğunu ölçen bir sayı verir ve her boyutta çalışır. Vektörel çarpım, verilen iki vektöre de dik bir vektör verir ve yalnızca üç boyutlu uzaydaki vektörler için tanımlıdır.

Vektörlerden biri sıfır vektörüyse ne olur?

İç çarpım 0 olur, ama sıfır vektörünün yönü olmadığından açı tanımsızdır. Hesap makinesi açı vermek yerine bunu bildirir.

İç çarpım hesap makinesini deneyin

İki vektör girin; iç çarpımı, aralarındaki açıyı ve izdüşümü her adımın açıklamasıyla alın.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun