Trigonometri

Her Üçgen Durum Durum Nasıl Çözülür?

Q: Bir üçgeni çözmek için kaç veri gerekir?

Aralarında en az bir kenar bulunan üç veri. Tek başına üç açı yalnızca şekli belirler. KKA yapılandırması sıfır, bir ya da iki üçgen verebilir; bu yüzden ek bir kontrol gerektirir.

Q: Genel bir üçgende hangi teoremle başlamalı?

Bir kenarınız ve onun karşısındaki açınız varsa sinüs teoremiyle başlayın. KAK ya da KKK durumunda böyle bir çift yoktur; bu yüzden kosinüs teoremiyle başlayın.

Q: KKK probleminde neden önce en büyük açı aranır?

Yalnızca en büyük açı geniş olabilir. Onu arkkosinüsle hesaplarsanız doğru belirlenir ve diğer iki açının dar olduğu garanti edilir; böylece belirsizlik kalmaz.

Q: Bir üçgen üç açısından çözülebilir mi?

Tek türlü çözülemez. Bir üçgeni büyütmek aynı açıları korur: kenarların oranları bulunabilir ama uzunlukları bulunamaz. Boyutu belirlemek için bir kenarın uzunluğu gerekir.

Q: Dik üçgendeki fonksiyonlar nasıl hatırlanır?

Sinüs karşı dik kenarın hipotenüse, kosinüs komşu dik kenarın hipotenüse, tanjant ise karşı dik kenarın komşu dik kenara bölümüdür. Sinüsün ve tanjantın karşı dik kenara, kosinüsün ise komşu dik kenara “baktığını” hatırlamak işe yarar; kotanjant ise komşu dik kenarın karşı dik kenara bölümüdür ve ayrıca tanjantın sinüsün kosinüse bölümüne eşit olduğunu bilmek yararlıdır.

Yazar MathSolver Pro Editorial Team · Yayımlanma 25 Ekim 2026

Bir üçgeni çözmek, bilinen verilerden üç kenarın ve üç açının tamamını bulmak demektir. Gereken araç hangi üç öğeyi bildiğinize bağlıdır; bu yüzden ilk adım her zaman durumu belirlemektir.

Üçgen çözmek ne demektir?

Her üçgenin altı öğesi vardır: üç kenar ve üç açı. Aralarında en az bir kenar bulunan üçü biliniyorsa üçgen genellikle belirlenmiştir ve kalan üçü hesaplanabilir. Yalnızca üç açıyı bilmek yetmez, çünkü her boyuttaki benzer üçgenlerin açıları aynıdır; bu durum bazen AAA diye gösterilir ve tek bir çözümü yoktur.

Veriler, üçgenin çevresinde dolaşırken karşılaşıldıkları sırayla adlandırılır. AKA, iki açı ve aralarındaki kenar demektir; KAK ise iki kenar ve aralarındaki açı. Olası altı yapılandırma ve her biri için uygun araç şöyledir:

Dik üçgen ve diğer herhangi iki öğe: sinüs, kosinüs, tanjant ve Pisagor teoremi.
AAK ya da AKA: açıların toplamı, ardından sinüs teoremi.
KAK: üçüncü kenar için kosinüs teoremi, ardından kalan açılar.
KKK: açılar için kosinüs teoremi.
KKA: sıfır, bir ya da iki üçgen olup olmadığının kontrolüyle sinüs teoremi.
AAA: tek bir boyut olmadan yalnızca şekil.

Yöntemi seçmeden önce her zaman bir şekil çizin ve verileri üzerine işaretleyin. Hataların çoğu, bir kenar yanlış açıyla eşleştirildiğinde ortaya çıkar.

Dik üçgen: sinüs, kosinüs ve tanjant

Bir dik üçgende üç trigonometrik fonksiyon, $\theta$ dar açısını kenarlara bağlar: karşı dik kenar, komşu dik kenar ve hipotenüs.

\sin\theta = \frac{\text{karşı}}{\text{hip}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{kom}}{\text{hip}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{karşı}}{\text{kom}}

Örnek 1: hipotenüs 10 ve açı $35^\circ$

Karşı dik kenar: $10\sin 35^\circ \approx 5.736$ .
Komşu dik kenar: $10\cos 35^\circ \approx 8.192$ .
Diğer dar açı: $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .
Kontrol: $5.736^2 + 8.192^2 \approx 32.90 + 67.10 = 100 = 10^2$ .

Örnek 2: bir ağacın gölgesinden yüksekliği

Güneş ufkun $40^\circ$ üzerindeyken bir ağaç 18 m uzunluğunda gölge düşürüyor.
Yükseklik açının karşısındaki dik kenar, gölge ise komşu dik kenardır; bu yüzden tanjantı kullanırız: $h = 18\tan 40^\circ \approx 15.10$ m.

Bir açıyı bulmak için ters fonksiyonu kullanın. Kenarları 3, 4 ve 5 olan dik üçgende küçük dar açı $\tan^{-1}\frac{3}{4} \approx 36.87^\circ$ 'dir.

İki açı ve bir kenar (AAK, AKA)

Bilinen açıları $180^\circ$ 'den çıkararak üçüncü açıyı bulun. Böylece tüm açılara ve bir kenara sahip olursunuz; bu da sinüs teoremi için tam bir çifttir:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

Örnek 3 (AKA): $A = 50^\circ$ , $B = 65^\circ$ , $c = 12$

$C = 180^\circ - 50^\circ - 65^\circ = 65^\circ$ .
$a = \frac{12\sin 50^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 10.14$ .
$B = C$ : üçgen ikizkenardır ve ek hesap yapmadan $b = c = 12$ olur.

Verilen iki açının toplamı $180^\circ$ 'den küçükse bu durumlarda her zaman tam olarak bir çözüm vardır.

İki kenar ve aralarındaki açı (KAK)

Kosinüs teoremi yardımıyla bilinen açının karşısındaki kenarı bulun. Ardından ikinci bir açıyı bulun. En güvenlisi, başlangıçtaki iki kenardan kısa olanın karşısındaki açıyı seçmektir; çünkü bu açı mutlaka dardır ve arksinüs onu tek türlü verir.

Örnek 4: $b = 10$ , $c = 14$ , $A = 110^\circ$

$a^2 = 10^2 + 14^2 - 2(10)(14)\cos 110^\circ \approx 296 + 95.77 = 391.77$ , yani $a \approx 19.79$ .
$A$ geniş açı olduğundan $B$ ve $C$ dar açıdır. $\sin B = \frac{10\sin 110^\circ}{19.79}$ eşitliğinden $B \approx 28.34^\circ$ elde ederiz.
$C = 180^\circ - 110^\circ - 28.34^\circ \approx 41.66^\circ$ .
Kontrol: en uzun kenar olan 19,79, en büyük açının, yani $110^\circ$ 'nin karşısındadır.

Üç kenar (KKK)

Önce kenarların üçgen eşitsizliğini sağlayıp sağlamadığını kontrol edin: her kenar diğer ikisinin toplamından küçük olmalıdır. Ardından kosinüs teoreminin kosinüs için yazılmış biçimini kullanın ve en uzun kenarın karşısındaki açıyla başlayın:

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Örnek 5: kenarlar 6, 8 ve 9

9'un karşısındaki açı: $\cos C = \frac{36 + 64 - 81}{96} = \frac{19}{96}$ , yani $C \approx 78.58^\circ$ .
6'nın karşısındaki açı: $\cos A = \frac{64 + 81 - 36}{144} = \frac{109}{144}$ , yani $A \approx 40.80^\circ$ .
8'in karşısındaki açı: $180^\circ - 78.58^\circ - 40.80^\circ \approx 60.61^\circ$ .
Üç açının hepsi dardır; bunu $81 < 36 + 64$ zaten göstermişti.

İki kenar ve aralarında olmayan açı (KKA)

Bu belirsiz durumdur. Bilinmeyen açıyı sinüs teoremiyle ifade edin, $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$ , ve sonucu inceleyin:

$\sin B > 1$ ise üçgen yoktur.
$\sin B = 1$ ise bir dik üçgen vardır.
$\sin B < 1$ ise hem $B$ 'yi hem de $180^\circ - B$ 'yi kontrol edin. Üçüncü açıyı pozitif bırakan her değer geçerli bir üçgen verir.

Örneğin $A = 30^\circ$ , $a = 6$ ve $b = 10$ verileri $\sin B = \frac{5}{6}$ , yani $B \approx 56.44^\circ$ ya da $123.56^\circ$ verir. İki değer de üçüncü açıya yer bıraktığı için iki üçgen vardır. Sinüs teoremi makalesi ikisini de, üçgenin olmadığı ve tam olarak bir tane olduğu durumlarla birlikte eksiksiz çözüyor.

Yükseliş açıları ve alçalış açıları

Pek çok uygulamalı problemde yataydan ölçülen açılar anlatılır. Yükseliş açısı nesneye doğru yukarı, alçalış açısı ise aşağı doğru ölçülür. Gözlemciden ve nesneden geçen yataylar paralel olduğundan A'dan B'ye alçalış açısı, B'den A'ya yükseliş açısına eşittir.

Örnek 6: bir yolun yükseklik farkı

Düz bir yol, yatayda 200 m boyunca $3^\circ$ eğim açısıyla yükseliyor. Ne kadar yükselir?
Yükseklik farkı $= 200\tan 3^\circ \approx 10.48$ m.
$\tan 3^\circ \approx 0.0524$ olduğundan eğim olarak bu yaklaşık yüzde 5,2'dir.

Örneğin bir binanın tepesine yerdeki iki noktadan bakıldığında olduğu gibi iki görüş doğrusu içeren problemler, bir dik üçgenle genel bir üçgeni birleştirerek ve genel üçgen için çoğu zaman sinüs teoremini kullanarak çözülür.

Her cevap için kontrol listesi

Üç açının toplamı $180^\circ$ 'dir.
En uzun kenar en büyük açının, en kısa kenar ise en küçük açının karşısındadır.
Her kenar diğer ikisinin toplamından küçüktür.
Bir kenarı diğer teoremle yeniden hesaplamak, yuvarlama farkı dışında aynı değeri verir.
Cevaplar yalnızca en sonda, problemin istediği duyarlıkla yuvarlanır.

Üçgen çözüldüğünde alanı, herhangi iki kenar ve aralarındaki açı kullanılarak $\frac{1}{2}ab\sin C$ formülüyle bulunur. Kosinüs teoremi hesap makinesi genel üçgenlerin tüm durumlarını adım adım çözer, iki nokta arası uzaklık hesap makinesi ise koordinatlarla verilen üçgenlerle çalışır.

Yuvarlama ve duyarlık

Üçgen problemleri birkaç hesabı bir zincir hâlinde birbirine bağlar ve baştaki küçük yuvarlama hataları sonda belirgin farklara dönüşebilir. Sonuçları hafızaya alarak ya da en az dört anlamlı basamak yazarak her ara değer için hesap makinesinin tam duyarlığını koruyun. Yalnızca nihai cevapları, problemin istediği duyarlıkla yuvarlayın: derece cinsinden açılar için genellikle virgülden sonra bir ya da iki basamağa, uzunluklar için ise makul sayıda anlamlı basamağa.

Yuvarlamalar yüzünden hesaplanan üç açının toplamı $179.9^\circ$ ya da $180.1^\circ$ çıkabilir. Bu bir yöntem hatası değildir. Ama toplam tam bir derece ya da daha fazla farklıysa bir şeyler ters gitmiştir; neredeyse her zaman bir kenar yanlış açıyla eşleştirilmiş ya da geniş açılı çözüm atlanmıştır. Son kenarı iki teoremle de bulmak gibi ikinci ve bağımsız bir hesap, cevabı doğrulamanın en güvenilir yoludur.

Sıkça sorulan sorular

Bir üçgeni çözmek için kaç veri gerekir?

Aralarında en az bir kenar bulunan üç veri. Tek başına üç açı yalnızca şekli belirler. KKA yapılandırması sıfır, bir ya da iki üçgen verebilir; bu yüzden ek bir kontrol gerektirir.

Genel bir üçgende hangi teoremle başlamalı?

Bir kenarınız ve onun karşısındaki açınız varsa sinüs teoremiyle başlayın. KAK ya da KKK durumunda böyle bir çift yoktur; bu yüzden kosinüs teoremiyle başlayın.

KKK probleminde neden önce en büyük açı aranır?

Yalnızca en büyük açı geniş olabilir. Onu arkkosinüsle hesaplarsanız doğru belirlenir ve diğer iki açının dar olduğu garanti edilir; böylece belirsizlik kalmaz.

Bir üçgen üç açısından çözülebilir mi?

Tek türlü çözülemez. Bir üçgeni büyütmek aynı açıları korur: kenarların oranları bulunabilir ama uzunlukları bulunamaz. Boyutu belirlemek için bir kenarın uzunluğu gerekir.

Dik üçgendeki fonksiyonlar nasıl hatırlanır?

Sinüs karşı dik kenarın hipotenüse, kosinüs komşu dik kenarın hipotenüse, tanjant ise karşı dik kenarın komşu dik kenara bölümüdür. Sinüsün ve tanjantın karşı dik kenara, kosinüsün ise komşu dik kenara “baktığını” hatırlamak işe yarar; kotanjant ise komşu dik kenarın karşı dik kenara bölümüdür ve ayrıca tanjantın sinüsün kosinüse bölümüne eşit olduğunu bilmek yararlıdır.

MathSolver Pro Editorial Team

Editörlük ve matematiksel denetim

Editör ekibimiz her rehberi yalnızca cevabı değil, her yöntemin ardındaki akıl yürütmeyi de açıklayacak şekilde yazar. Her çözümlü örnek yayımlanmadan önce sitenin çözüm motorları ve otomatik testlerle kontrol edilir; bir yöntem ya da sınav biçimi değiştiğinde makaleler hemen güncellenir.