Doğrusal Denklemleri Adım Adım Çözmek

Doğrusal denklem nedir?

Tek bilinmeyenli doğrusal denklem, $a$ ve $b$ sayı ve $a \neq 0$ olmak üzere $ax + b = 0$ biçimine getirilebilen bir denklemdir. Bilinmeyen yalnızca birinci kuvvetten bulunur: $x^2$ yok, $\sqrt{x}$ yok ve paydada $x$ yok. $y = ax + b$'nin grafiği bir doğru olduğundan denklemin tam olarak bir çözümü vardır: $x = -\frac{b}{a}$, yani bu doğrunun x eksenini kestiği nokta.

$3x + 7 = 22$, $5(x - 2) = 3x + 4$ ve $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ denklemlerinin hepsi doğrusaldır, henüz $ax + b = 0$ gibi görünmeseler de. Yapılacak iş, bilinmeyen tek başına kalana kadar onları her seferinde geçerli bir dönüşümle yeniden yazmaktır.

Her adımın arkasındaki terazi modeli

Denklemi dengedeki bir terazi gibi düşünün. Diğer kefeye de tam olarak aynısını yaptığınız sürece bir kefeye istediğinizi yapabilirsiniz, çünkü aynı şekilde değiştirilen iki eşit büyüklük eşit kalır. Size dört dönüşüm gerekecek:

• iki tarafa aynı sayıyı ya da ifadeyi eklemek;
• iki taraftan aynı sayıyı ya da ifadeyi çıkarmak;
• iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpmak;
• iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayıya bölmek.

Sıfırla çarpmak ya da sıfıra bölmek yasak olan tek şeydir: sıfırla çarpmak her denklemi $0 = 0$'a dönüştürür ve bilgiyi yok eder, sıfıra bölme ise tanımsızdır.

Beş adımlı yöntem

1. Dağılma özelliğiyle parantezleri açın: $5(x - 2)$, $5x - 10$'a dönüşür.
2. İki tarafı paydaların en küçük ortak katıyla ya da 10 gibi onun bir kuvvetiyle çarparak kesirlerden veya ondalık sayılardan kurtulun.
3. Her taraftaki benzer terimleri ayrı ayrı toplayın.
4. Toplama ya da çıkarma ile x'li terimleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayın.
5. Bilinmeyenin katsayısına bölün, ardından kontrol için çözümü asıl denklemde yerine koyun.

Her denklem bütün adımları gerektirmez. Yöntem yalnızca en sık karışıklıklardan, örneğin benzer terimler toplanmadan bölmekten kaçınmaya yardım eden bir sıra belirler.

Basitten zora çözümlü örnekler

Sıraya dikkat edin. $3x + 7$ ifadesi kurulurken yedi en son eklendi, bu yüzden ilk o kaldırılır. Çözmek, işlemleri ters sırayla yapmaktır.

Pozitif katsayı daha rahatınıza geliyorsa x'li terimleri katsayının zaten büyük olduğu tarafta toplayın. Örnek 3'te iki tarafa $4x$ eklemek $9 = 6x - 15$'i, ardından $24 = 6x$'i ve $x = 4$'ü verir; negatif sayıya hiç bölmeden.

Kesirli ve ondalıklı denklemler

En çok hata kesirlerde yapılır, bu yüzden onlardan en başta kurtulun. İki taraftaki her terimi paydaların en küçük ortak katıyla çarpın. Her terim gerçekten her terim demektir; görünür paydası olmayan tam sayılar da dahil.

Ondalık sayılarda da onun bir kuvvetini kullanarak aynı şekilde davranılır. Virgülden sonra en çok basamağı olan ondalık sayıyı ortadan kaldıran kuvveti seçin.

Kesirlerle dolu denklemleri kesir hesap makinesiyle kontrol edebilir ya da her adımı denklem çözücüyle karşılaştırabilirsiniz.

Çözüm yok ya da sonsuz çözüm

Bazen çözüm sırasında bilinmeyen tamamen kaybolur. Geriye kalan, bunun hangi özel durum olduğunu gösterir.

$6 = 6$ gibi doğru bir eşitlik, iki tarafın aynı ifade olduğu anlamına gelir: her gerçek sayı bir çözümdür. Böyle bir denkleme özdeşlik denir.

$6 = 5$ gibi yanlış bir eşitlik, hiçbir $x$ değerinin tarafları eşitlemeyeceği anlamına gelir: denklemin çözümü yoktur. Grafikte iki taraf, eğimleri aynı ama y eksenini kestikleri noktalar farklı olan paralel doğrulardır; bu yüzden asla kesişmezler.

Bir formülden değişken çekmek

Aynı terazi modeli bir formülden değişken çekmeye, yani çok değişkenli bir denklemi bunlardan birine göre çözmeye de yardım eder. Aranan dışındaki her harfe bir sayı gibi davranın.

Denklemi bu biçime getirmek, onun grafiğini çizmenin ilk adımıdır; grafiği eğim hesap makinesiyle inceleyebilirsiniz.

Sözel problemden denklem kurmak

Bir büyüklük sabit hızla değiştiğinde günlük problemler doğrusal denklemlere götürür. Bilinmeyene bir ad verin, her cümleyi bir ifadeye çevirin ve aynı büyüklüğün iki tarifini birbirine eşitleyin.

Cümleleri denklemlere çevirmeyi sözel problem çözücüyle çalışmaya devam edebilirsiniz.

Sık yapılan hatalar ve bunlardan kaçınma yolları

• Yalnızca ilk terimi çarpmak: $3(x + 4)$, $3x + 4$'e değil, $3x + 12$'ye eşittir.
• Eksiyi kaybetmek: $-(x - 5)$, $-x + 5$'e eşittir. Eksiyi parantezdeki her terimle çarpın.
• Ortak paydayla yalnızca kesirleri çarpıp tam sayılı terimleri unutmak.
• Bir terimi denklemin öbür tarafına işaretini değiştirmeden geçirmek. «Terimi karşıya atmak» sözü, onu iki taraftan çıkarmanın kısaltmasıdır.
• $-x = 3$'te durmak. $x = -3$'ü elde etmek için $-1$'e bölün.
• Kontrolü atlamak. Ara bir satıra değil asıl denkleme yerine koyarsanız hangi adımda olursa olsun hatayı bulursunuz.

Sırada ne var?

Doğrusal denklemleri öğrendikten sonra aynı beceriler, fazladan tek bir kuralın eklendiği doğrusal eşitsizliklere ve iki doğrusal denklemin iki bilinmeyeni paylaştığı denklem sistemlerine doğrudan aktarılır. Denklemde $x^2$ varsa ikinci dereceden denklem çözme rehberini okuyun. Alıştırma için yukarıdaki örneklerden herhangi birini x'i bulma hesap makinesine girin ve onun adımlarını kendinizinkilerle karşılaştırın.

Sıkça sorulan sorular