Örneklerle Kosinüs Teoremi

Formül

Üçgeni her zamanki gibi adlandırın: $A$, $B$, $C$ açıları ve bunların karşısındaki $a$, $b$, $c$ kenarları. Kosinüs teoreminin her kenar için bir tane olmak üzere üç yazılışı vardır ve hepsi aynı kalıba göre kurulur:

Onu şöyle okuyun: bir kenarın karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamından bir düzeltme teriminin çıkarılmasına eşittir. Bu terimdeki açı, sol taraftaki kenarın karşısındadır ve aynı zamanda sağ taraftaki iki kenarın arasındaki açıdır. $C = 90^\circ$ olduğunda $\cos C = 0$ olur ve düzeltme ortadan kalkar: geriye $c^2 = a^2 + b^2$ kalır. Demek ki Pisagor teoremi özel bir durumdur.

Kosinüs yalnız bırakılırsa açıları hesaplamaya yarayan biçim elde edilir:

Koordinatlarla kısa bir ispat

$C$ köşesini orijine, $a$ kenarını ise pozitif x yarı eksenine yerleştirin: o zaman $B$ köşesi $(a, 0)$ noktasında olur. $A$ köşesi orijinden $C$ açısı doğrultusunda $b$ kadar uzaktadır; bu yüzden koordinatları $(b\cos C, b\sin C)$'dir.

$c$ kenarı, $A$ ile $B$ arasındaki uzaklıktır. Uzaklık formülüne göre $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2$. Parantezleri açınca $b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C$ elde ederiz ve $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$ olduğundan bu $a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ olur. İspat, $C$ açısı ister dar ister geniş olsun geçerlidir, çünkü koordinatlar işaretleri kendiliğinden hesaba katar.

Aynı özdeşlik vektör biçiminde de ortaya çıkar, $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$, ve iki vektör arasındaki açının iç çarpım yardımıyla bulunabilmesinin nedeni de budur.

Kenar bulma: iki kenar ve aralarındaki açı

İki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde (KAK) sinüs teoremiyle başlanamaz, çünkü hiçbir kenar karşısındaki açıyla bir çift oluşturmaz. Kosinüs teoremi üçüncü kenarı hemen verir.

Açı bulma: üç kenarın hepsi biliniyor

Üç kenarın hepsi biliniyorsa (KKK) her açı için kosinüs biçimini kullanın. En uzun kenarın karşısındaki en büyük açıyla başlayın. Bu açı genişse kosinüsü negatiftir ve arkkosinüs bunu doğru işler, çünkü $0^\circ$ ile $180^\circ$ arasındaki açıları verir. En büyük açı bilindiğinde diğer ikisi mutlaka dardır ve o zaman sinüs teoremi bile hiçbir belirsizlik olmadan gerisini tamamlayabilir.

Üç uzunluk bir üçgen oluşturamıyorsa bu formülden görülür: kosinüs $[-1, 1]$ aralığının dışına çıkar. Kenarlar 3, 4 ve 8 olduğunda 8'in karşısındaki açı için $\cos = \frac{9 + 16 - 64}{24} = -1.625$ elde edilirdi; bu imkânsızdır ve $3 + 4 < 8$ üçgen eşitsizliğiyle uyumludur.

Hesap makinesi olmadan dar, dik ya da geniş açılı

$a^2 + b^2 - c^2$ ifadesinin işareti $\cos C$'nin işaretiyle aynıdır. $c$ en uzun kenarsa hızlı bir sınıflandırma elde edilir:

• $c^2 < a^2 + b^2$: en büyük açı dardır, dolayısıyla üçgen dar açılıdır.
• $c^2 = a^2 + b^2$: üçgen dik üçgendir.
• $c^2 > a^2 + b^2$: üçgen geniş açılıdır.

5, 7 ve 10 kenarları için $100 > 74$ olur: üçgen geniş açılıdır; bunu örnek 3 doğrulamıştı. 6, 8 ve 9 için $81 < 100$ olur: üçgen dar açılıdır.

Üç kenardan alan: Heron formülü

Kosinüs teoremi $\frac{1}{2}ab\sin C$ alan formülüyle birleştirilirse yalnızca kenar uzunluklarını kullanan Heron formülü elde edilir. $s = \frac{a + b + c}{2}$ yarı çevre olsun. O zaman:

5, 7 ve 10 kenarları için $s = 11$ olur ve alan $\sqrt{11 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{264} \approx 16.25$'tir. Kontrol için $\frac{1}{2}(5)(7)\sin 111.80^\circ$ da aynı sonucu, 16,25'i verir.

İki teorem arasında seçim

Kosinüs teoremini KAK ve KKK durumlarında, yani kenar ve karşı açı çifti bulunmayan iki durumda kullanın. Bir kenarınız ve onun karşısındaki açınız varsa sinüs teoremini kullanın. Karma problemlerde genellikle önce kosinüs teoremi uygulanır, çözümü ise sinüs teoremi tamamlar. Üçgen çözme rehberi tüm durumları tek bir yerde toplar.

Kosinüs teoreminin pratik üstünlüğü, bir açı için hiçbir zaman belirsiz bir cevap vermemesidir: $-1$ ile 1 arasındaki her kosinüse $0^\circ$ ile $180^\circ$ arasında tam olarak bir açı karşılık gelir. Sinüs teoremi ise bir dar açıyı onun bütünleri olan geniş açıdan ayırt etmez. Bu yüzden pek çok ders kitabı, geniş bir açının mümkün olduğu her durumda en büyük açıyı kosinüsle bulmayı önerir.

Sık yapılan hatalar

• Önce $a^2 + b^2 - 2ab$'yi hesaplayıp sonra $\cos C$ ile çarpmak. $2ab\cos C$ çarpımı çıkarmadan önce hesaplanmalıdır.
• Verilen iki kenarın arasında olmayan bir açıyı almak.
• Bir kenarı bulurken sondaki karekökü unutmak.
• Hesap makinesinde dereceyle radyanı karıştırmak.
• $c$'yi çok erken yuvarlayıp ardından bu yuvarlanmış değeri açıları bulmak için kullanmak.

Kosinüs teoremi hesap makinesi KAK, KKK ve diğer durumları her yerine koymayı göstererek çözer. Özel açıların kosinüslerinin tam değerlerini tekrar etmek için birim çember hesap makinesini kullanın.

Kosinüs teoremi nerelerde uygulanır?

Bilinen iki uzaklık ve aralarındaki açının bulunduğu her durum, kosinüs teoremine uygun bir problemdir. Denizciler onunla, farklı rotalara sahip iki yol parçasından sonra bir geminin limandan ne kadar uzakta olduğunu hesaplar. Mühendisler, bilinen bir açı oluşturan iki kirişin uçlarını birleştiren bir payandanın ya da halatın uzunluğunu belirler. Robotikte, iki kollu bir manipülatörün her ekleminin bir noktaya ulaşmak için ne kadar dönmesi gerektiği, her iki kolun uzunluğu ve hedefe olan uzaklık bilindiğinden açıyı kosinüs teoreminden çekerek bulunur.

Veri biliminde aynı formül, iki sayı listesinin ne kadar benzer olduğunu ölçer. Her liste bir vektör olarak düşünülürse aralarındaki açının iç çarpımla hesaplanan kosinüsüne kosinüs benzerliği denir; bu, arama motorlarında ve öneri sistemlerinde kullanılır. Geometri üçgendekiyle aynıdır; değişen yalnızca boyut sayısıdır.

Çözümlü alıştırmalar

1. 4 ve 6 kenarları $120^\circ$'lik bir açı oluşturuyor. Üçüncü kenarı bulun. Çözüm: $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ olduğundan $\sqrt{16 + 36 + 24} = \sqrt{76} \approx 8.72$.
2. Kenarları 7, 8 ve 13 olan üçgenin en büyük açısını bulun. Çözüm: $\cos C = \frac{49 + 64 - 169}{112} = -\frac{1}{2}$; demek ki açı tam olarak $120^\circ$'dir.
3. Kenarları 9, 12 ve 15 olan üçgen dar açılı mı, dik mi, geniş açılı mı? Çözüm: $81 + 144 = 225 = 15^2$; demek ki dik üçgendir.
4. Kenarları 13, 14 ve 15 olan üçgenin alanını bulun. Çözüm: $s = 21$, alan $= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$.

Sıkça sorulan sorular