Kosinüs Teoremi

Q: Kosinüs teoremi ne zaman uygulanır?

İki kenar ve aradaki açı ya da üç kenarın hepsi bilindiğinde. Bu durumlarda hiçbir kenar karşısındaki açıyla birlikte bilinmez, bu yüzden sinüs teoremiyle başlamak mümkün değildir.

Q: Kosinüs teoremiyle bir açı nasıl bulunur?

Formülü kosinüse göre düzenleyin, cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), üç kenar uzunluğunu yerine koyun ve arkkosinüsünü alın.

Q: Kosinüs teoremi ile Pisagor teoremi nasıl ilişkilidir?

C açısı tam olarak 90° ise cos C değeri 0 olur ve formül c² = a² + b² biçimine dönüşür. Kosinüs teoremi, her üçgen için geçerli olan genel biçimdir.

Q: Üç kenar bir üçgen oluşturmazsa ne olur?

Hesap makinesi üçgen eşitsizliğini kontrol eder ve bir kenar diğer ikisinin toplamından küçük değilse, örneğin 1, 2 ve 5 kenarları için, bir hata gösterir.

Q: Sonuçlar tam mı, yuvarlanmış mı?

Üçüncü kenar bir karekökse ondalık değeriyle birlikte tam biçimde, örneğin √39 veya 2√19 olarak verilir. Açılar ondalık derece olarak verilir.

Q: Alan nasıl hesaplanır?

İki kenar ve aradaki açıyla alan = ½ab sin C formülüne göre. Üç kenar modunda önce açı hesaplanır.

Q: Kosinüs teoremi iki üçgen verebilir mi?

Hayır. İki kenar ve aradaki açı ya da üç kenar her zaman tam olarak bir üçgen belirler. İki olası üçgenin bulunduğu belirsiz durum yalnızca iki kenar ve bunlardan birinin karşısındaki açı verildiğinde, sinüs teoremi uygulanırken ortaya çıkar.

Kosinüs teoremi hesap makinesi hakkında

Dik üçgenler Pisagor teoremi ve basit trigonometriyle çözülür, ama jeodezide, seyrüseferde, mühendislikte ve fizikte karşılaşılan üçgenlerin çoğunda dik açı yoktur. Kosinüs teoremi Pisagor teoremini her üçgene genelleştirir; iki kenar ve aradaki açı ya da hiçbir açı bilinmeden üç kenarın hepsi bilindiğinde doğru araçtır.

Hesap makinesi iki durumu da ele alır. «İki kenar ve aradaki açı» modunda üçüncü kenarı bulur, varsa $\sqrt{39}$ gibi tam kökü korur, ardından kalan iki açıyı bulur. «Üç kenar» modunda kenarların bir üçgen oluşturup oluşturamayacağını kontrol eder ve üç açının hepsini bulur. Her iki modda da alanı hesaplayarak bitirir.

Kosinüs teoremi nedir?

$a$ , $b$ ve $c$ kenarlarının sırasıyla $A$ , $B$ ve $C$ açılarının karşısında bulunduğu bir üçgende kosinüs teoremi şunu söyler: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ . Aynı bağıntı her kenar ve onun karşısındaki açı için geçerlidir.

$C = 90°$ olduğunda $\cos C = 0$ olur ve formül Pisagor teoremi olan $c^2 = a^2 + b^2$ biçimine dönüşür. Ek $-2ab\cos C$ terimi açıya göre bir düzeltme yapar: $C$ dar açıysa $c$ kenarını kısaltır, $C$ geniş açıysa uzatır, çünkü geniş açının kosinüsü negatiftir.

Kosinüs teoremi hesap makinesi nasıl kullanılır?

«İki kenar ve aradaki açı» ya da «Üç kenar» modunu seçin.
$a$ ve $b$ kenarlarını girin.
İki kenar modunda aralarındaki $C$ açısını derece olarak girin; üç kenar modunda üçüncü kenar olan $c$ değerini girin.
Eksik kenarı veya açıları, ardından alanı görmek için «Üçgeni çöz» düğmesine basın.
Cevabı kontrol edin: açıların toplamı 180° olmalı ve en büyük açı en uzun kenarın karşısında bulunmalıdır.

Formüller

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Açı için ifade

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Açıların toplamı

A + B + C = 180^\circ

İki kenar ve açıyla alan

K = \tfrac12 ab\sin C

Çözümlü örnek: a = 5, b = 7, C = 60°

Örnekte $a = 5$ , $b = 7$ , aradaki açı ise $C = 60°$ 'dir. $\cos 60° = \frac12$ olduğundan formül $c^2 = 25 + 49 - 35 = 39$ , yani $c = \sqrt{39} \approx 6.245$ verir.

Ardından algoritma $A$ açısını kosinüse göre düzenlenmiş kosinüs teoremiyle yaklaşık $43.898°$ olarak, $B$ açısını ise açıların toplamından yaklaşık $76.102°$ olarak bulur. Alan $\frac12 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 60° = \frac{35\sqrt3}{4} \approx 15.155$ olur.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°

Probleminizi nasıl okuduk

KAK: üçüncü kenarı ve kalan açıları bulun

Adım adım çözüm

Şurada yerine koyun: c² = a² + b² − 2ab·cos C
$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 39$
Karekökü alın
$c = \sqrt{39} = \sqrt{39} \approx 6.244997998$
A açısını, yeniden düzenlenmiş kosinüs teoremiyle bulun
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.72057669 \Rightarrow A \approx 43.897886^\circ$
Bir üçgenin iç açılarının toplamı: 180°
$B = 180^\circ - A - C \approx 76.102114^\circ$
İki kenar ve aradaki açıdan alan
$\text{Alan} = \tfrac12ab\sin C \approx 15.155445$

Kullanılan formüller

Kosinüs teoremi
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Açı için çözülmüş hali
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
Alan
$\text{Alan} = \tfrac12 ab\sin C$

Üçgenin kenarları a = 5, b = 7, c ≈ 6.244998, açıları A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°, C ≈ 60°. Alanı ≈ 15.155445, çevresi ≈ 18.244998 olan dar açılı çeşitkenar bir üçgendir.

Doğrulama

A + B + C = 180°.
Heron formülü aynı alanı verir: 15.155445.
Sinüs teoremi oranları: a/sin A ≈ 7.2111026, b/sin B ≈ 7.2111026, c/sin C ≈ 7.2111026.

Ayrıntılı açıklama

Üçgeni iki kenar ve aradaki açıyla çözme

İki kenar ve aradaki açıdan kosinüs teoremi üçüncü kenarı hemen verir. Yalnızca bir üçgen mümkündür, bu yüzden belirsizlik yoktur. Üç kenarın hepsi bilindiğinde kosinüse göre düzenlenmiş formül açıları birer birer verir. Hesap makinesi ikinci açı için sinüs teoremini değil kosinüs teoremini uygular, çünkü kosinüslü formül bir dar açıyı onun bütünleri olan geniş açıyla karıştırmaz.

Kenarlar arasındaki geniş açılar da aynı şekilde işlenir. $a = 4$ , $b = 6$ ve $C = 120°$ için $\cos 120° = -\frac12$ olur; bu yüzden $c^2 = 16 + 36 + 24 = 76$ ve $c = 2\sqrt{19} \approx 8.718$ bulunur; beklendiği gibi verilen iki kenarın her birinden uzundur.

Üçgeni üç kenarla çözme

Üç uzunluk ancak herhangi ikisinin toplamı üçüncüsünden büyükse bir üçgen oluşturur: bu, üçgen eşitsizliğidir. Hesap makinesi önce bunu kontrol eder: 1, 2 ve 5 kenarları $1 + 2 < 5$ olduğu için reddedilir. Geçerli kenarlar için önce $C$ açısını, ardından $A$ açısını, ikisini de kosinüse göre düzenlenmiş formülle hesaplar ve $B$ açısını açıların toplamından bulur. En uzun kenarı $c$ olarak girerseniz hesaplanan ilk açı üçgenin dar açılı mı, dik açılı mı yoksa geniş açılı mı olduğunu gösterir: 3, 4 ve 5 kenarları $C = 90°$ verir.

Kosinüs teoremi mi, sinüs teoremi mi?

İki kenar ve aradaki açı ya da üç kenar verildiğinde, yani hiçbir «kenar ve karşısındaki açı» çifti bilinmediğinde kosinüs teoremini uygulayın. Bir kenar ve iki açı ya da iki kenar ve bunlardan birinin karşısındaki açı verildiğinde, yani en az bir kenar karşısındaki açıyla birlikte bilindiğinde sinüs teoremini uygulayın. Son durumun iki çözümü olabilir; kosinüs teoremi problemlerinin ise hiçbir zaman iki çözümü olmaz, bu yüzden seçim şansınız varsa ondan başlamak daha güvenlidir.

Sık yapılan hatalar

İki kenar modunda, verilen iki kenarın arasında bulunmayan bir açıyı kullanmak.
$2ab\cos C$ ifadesindeki 2 çarpanını unutmak.
Açı derece olarak verildiği halde hesap makinesini radyan modunda bırakmak.
$\cos C$ ile çarpmadan önce $2ab$ değerini çıkarıp işlem sırasını bozmak.
Üçgen eşitsizliği kontrolünü atlayıp 1'den büyük, imkânsız bir kosinüs elde etmek.

İpuçları

Üçgeni, bilinmeyen kenar $c$ , bilinen açı da $C$ olacak şekilde adlandırın.
En büyük açı her zaman en uzun kenarın karşısındadır; cevabı kontrol etmek için bunu kullanın.
Yuvarlama hataları birikmesin diye $\sqrt{39}$ gibi tam değerleri son adıma kadar koruyun.
Özel açıların kosinüslerinin tam değerlerini bulmak için birim çember hesap makinesini kullanın.
Dik üçgenler için uzaklık formülü ve Pisagor teoremi daha hızlıdır.

Sıkça sorulan sorular

Kosinüs teoremi ne zaman uygulanır?