Denklem Sistemlerini Çözmek: Grafik, Yerine Koyma ve Yok Etme Yöntemi

Bir sistemi çözmek ne demek?

Doğrusal denklem sistemi, aynı bilinmeyenleri içeren iki ya da daha fazla doğrusal denklemden oluşur. Çözüm, bütün denklemleri aynı anda sağlayan bilinmeyen değerleri kümesidir; örneğin $x = 2$ ve $y = 3$. Yalnızca bir denklemi sağlamak yetmez.

İki bilinmeyenli bir sistemde her denklem düzlemde bir doğru belirtir; çözüm ise iki doğrunun da üzerinde bulunan noktadır. Bu resim üç olası sonucu açıklar:

• Doğrular bir kez kesişir: tam olarak bir çözüm vardır.
• Doğrular paraleldir: çözüm yoktur. Sisteme tutarsız denir.
• Doğrular çakışıktır: sonsuz çok çözüm vardır. Sistem tutarlıdır ama bağımlıdır.

Yöntem 1: grafik yöntemi

Her denklemi $y = mx + b$ biçimine getirin, iki doğruyu da çizin ve kesişim noktasını bulun. Grafik yöntemi sistemin ne anlama geldiğini en iyi gösteren yöntemdir ve doğruların paralel mi çakışık mı olduğu hemen görülür. Ama kesin değildir: $x = \frac{7}{3}$'teki bir kesişim noktasını taslaktan okumak zordur. Onu tahmin için kullanın, ardından sonucu hesapla doğrulayın. İki doğruyu aynı anda grafik çizicide çizebilirsiniz.

Yöntem 2: yerine koyma

Bir denklemden bir bilinmeyeni çekin, bu ifadeyi diğer denklemde yerine koyun ve ortaya çıkan tek bilinmeyenli denklemi çözün. Bir bilinmeyenin katsayısı zaten 1 ya da $-1$ ise yerine koyma doğal seçimdir.

Yerine konan ifadeyi her zaman paranteze alın. $3x + 2x - 1$ yazmak burada tesadüfen işe yarar, ama $y = 2x - 1$'i $3x - y = 9$'da yerine koyarken $3x - (2x - 1)$ gerekir ve parantez $-1$'in işaretini değiştirir.

Yöntem 3: yok etme

Denklemlerin katlarını, bir bilinmeyen yok olacak şekilde toplayın ya da çıkarın. İki denklem de $ax + by = c$ biçiminde yazılmışsa yok etme yöntemi genellikle en hızlısıdır.

Hiçbir katsayı uymuyorsa önce denklemlerden birini ya da ikisini uyacak şekilde çarpın.

Çözümsüz ya da sonsuz çözümlü sistemleri tanımak

Yok etme sırasında iki bilinmeyen de kaybolursa geriye ne kaldığına bakın.

• $x + y = 4$ ve $2x + 2y = 10$. Birinciyi iki katına çıkarınca $2x + 2y = 8$ elde edilir; çıkarmadan sonra yanlış olan $0 = 2$ kalır. Doğrular paraleldir: çözüm yoktur.
• $x + y = 4$ ve $3x + 3y = 12$. Birinciyi üç katına çıkarınca tam olarak ikinci denklem elde edilir; çıkarmadan sonra $0 = 0$ kalır. $x + y = 4$ doğrusunun bütün noktaları çözümdür.

Bu, hesaba başlamadan katsayılardan görülebilir: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ ise doğruların eğimi aynıdır ve sistemin ya hiç çözümü yoktur ya da sonsuz çok çözümü vardır.

Determinantlarla Cramer kuralı

İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemde determinantlar her bilinmeyeni doğrudan verir:

$2x + 3y = 12$ ve $5x - 3y = 9$ için: $D = 2(-3) - 3(5) = -21$, $D_x = 12(-3) - 3(9) = -63$ ve $D_y = 2(9) - 12(5) = -42$. Buradan yok etme yöntemindeki gibi $x = 3$ ve $y = 2$ çıkar. $D = 0$ ise kural uygulanamaz; bu da tam olarak paralel ya da çakışık doğrular durumudur. Determinantlar rehberi daha büyük sistemler için bunların nasıl hesaplandığını açıklar.

Üç bilinmeyenli üç denklem

Strateji aynıdır: iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistem elde etmek için iki farklı denklem çiftinden aynı bilinmeyeni yok edin, bu sistemi çözün ve ardından geriye doğru yerine koyun.

Daha büyük sistemler genellikle matrisler ve Gauss eleme yöntemiyle çözülür; matris hesap makinesi tam olarak bu çözüm yolunu gösterir.

Bir uygulama problemi

İki bilinmeyen, birbirinden bağımsız iki koşul gerektirir. Problem yalnızca bir koşul veriyorsa tek bir cevabı olamaz.

Yöntem seçimi ve hatalardan kaçınma

• Bir bilinmeyen zaten çekilmişse ya da katsayısı 1 ise yerine koymayı kullanın.
• Denklemler genel biçimde yazılmışsa, özellikle katsayılar zaten eşit ya da zıt ise yok etmeyi kullanın.
• İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemde hızlıca cevaba ulaşmak ya da her bilinmeyen için bir formül elde etmek istiyorsanız Cramer kuralını kullanın.
• Sonucu her zaman iki asıl denklemde de kontrol edin, çünkü bir hesap hatası yalnızca birini sağlayan bir nokta verebilir.

Hesaplarınızı, yok etme ya da yerine koyma yönteminin her adımını gösteren denklem sistemleri hesap makinesiyle karşılaştırın. Her yöntemde karşınıza çıkan tek bir denklemi çözme adımlarını tekrar etmek için doğrusal denklemlerin nasıl çözüldüğünü okuyun.

Hangi yöntem seçilmeli?

Bütün yöntemler aynı çözüme götürür, bu yüzden hesabı en kolay olanı seçin. Bir denklemde bilinmeyen zaten çekilmişse, $y = 2x - 1$'deki gibi, ya da bilinmeyenin katsayısı 1 veya $-1$ ise yerine koyma idealdir. İki denklem de $ax + by = c$ biçiminde yazılmışsa ve hiçbir bilinmeyen çekilmemişse yok etme genellikle daha hızlıdır, çünkü kesirleri sona kadar erteler.

Grafik yöntemi görsellik içindir: kesişen iki doğru, iki paralel doğru ya da iki kez çizilmiş aynı doğru. Kesişim noktasının koordinatları tam sayı değilse kesin değerler için daha az güvenilirdir. Cramer kuralı ve matris yöntemleri üç ve daha fazla bilinmeyenli sistemler için uygundur; hesap makineleri ve yazılımlar da arka planda tam olarak bunları kullanır.

Bir doğru ile bir parabol gibi doğrusal olmayan sistemlerde yerine koyma neredeyse her zaman doğru seçimdir. $y = x^2$ ve $y = x + 2$'den $x^2 = x + 2$, yani $x^2 - x - 2 = 0$ ve $(x - 2)(x + 1) = 0$ çıkar. Kesişim noktaları $(2, 4)$ ve $(-1, 1)$'dir ve ikisi de her denklemi sağlar.

Çözümü kontrol etmek

Bir sistemin çözümü, yalnızca son kullanılan denklemi değil, bütün denklemleri sağlamalıdır. Değerlerinizi her asıl denklemde yerine koyun. Yok etme yöntemindeki ikinci örnekte $(2, 5)$, $3(2) + 2(5) = 16$ ve $4(2) - 5(5) = -17$ verir: iki denklem de sağlanır. Bir denklemi sağlayıp diğerini sağlamayan bir değer, yok etme sırasında yapılmış bir hatayı ele verir.

Sınavda kontrolünüzü yazın. Bir dakikadan az sürer ve kontrol edilmiş bir cevap değerlendirmede çoğu zaman artı puan olarak sayılır.

Denklem sistemleri hesap makinesi iki ve üç bilinmeyenli sistemleri çözer ve her adımı gösterir; bu, kendi çözümünüzle karşılaştırmak için kullanışlıdır.

Sıkça sorulan sorular