İkinci Dereceden Denklem Çözücü

Q: İkinci dereceden denklemin kök formülü nedir?

ax^2 + bx + c = 0 için kökler x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) olur. Formül, çarpanlarına ayrılamayanlar dahil her ikinci dereceden denklem için geçerlidir.

Q: Diskriminant neyi gösterir?

b^2 - 4ac > 0 ise birbirinden farklı iki kök vardır; 0'a eşitse çift katlı tek bir kök vardır; negatifse kökler karmaşıktır ve iki tanedir.

Q: Hesap makinesi karmaşık kökleri veriyor mu?

Evet. Diskriminant negatifse kökler p ± qi olarak yazılır; x^2 + 2x + 5 = 0 için bunlar -1 ± 2i olur.

Q: Parabolün tepe noktası nasıl bulunur?

Tepe noktası x = -b/(2a) değerindedir; ordinatı bulmak için bu değeri yerine koyun. Hesap makinesi iki koordinatı da gösterir.

Q: İkinci dereceden denklemde a neden sıfır olamaz?

a = 0 olduğunda x^2 terimi kaybolur ve denklem en fazla bir çözümü olan bx + c = 0 doğrusal denklemine dönüşür. Ayrıca formül sıfıra bölmeyi gerektirirdi; bu yüzden hesap makinesi sıfırdan farklı bir a ister.

İkinci dereceden denklem çözücü hakkında

İkinci dereceden bir denklem $ax^2 + bx + c = 0$ biçimindedir; burada $a \neq 0$ . Grafiği bir paraboldür, kökleri ise parabolün x eksenini kestiği noktalardır.

Diskriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ hangi köklerin bekleneceğini gösterir: pozitifse iki gerçek kök, sıfırsa bir çift katlı kök, negatifse birbirinin eşleniği olan iki karmaşık kök. Hesap makinesi kökleri kesin biçimde bırakır: $2x^2 + 4x - 3 = 0$ denklemi $x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ verir.

İkinci dereceden denklem nedir?

İkinci dereceden denklem, ikinci dereceden bir polinom denklemidir: bilinmeyenin en büyük kuvveti $x^2$ 'dir. Standart biçimde $ax^2 + bx + c = 0$ olarak yazılır; burada $a$ , $b$ ve $c$ birer sayıdır ve $a$ sıfır değildir. $a$ katsayısı parabolün ne kadar geniş açıldığını ve kollarının yukarıya mı aşağıya mı baktığını belirler, $b$ parabolü yana kaydırır, $c$ ise parabolün y eksenini kestiği noktadır.

$y = ax^2 + bx + c$ grafiği bir parabol olduğundan x eksenini iki kez kesebilir, tepe noktasında ona bir kez değebilir ya da ona hiç ulaşmayabilir. Bu üç durum iki gerçek köke, bir çift katlı köke ve gerçek kök olmamasına karşılık gelir; diskriminant ise kökler hesaplanmadan önce hangi durumla karşı karşıya olduğumuzu gösterir.

İkinci dereceden denklem çözücü nasıl kullanılır?

Denklemi bir tarafı 0 olacak şekilde düzenleyin.
a, b ve c katsayılarını girin. Kesirler ve ondalık sayılar kabul edilir.
Diskriminantı, iki kökü, çarpanlara ayrılmış biçimi ve parabolün tepe noktasını görmek için «Çöz» düğmesine basın.

Formüller

Kök formülü

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Diskriminant

\Delta = b^2 - 4ac

Parabolün tepe noktası

\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

Viète formülleri

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Çözümlü örnek: x² − 3x − 10 = 0

Çözümlü örnekte $x^2 - 3x - 10 = 0$ çözülür, yani $a = 1$ , $b = -3$ ve $c = -10$ . Diskriminant $(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$ olur; pozitif ve tam kare olduğundan iki kök vardır ve ikisi de rasyoneldir. Formül $\frac{3 \pm 7}{2}$ verir, yani $x = -2$ ve $x = 5$ . Hesap makinesi ayrıca $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ tepe noktasını ve $(x + 2)(x - 5)$ çarpanlara ayrılışını bulur; Viète formülleriyle de köklerin toplamının 3, çarpımının −10 olduğunu doğrular.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

x_1 = -2,\quad x_2 = 5

Probleminizi nasıl okuduk

Standart biçimdeki ikinci dereceden bir denklemi kök formülüyle çözün.

x^2 - 3x - 10 = 0

Adım adım çözüm

ax² + bx + c = 0 katsayılarını belirleyin
$x^2 - 3x - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 1,\ b = -3,\ c = -10$
Diskriminantı hesaplayın
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$
Δ > 0, bu yüzden birbirinden farklı iki gerçek kök vardır
Kök formülünü uygulayın
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$
Her kökü sadeleştirin
$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
Parabolün tepe noktasını bulun
Parabolün kolları yukarı doğru açılır, bu yüzden tepe noktası bir minimumdur.
$h = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2},\quad k = c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{49}{4}$
Çarpanlarına ayrılmış biçim
$x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)$

Kullanılan formüller

Kök formülü
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Diskriminant
$\Delta = b^2 - 4ac$
Tepe noktası
$\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)$

Diskriminant pozitif olduğundan parabol x eksenini iki noktada keser.

Doğrulama

Yerine koyun: x = -2: 1·(-2)² + (-3)·(-2) + (-10) = 0
Yerine koyun: x = 5: 1·5² + (-3)·5 + (-10) = 0
Viète: köklerin toplamı = 3 = −b/a = 3; çarpımı = -10 = c/a = -10

Ayrıntılı açıklama

Diskriminantın üç durumu

$\Delta > 0$ ise karekök bir gerçek sayıdır ve $\pm$ birbirinden farklı iki kök verir. $\Delta$ ayrıca örnekteki 49 gibi bir tam kareyse kökler rasyoneldir ve üç terimli tam sayı katsayılı çarpanlara ayrılır; değilse $2x^2 + 4x - 3 = 0$ denkleminin $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ köklerinde olduğu gibi köklerde bir radikal kalır. $\Delta = 0$ ise iki kök çakışır: $x^2 - 6x + 9 = 0$ denkleminin çift katlı tek bir kökü vardır, $x = 3$ , ve parabol eksene yalnızca değer. $\Delta < 0$ ise gerçek kök yoktur ve hesap makinesi bir karmaşık kök çifti verir, örneğin $x^2 + 2x + 5 = 0$ için $-1 \pm 2i$ .

Formül nereden gelir?

Kök formülü, genel denklemde tam kareye tamamlanarak elde edilir. $a$ ile bölüp $c$ terimini diğer tarafa geçirince $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$ elde edilir; iki tarafa $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ eklemek sol tarafı tam kareye dönüştürür: $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ . Karekök alıp $\frac{b}{2a}$ çıkarınca formüle ulaşılır. Bu türetme tepe noktasının konumunu da açıklar: parabol $x = -\frac{b}{2a}$ doğrusuna göre simetriktir ve bu doğru iki kökün tam ortasındadır.

Tepe noktası ve grafik nasıl okunur?

Tepe noktası, parabolün yön değiştirdiği noktadır. Apsisi $-\frac{b}{2a}$ 'dır; bu değeri denklemde yerine koyunca ordinat elde edilir ve bu ordinat $a > 0$ ise en küçük değer, $a < 0$ ise en büyük değerdir. Örnekte tepe noktası $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ noktasındadır; bu yüzden $x^2 - 3x - 10$ ifadesi hiçbir zaman $-12.25$ değerinden küçük olmaz. İkinci dereceden fonksiyonların optimizasyon problemlerinde, örneğin atılan bir topun ulaştığı en yüksek noktayı ya da gelirin en büyük olduğu fiyatı bulmada bu kadar kullanışlı olmasının nedeni budur.

$a(x - h)^2 + k$ biçimindeki yazım aynı bilgiyi doğrudan verir: tepe noktası $(h, k)$ noktasındadır.

Sık yapılan hatalar

$b$ negatifken $b^2$ yerine $-b^2$ kullanmak: $(-3)^2 = 9$ .
Payın tamamını değil, yalnızca $-b$ terimini $2a$ ile bölmek.
Bütün terimleri önce tek tarafa taşımadan katsayıları girmek.
± işaretini unutup yalnızca bir kök vermek.
Yalnızca gerçek kökler istenirken karmaşık kökler vermek ya da tersini yapmak; soruyu dikkatle okuyun.

İpuçları

$b$ çiftse formül $x = \frac{-b/2 \pm \sqrt{(b/2)^2 - ac}}{a}$ biçimine sadeleşir.
Kökleri Viète formülleriyle kontrol edin: toplamları $-\frac{b}{a}$ olmalıdır.
$\Delta$ bir tam kareyse üç terimli, tam sayı katsayılı çarpanlara ayrılır.
Önce üç katsayıyı ortak çarpanlarına bölün: kökler değişmez, ama hesap kolaylaşır.
Tepe noktası iki kökün tam ortasındadır; bu da ikisini hızlıca kontrol etmeyi sağlar.

Sıkça sorulan sorular

İkinci dereceden denklemin kök formülü nedir?

$ax^2 + bx + c = 0$ için kökler $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ olur. Formül, çarpanlarına ayrılamayanlar dahil her ikinci dereceden denklem için geçerlidir.

Diskriminant neyi gösterir?

$b^2 - 4ac > 0$ ise birbirinden farklı iki kök vardır; 0'a eşitse çift katlı tek bir kök vardır; negatifse kökler karmaşıktır ve iki tanedir.

Hesap makinesi karmaşık kökleri veriyor mu?

Evet. Diskriminant negatifse kökler $p \pm qi$ olarak yazılır; $x^2 + 2x + 5 = 0$ için bunlar $-1 \pm 2i$ olur.

a = 0 olursa ne olur?

O zaman denklem ikinci dereceden değil, doğrusaldır. Denklem çözücüyü veya x'i bulma hesap makinesini kullanın.

Parabolün tepe noktası nasıl bulunur?

Tepe noktası $x = -\frac{b}{2a}$ değerindedir; ordinatı bulmak için bu değeri yerine koyun. Hesap makinesi iki koordinatı da gösterir.

Kökler neden ondalık sayılar yerine radikallerle yazılıyor?

Kesin radikaller tam doğruluğu korur ve cevabın yapısını gösterir. Yanında fikir vermesi için yuvarlanmış bir ondalık değer de verilir.

Çift katlı kök ne demektir?

Diskriminant sıfırdır ve iki kök aynı sayıdır. Parabol x eksenine tepe noktasında, onu kesmeden değer; $x^2 - 6x + 9 = 0$ denkleminin çift katlı kökü $x = 3$ gibi.

Çarpanlara ayırmak formülden ne zaman daha kullanışlıdır?

Diskriminant bir tam kare ve sayılar küçükse çarpanlara ayırın: bu durumda kökler rasyoneldir. Formül her zaman işe yarar; çarpanlara ayırma açık değilse onu kullanın.

İkinci dereceden denklemde a neden sıfır olamaz?

$a = 0$ olduğunda $x^2$ terimi kaybolur ve denklem en fazla bir çözümü olan $bx + c = 0$ doğrusal denklemine dönüşür. Ayrıca formül sıfıra bölmeyi gerektirirdi; bu yüzden hesap makinesi sıfırdan farklı bir $a$ ister.

İkinci dereceden denklem çözücüyü deneyin

a, b ve c değerlerini girin; diskriminantı, kesin kökleri, parabolün tepe noktasını ve çarpanlara ayrılmış biçimi alın.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun