Birim Çember: Radyanlar, Referans Açılar ve Tam Değerler

Birim çember nedir?

Birim çember, merkezi orijinde olan, yarıçapı 1 olan ve $x^2 + y^2 = 1$ denklemiyle verilen çemberdir. Açılar pozitif x yarı ekseninden ölçülür: pozitif açılar için saat yönünün tersine, negatif açılar için saat yönünde. Açının başladığı ışına başlangıç kenarı, bittiği ışına ise bitiş kenarı denir.

Her $\theta$ açısı için bitiş kenarı çemberi tam olarak bir noktada keser. Birim çemberi bu kadar kullanışlı yapan tanım şudur: bu noktanın koordinatları $(\cos\theta, \sin\theta)$'dır. Tanjant ise bunların oranıdır:

Dar açılar için bu, belki zaten bildiğiniz dik üçgen tanımlarıyla örtüşür. Noktadan x eksenine bir dikme indirin: hipotenüsü 1, komşu dik kenarı $x$ ve karşı dik kenarı $y$ olan bir dik üçgen elde edilir. Demek ki $\cos\theta = \frac{x}{1}$ ve $\sin\theta = \frac{y}{1}$. Birim çember bu tanımları geniş, negatif ve çok büyük açılar dahil tüm açılara genişletir.

Derece ve radyan

Tam bir dönüş $360^\circ$, yani radyan cinsinden $2\pi$'dir. Radyan, yarıçap uzunluğunda bir yay ayıran açıdır. Yarıçapı 1 olan birim çemberde bir açının radyan ölçüsü, karşılık gelen yayın uzunluğuna tam olarak eşittir; bu yüzden radyan, analizdeki doğal birimdir.

• $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$.
• $150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
• Derece cinsinden $\frac{7\pi}{4}$ radyan $= \frac{7}{4} \times 180^\circ = 315^\circ$.
• Bir radyan yaklaşık olarak $57.3^\circ$'ye eşittir.

Birinci bölgenin özel açıları

Üç açının, iki tanınmış üçgenden gelen tam değerleri vardır. $45^\circ$ açısı, hipotenüsü 1 olan ve iki dik kenarı da $\frac{\sqrt{2}}{2}$'ye eşit olan ikizkenar dik üçgenden gelir. $30^\circ$ ve $60^\circ$ açıları, kenarı 1 olan eşkenar üçgenin yarısından gelir; bu yarının dik kenarları $\frac{1}{2}$ ve $\frac{\sqrt{3}}{2}$'dir.

• $0$: $(1, 0)$ noktası, yani $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$.
• $\frac{\pi}{6}$: $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ noktası, yani $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
• $\frac{\pi}{4}$: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ noktası, yani $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.
• $\frac{\pi}{3}$: $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ noktası, yani $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
• $\frac{\pi}{2}$: $(0, 1)$ noktası, yani $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, $\tan\frac{\pi}{2}$ ise tanımsızdır.

Ezberlemeye bir örüntü yardım eder: $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ açılarının sinüsleri $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$'dir; kosinüsler ise aynı listenin tersten sıralanışıdır. Ayrıca tüm noktalar $x^2 + y^2 = 1$'i sağlar; örneğin $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.

Birinci bölgeye indirgeme

Alışılmış on altı noktayı tek tek ezberlemeniz gerekmez. Her açının bir referans açısı vardır: bitiş kenarının x ekseniyle oluşturduğu dar açı. Bir açının koordinatları mutlak değerce referans açısının koordinatlarıyla aynıdır; bölgeye göre yalnızca işaretler değişir.

• Birinci bölge ($0$ ile $\frac{\pi}{2}$ arası): $x$ ve $y$ pozitiftir, bu yüzden üç fonksiyonun hepsi pozitiftir.
• İkinci bölge ($\frac{\pi}{2}$ ile $\pi$ arası): $x$ negatif, $y$ pozitiftir, bu yüzden yalnızca sinüs pozitiftir.
• Üçüncü bölge ($\pi$ ile $\frac{3\pi}{2}$ arası): iki koordinat da negatiftir, bu yüzden yalnızca tanjant pozitiftir.
• Dördüncü bölge ($\frac{3\pi}{2}$ ile $2\pi$ arası): $x$ pozitif, $y$ negatiftir, bu yüzden yalnızca kosinüs pozitiftir.

Benzer şekilde $\frac{3\pi}{4}$'ün referans açısı ikinci bölgede $\frac{\pi}{4}$'tür; bu da $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ noktasını ve $\tan\frac{3\pi}{4} = -1$'i verir.

Negatif açılar ve tam dönüşten büyük açılar

Tam bir dönüş, yani $2\pi$ eklenir ya da çıkarılırsa aynı noktaya varırız; bu yüzden sinüs ve kosinüs her $2\pi$'de bir tekrar eder. Büyük bir açıyı hesaplamak için 0 ile $2\pi$ arasında bir açı elde edene kadar $2\pi$'nin katlarını çıkarın; negatif bir açı için $2\pi$'nin katlarını ekleyin. Bitiş kenarı aynı olan açılar aynı değerleri verir.

• $\frac{17\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$: $\frac{\pi}{4}$ ile aynı noktaya, yani $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$'ye karşılık gelir.
• $-\frac{\pi}{6}$, $\frac{11\pi}{6}$ ile aynı noktaya karşılık gelir; bu yüzden $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ve $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
• $750^\circ = 720^\circ + 30^\circ$, bu yüzden $\sin 750^\circ = \frac{1}{2}$.

x eksenine göre simetri iki kural daha verir: $\cos(-\theta) = \cos\theta$, yani kosinüs çift fonksiyondur, ve $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, yani sinüs tek fonksiyondur. Tanjantın periyodu daha kısadır, $\pi$'dir, çünkü $\theta$ ve $\theta + \pi$ noktaları çapça zıttır ve aynı $\frac{y}{x}$ oranını verir.

Pisagor özdeşliği ve diğer değerler

Çemberin tüm noktaları $x^2 + y^2 = 1$'i sağladığından tüm açılar trigonometrinin en önemli bağıntısını sağlar:

İşareti bölge belirler; bağıntının kendisi yalnızca mutlak değeri verir. Trigonometrik özdeşlikler rehberi buradan pek çok başka özdeşlik türetir.

Temel trigonometrik denklemleri çember üzerinde çözme

$0 \le \theta < 2\pi$ için $\sin\theta = \frac{1}{2}$ gibi bir denklemi çözmek için çember üzerinde ordinatı $\frac{1}{2}$ olan tüm noktaları bulun. Bunlardan iki tane vardır: biri birinci bölgede $\frac{\pi}{6}$'da, diğeri ikinci bölgede $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$'da.

Benzer şekilde $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ için apsisi $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ olan noktalar gerekir; bunlar ikinci bölgede $\frac{3\pi}{4}$'te ve üçüncü bölgede $\frac{5\pi}{4}$'te bulunur. Tüm çözümler gerekiyorsa her $k$ tam sayısı için $2\pi k$ ekleyin: $\theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ ya da $\theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Hesap makinesindeki arksinüs ya da arkkosinüs tuşu yalnızca bir cevap verir. Birim çember ikinci çözümün nerede olduğunu gösterir; hesap makinesi bunu asla yapmaz.

Verimli çalışmanın yolu

On altı noktayı ayrı bilgiler olarak ezberlemek yorucu ve güvenilmezdir. Bunun yerine üç şeyi sağlamca öğrenin: birinci bölgede $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ ve $\frac{\pi}{3}$ için üç nokta; referans açıyı bulmak; ve her bölgedeki işaretler. Bunlarla herhangi bir özel açıyı saniyeler içinde halledersiniz.

Bir hafta boyunca günde bir kez çemberi ezberden çizin ve açıları derece ve radyan cinsinden işaretleyin. Ardından negatif olanlar ya da $2\pi$'den büyük olanlar dahil rastgele açılarla kendinizi sınayın. Birim çember hesap makinesi her giriş için tam değerleri ve referans açıyı verir; böylece cevaplarınızı hemen kontrol edebilirsiniz. Sinüs teoremi ve trigonometrik fonksiyonlarla analiz gibi sonraki konular bu güveni varsayar.

Sık yapılan hatalar

• Koordinatları karıştırmak: apsis kosinüs, ordinat sinüstür.
• Radyanlı bir problemde hesap makinesini derece modunda kullanmak ya da tersi.
• Referans açıyı x ekseni yerine y ekseninden ölçmek.
• $\sin\theta = \frac{1}{2}$ gibi bir denklem için yalnızca tek bir çözüm vermek.
• Tanjantın, kosinüsün sıfır olduğu yerlerde, yani $\frac{\pi}{2}$ ve $\frac{3\pi}{2}$'de tanımsız olduğunu unutmak.

Birim çemberden sinüs ve kosinüs grafiklerine

Birim çember üzerinde sabit hızla saat yönünün tersine hareket eden bir nokta düşünün. Bu noktanın x ekseni üzerindeki yüksekliği dönüşün ilk çeyreğinde 0'dan 1'e çıkar, yarım dönüşten sonra yeniden 0 olur, dörtte üç dönüşten sonra $-1$'e iner ve tam dönüşten sonra yine 0 olur. Bu yüksekliğin açıya göre grafiği çizilirse tanıdık $y = \sin x$ sinüs eğrisi elde edilir. Yatay konumun grafiği çizilirse $y = \cos x$ elde edilir; bu, çeyrek dönüş sola kaydırılmış aynı dalgadır.

Bu grafiklerle ilgili her şey çemberden okunabilir. Görüntü kümeleri $[-1, 1]$'dir, çünkü yarıçapı 1 olan çember üzerindeki bir noktanın koordinatları mutlak değerce hiçbir zaman 1'i aşmaz. Periyot $2\pi$'dir, çünkü tam bir dönüş noktayı başlangıç konumuna geri getirir. Sinüs, noktanın x eksenini kestiği $\pi$'nin katlarında sıfır olur; kosinüs ise noktanın y eksenini kestiği $\frac{\pi}{2}$'nin tek katlarında. Bu grafiklerde dairesel hareketin bir kaydını görmek, trigonometrik fonksiyonların neden gelgitleri, ses dalgalarını, alternatif akımı ve döngüler hâlinde tekrar eden her olguyu tanımladığını anlaşılır kılar.

Sıkça sorulan sorular