Birim Çember — Sinüs, Kosinüs ve Tanjantın Tam Değerleri

Birim çember hesap makinesi hakkında

Birim çember trigonometriyi koordinatlara dönüştürür. Her açıya yarıçapı 1 olan çember üzerinde bir nokta karşılık gelir; açının kosinüsü ve sinüsü de bu noktanın $x$ -koordinatı ve $y$ -koordinatından ibarettir. Birkaç özel noktayı ezberleyip simetriden yararlanarak, hesap makinesi olmadan onlarca açı için tam değerleri elde edebilirsiniz.

Bu hesap makinesi bu akıl yürütmeyi sizin yerinize yapar. Açıyı dereceden radyana veya tersine çevirir, onu tek bir tura indirger, bölgeyi ve referans açıyı belirler ve özel açılar için $\frac{\sqrt3}{2}$ gibi tam değerleri bulur. Diğer tüm açılar için hassas ondalık değerler verir. Ayrıca tanjantı, sekantı, kosekantı ve kotanjantı gösterir ve bu değerlerden biri tanımsızsa bunu bildirir.

Birim çember nedir?

Birim çember, merkezi orijinde ve yarıçapı 1 olan $x^2 + y^2 = 1$ çemberidir. $\theta$ açısı $x$ ekseninin pozitif yönünden ölçülür: pozitifse saat yönünün tersine, negatifse saat yönünde. Bitiş kenarının çemberi kestiği nokta $(\cos\theta, \sin\theta)$ noktasıdır.

Bu nokta çember üzerinde bulunduğundan her açı için $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ olur: bu, temel trigonometrik özdeşliktir. Tanjant $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ oranıdır, yani bitiş kenarının eğimidir; ters oranlar ise $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ , $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ ve $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ olarak tanımlanır.

Birim çember hesap makinesi nasıl kullanılır?

Bir açı girin; örneğin 150, -30 veya 5pi/4.
Derece veya radyan seçin.
«Değerleri bul» düğmesine basın.
Bölgeye, referans açıya ve tam koordinatlara bakın.
Koordinatların altındaki tanjant ve ters oran değerlerini kullanın.

Formüller

Birim çember üzerindeki nokta

P(\theta) = (\cos\theta,\ \sin\theta)

Dereceden radyana

\theta_{\text{radyan}} = \theta_{\text{derece}} \cdot \frac{\pi}{180}

Temel trigonometrik özdeşlik

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Tanjant

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Çözümlü örnek: θ = 150°

Örnekte $\theta = 150°$ kullanılır. Açı, $x$ 'in negatif, $y$ 'nin pozitif olduğu ikinci bölgededir ve referans açısı $180° - 150° = 30°$ olur.

$30°$ için nokta $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ olur. İkinci bölgenin işaretleri dikkate alındığında $(-\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ elde edilir; sinüsü kosinüse bölmek de $\tan 150° = -\frac{\sqrt3}{3}$ verir.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)

Probleminizi nasıl okuduk

Birim çemberde değerler: 150°

\theta = 150^\circ

Adım adım çözüm

Dereceyi radyana çevirin (şununla çarpın: π/180)
$\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}\ \text{rad}$
Bitiş kenarını belirleyin: II. bölgede
II. bölgede sinüs pozitif, kosinüs negatiftir (bölgelere göre işaret kuralı).
Referans açı (x ekseniyle yapılan dar açı)
$\theta_{\text{ref}} = 30^\circ$
Referans açıdan tam koordinatları okuyun ve bölge işaretlerini uygulayın
$(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)$
Tanjant = sinüs ÷ kosinüs
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ters oranlar
$\csc\theta = 2,\quad \sec\theta = -\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad \cot\theta = -\sqrt{3}$

Kullanılan formüller

Birim çember üzerindeki nokta
$(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)$
Tanjant ve ters oranlar
$\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta = \tfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$
Derece ve radyan
$\text{rad} = \text{derece} \times \frac{\pi}{180}$

150° (5π/6 rad) II. bölgede biter, referans açısı 30°. sin θ = 1/2, cos θ = −√3/2, tan θ = −√3/3, csc θ = 2, sec θ = −2√3/3, cot θ = −√3.

Doğrulama

cos²θ + sin²θ = 1 (şuna eşit olmalı: 1).

Ayrıntılı açıklama

Özel açılar

Üç dar açının basit tam değerleri vardır. $30°$ için nokta $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ , $45°$ için $(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2})$ , $60°$ için ise $(\frac12, \frac{\sqrt3}{2})$ olur. Bu değerler açıları 30-60-90 ve 45-45-90 derece olan üçgenlerden gelir. Eksenler üzerindeki $0°$ , $90°$ , $180°$ ve $270°$ açılarıyla birlikte birim çemberin bilinen on altı noktasını verirler.

Referans açı ve bölgelere göre işaretler

Her açının bir referans açısı vardır: bitiş kenarının $x$ ekseniyle yaptığı dar açı. Açının koordinatları mutlak değerce referans açının koordinatlarıyla aynıdır; yalnızca işaretler bölgeye göre değişir. Birinci bölgede iki koordinat da pozitiftir, ikincide yalnızca sinüs, üçüncüde yalnızca tanjant, dördüncüde yalnızca kosinüs pozitiftir. Böylece referans açısı $45°$ olan, üçüncü bölgedeki $225°$ yani $\frac{5\pi}{4}$ açısı $(-\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2})$ noktasını verir.

Tam turdan büyük açılar ve negatif açılar önce $360°$ eklenerek veya çıkarılarak aynı bitiş kenarına sahip bir açıya indirgenir. Hesap makinesi $765°$ açısını $45°$ açısına indirger, $-30°$ açısını ise noktanın $(\frac{\sqrt3}{2}, -\frac12)$ olduğu dördüncü bölgedeki $330°$ olarak ele alır.

Tanımsız değerler ve diğer açılar

Tanjant ve sekant kosinüse bölme içerir; bu yüzden bitiş kenarı düşey olduğunda, yani $90°$ ve $270°$ için tanımsızdır. Kotanjant ve kosekant sinüse bölme içerir ve $0°$ ile $180°$ için tanımsızdır. Hesap makinesi anlamsız bir sayı yazdırmak yerine bu durumları bildirir.

$20°$ gibi çoğu açının köklerle basit bir ifadesi yoktur. Bunlar için hesap makinesi ondalık değerler verir, ama işaretlerin nereden geldiği anlaşılsın diye yine bölgeyi ve referans açıyı kullanır.

Sık yapılan hatalar

Koordinatları karıştırmak: kosinüs $x$ -koordinatı, sinüs $y$ -koordinatıdır.
$\pi$ içeren bir açı için derece modunu ya da derece cinsinden bir açı için radyan modunu kullanmak.
Referans açıyı $x$ ekseninden değil $y$ ekseninden ölçmek.
İşareti başka bir bölgeden almak; hangi fonksiyonların hangi bölgede pozitif olduğunu ezberleyin.
$\tan 90°$ değerinin tanımsız olduğunu belirtmek yerine onu çok büyük bir sayı olarak yazmak.

İpuçları

$30°$ , $45°$ ve $60°$ için değerleri ezberleyin; geri kalan her şey simetriden çıkar.
Radyan cinsinden açıların yerini hızla bulmak için $\frac{\pi}{6}$ ve $\frac{\pi}{4}$ katlarıyla sayın.
Gerektiğinde paydayı rasyonel yapın: $\frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$ .
Sonuçları $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ eşitliğiyle kontrol edin.
Bu fonksiyonlar arasındaki bağıntıları ispatlamak için trigonometrik özdeşlik hesap makinesini kullanın.

Sıkça sorulan sorular

Birim çember üzerindeki noktanın koordinatları nelerdir?

θ açısı için nokta (cos θ, sin θ) olur. x koordinatı kosinüs, y koordinatı ise sinüstür.

Referans açı nasıl bulunur?

Açıyı 0° ile 360° arasındaki bir değere indirgeyin ve x ekseniyle yaptığı dar açıyı ölçün: birinci bölgede θ, ikincide 180° − θ, üçüncüde θ − 180°, dördüncüde 360° − θ.

Açılar radyan cinsinden girilebilir mi?

Evet. Radyanı seçin ve pi/3 veya 5pi/4 gibi ifadeler girin. Hesap makinesi adımlarda radyanı dereceye çevirir.

tan 90° neden tanımsızdır?

Tanjant, sinüsün kosinüse bölümüdür ve cos 90° = 0 olur. Sıfıra bölme tanımsızdır; bu yüzden tan 90° ve sec 90° için bir değer yoktur.

Hesap makinesi negatif açıları ve 360°'den büyük açıları kabul eder mi?

Evet. Onları tek bir tur içinde aynı bitiş kenarına sahip bir açıya indirger. Böylece 765°, 45°'ye indirgenir; −30° ise 330° olarak ele alınır.

Özel olmayan açılar ne olacak?

20° gibi açıların basit bir tam biçimi yoktur: hesap makinesi ondalık değerleri gösterir ve yine de bölgeyi ve referans açıyı açıklar.

Her bölgede hangi trigonometrik fonksiyonlar pozitiftir?

Birinci bölgede hepsi pozitiftir; ikincide sinüs ve kosekant; üçüncüde tanjant ve kotanjant; dördüncüde kosinüs ve sekant.

Bölgelere göre işaretler nasıl hatırlanır?

Bölgeleri birinciden başlayarak saat yönünün tersine dolaşın: birincide tüm fonksiyonlar, ikincide sinüs, üçüncüde tanjant, dördüncüde kosinüs pozitiftir. Hesap makinesi her işareti kendi bölgesiyle ilişkilendirebilmeniz için bu kuralı bölge adımında belirtir.

Birim çember hesap makinesini deneyin

Bir açı girin ve noktasını, trigonometrik fonksiyonların tam değerlerini ve referans açıyı alın.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun

Birim Çember Hesap Makinesi