Eşitsizlik Çözücü

Eşitsizlik çözücü hakkında

Bir denklem iki ifadenin nerede eşit olduğunu sorar; bir eşitsizlik ise birinin diğerinden nerede büyük veya küçük olduğunu. Cevap nadiren tek bir sayıdır, çoğu zaman 2 ile 3 arasındaki bütün $x$ değerleri gibi bir sayı kümesidir. Bu kümeyi doğru parantezler ve uç noktalarla doğru yazmak, en çok puanın kaybedildiği yerdir.

Hesap makinesi $3x - 5 \ge 7$ gibi doğrusal, $x^2 - 5x + 6 < 0$ gibi polinom, $\frac{x+1}{x-2} \le 0$ gibi rasyonel, $-3 < 2x + 1 \le 9$ gibi çift taraflı ve $|x - 4| < 3$ gibi mutlak değerli eşitsizlikleri çözer. Sayı doğrusunu hangi noktaların böldüğünü her zaman gösterir ve her aralığı kontrol eder; böylece cevabın neden böyle olduğunu anlarsınız.

Eşitsizlik nedir?

Bir eşitsizlik iki ifadeyi $<$ , $>$ , $\le$ veya $\ge$ işaretlerinden biriyle karşılaştırır. Çözüm kümesi, karşılaştırmayı doğru yapan bütün değişken değerlerinden oluşur. $x + 2 > 5$ için çözüm kümesi 3'ten büyük bütün sayılardır ve $(3, \infty)$ olarak yazılır.

Normal parantez uç noktanın aralığa dahil olmadığını, köşeli parantez ise dahil olduğunu gösterir. Sonsuz hiçbir zaman dahil edilmez, çünkü ulaşılabilecek bir sayı değildir. Ayrı parçalar birleşim işaretiyle bağlanır, $(-\infty, 1) \cup [4, \infty)$ örneğindeki gibi.

Eşitsizlik çözücü nasıl kullanılır?

Eşitsizliği <, >, <= veya >= ile girin, örneğin x^2 - 5x + 6 < 0 veya 2x + 3 >= 7.
Çift taraflı eşitsizliği tek satırda yazın, örneğin -3 < 2x + 1 <= 9.
Mutlak değer için abs() kullanın, örneğin abs(x - 4) < 3.
«Çöz» düğmesine basın. Kritik noktaları ve aralıklardaki işaretleri inceleyin, ardından çözüm kümesini aralık gösterimiyle okuyun.

Formüller

Eşitsizlik yönünün değişmesi

a < b \text{ ve } k < 0 \Rightarrow ka > kb

Negatif bir sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizliğin yönü ters çevrilir.

Mutlak değer bir sayıdan küçükse

|u| < c \iff -c < u < c \quad (c > 0)

Mutlak değer bir sayıdan büyükse

|u| > c \iff u < -c \ \text{veya}\ u > c

Çarpımın işareti

(x - r_1)(x - r_2) < 0 \iff r_1 < x < r_2 \quad (r_1 < r_2)

Çözümlü örnek: x² − 5x + 6 < 0

Örnekte $x^2 - 5x + 6 < 0$ eşitsizliği $(x - 2)(x - 3) < 0$ olarak çarpanlarına ayrılır. 2 ve 3 kritik noktaları sayı doğrusunu üç aralığa böler ve hesap makinesi her birinde bir değer dener.

Çarpım yalnızca ortadaki aralıkta negatiftir; eşitsizlik kesin olduğu için uç noktalar dahil değildir: cevap $(2, 3)$ aralığıdır.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

(2, 3)

Probleminizi nasıl okuduk

Eşitsizliği çözün ve cevabı aralık gösterimiyle verin.

{x}^{2}-5x+6 < 0

Adım adım çözüm

Her şeyi tek tarafa taşıyın ve çarpanlarına ayırın
İşaret tablosu için f(x) ifadesinin 0 ile karşılaştırıldığı, çarpanların çarpımı veya bölümü olarak yazılmış bir biçim gerekir.
$(x - 3)(x - 2) < 0$
Kritik noktaları bulun
İşaret yalnızca şu noktalarda değişebilir: 2 (sıfır), 3 (sıfır).
Her aralıkta bir nokta deneyin (işaret tablosu)
(-∞, 2): deneme x = 1 → işaret + → dahil değil; (2, 3): deneme x = 2.5 → işaret − → dahil; (3, ∞): deneme x = 4 → işaret + → dahil değil
Uç noktalara karar verin
2: dahil değil; 3: dahil değil
Çözüm kümesini yazın
$x \in (2, 3)$

Kullanılan formüller

İşaretin yön değiştirmesi
$a < b,\; c < 0 \Rightarrow ac > bc$
Mutlak değer
$|A| < c \iff -c < A < c,\qquad |A| > c \iff A < -c \text{ veya } A > c$

Eşitsizlik tam olarak (2, 3) aralığındaki x değerleri için sağlanır. İfadenin tanımsız olduğu noktalar hiçbir zaman dahil edilmez; uç noktalar ise yalnızca ≤ veya ≥ durumunda, ifade o noktada sıfıra eşitse dahil edilir.

Doğrulama

x = 1: eşitsizliği sağlamaz.
x = 2.5: eşitsizliği sağlar.
x = 4: eşitsizliği sağlamaz.

Ayrıntılı açıklama

Doğrusal eşitsizlikler

Doğrusal bir eşitsizlik denklem gibi çözülür, ancak ek bir kuralla: iki taraf negatif bir sayıyla her çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizliğin yönü ters çevrilir. $-2x > 6$ eşitsizliğinden $x < -3$ elde edilir, çünkü $-\tfrac12$ ile çarpmak sayı doğrusundaki sıralamayı tersine çevirir.

Bunun nedeni, bir sayının işaretini değiştirmenin sayı doğrusunu yansıtmaya denk olmasıdır. $5 > 2$ ise $-5 < -2$ olur. İki tarafa aynı sayıyı eklemek veya çıkarmak eşitsizliğin yönünü hiçbir zaman değiştirmez.

İşaret tablosu yöntemi

Polinom ve rasyonel eşitsizliklerde her şeyi bir tarafa toplayın, böylece diğer tarafta sıfır kalsın. Sonra kritik noktaları bulun: payın sıfırları ve kesirlerde ayrıca paydanın sıfırları. Bir polinom işaretini yalnızca bir sıfırında değiştirebilir, bu yüzden ardışık iki kritik nokta arasında işareti sabittir.

Her aralıktan herhangi bir deneme değeri alın ve işareti belirleyin. İşareti eşitsizliğe uyan aralıkları tutun. Son olarak her uç noktanın durumuna karar verin: payın sıfırları $\le$ veya $\ge$ olduğunda cevaba dahil edilir, paydanın sıfırları ise ifade orada tanımsız olduğu için hiçbir zaman dahil edilmez.

Katlı kökler dikkat ister. $(x - 1)^2 (x + 2) > 0$ ifadesinde $(x - 1)^2$ çarpanı hiçbir zaman işaret değiştirmez, bu yüzden $x = 1$ noktasının iki yanında ifade aynı işarete sahiptir. Deneme noktalı işaret tablosu bunu kendiliğinden hesaba katar; «işaretler sırayla değişir» kestirme kuralı ise burada yanılır.

Çift taraflı ve mutlak değerli eşitsizlikler

$-3 < 2x + 1 \le 9$ gibi çift taraflı bir eşitsizlik, aynı işlem üç parçaya birden uygulanarak çözülür ve $-2 < x \le 4$ elde edilir. Mutlak değerli bir eşitsizlik çift taraflı bir eşitsizliğe dönüştürülür: $|x - 4| < 3$ , $x$ ile 4 arasındaki uzaklığın 3'ten küçük olduğu anlamına gelir, yani $1 < x < 7$ .

Sık yapılan hatalar

Negatif bir sayıyla çarptıktan veya böldükten sonra eşitsizliğin yönünü çevirmeyi unutmak.
İki tarafı, işareti bilinmeyen $x - 2$ gibi bir ifadeyle çarpmak. İşaret tablosunu kullanın.
Paydayı sıfır yapan bir değeri cevaba dahil etmek.
Bir aralığı sonsuz tarafında köşeli parantezle kapatmak.
$|x| > 3$ eşitsizliğini hiçbir sayının sağlamadığı $-3 > x > 3$ biçiminde yazmak; kastedilen $x < -3$ veya $x > 3$ olur.

İpuçları

Çarpanlara ayırmadan önce bir tarafta sıfır kalmasını sağlayın.
Kritik noktalarla birlikte her zaman bir sayı doğrusu çizin: uç noktalarla ilgili hataların çoğunu önler.
İlk eşitsizlikte cevaptan bir değeri ve cevaba dahil olmayan bir değeri deneyin.
Kesin eşitsizlikler dahil olmayan uç noktalar verir; kesin olmayanlar payın sıfırlarını dahil eder.

Sıkça sorulan sorular

Negatif bir sayıyla bölünce eşitsizliğin yönü neden değişir?

Negatif bir sayıyla çarpmak sayı doğrusundaki sıralamayı tersine çevirir. 5, 2'den büyüktür ama eksi 5, eksi 2'den küçüktür; bu yüzden karşılaştırmanın doğru kalması için ters çevrilmesi gerekir.

Aralık gösterimi nedir?

Çözüm kümesini normal ve köşeli parantezlerle yazmanın bir yoludur. Normal parantez uç noktayı dışarıda bırakır, köşeli parantez dahil eder ve parçalar birleşim işaretiyle bağlanır.

İkinci dereceden bir eşitsizlik nasıl çözülür?

Her şeyi bir tarafa toplayın, çarpanlarına ayırın veya köklerini bulun, onları sayı doğrusunda işaretleyin, her aralıkta bir değer deneyin ve işareti uygun olan aralıkları tutun.

Rasyonel eşitsizliklerde bazı uç noktalar neden cevaba dahil edilmez?

Paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kılar; bu yüzden «küçük veya eşit» ve «büyük veya eşit» işaretlerinde bile çözüme hiçbir zaman dahil edilmezler.

Bir eşitsizliğin hiç çözümü olmayabilir mi?

Evet. Örneğin x kare artı 1 küçüktür 0 eşitsizliğinin gerçek çözümü yoktur, çünkü x kare artı 1 her zaman pozitiftir. Hesap makinesi boş küme verir.

Bir eşitsizlik bütün gerçek sayılar için sağlanabilir mi?

Evet. Örneğin x kare büyük veya eşittir 0 her gerçek x için doğrudur ve hesap makinesi cevap olarak bütün sayı doğrusunu verir.

Eşitsizlik çözücüyü deneyin

Bir eşitsizlik girin; kritik noktaları, aralıklardaki işaretleri ve aralık gösterimiyle cevabı alın.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun