Matrislere Giriş: Yeni Başlayanlar İçin Rehber

Matris nedir?

Matris, eleman adı verilen ve satırlar ile sütunlar hâlinde dizilen sayılardan oluşan dikdörtgen bir tablodur. $m$ satır ve $n$ sütundan oluşan matrise $m \times n$ boyutlu matris denir («m'ye n» diye okunur) ve her zaman önce satırlar belirtilir. $A$ matrisinin $i$. satır ve $j$. sütunundaki eleman $a_{ij}$ ile gösterilir. Örneğin:

Tek sütunlu bir matris sütun vektörü, tek satırlı bir matris satır vektörüdür. Kare matrisin satır sayısı sütun sayısına eşittir; yalnızca kare matrislerin determinantı ve tersi olabilir. İki matris ancak boyutları aynıysa ve karşılıklı tüm elemanları eşitse eşittir.

Matris toplama ve sayıyla çarpma

Aynı boyuttaki matrisler eleman eleman toplanır: $A + B$ matrisinin $i$. satır ve $j$. sütunundaki eleman $a_{ij} + b_{ij}$'dir. Çıkarma da aynı şekilde yapılır. Farklı boyutlardaki matrisler toplanamaz, çünkü elemanlarını eşleştirmenin anlamlı bir yolu yoktur.

Bir matris bir skalerle, yani sıradan bir sayıyla çarpıldığında her eleman o sayıyla çarpılır. Bu işlemler tam olarak alışılmış aritmetik gibi davranır: toplama değişmeli ve birleşmelidir, ayrıca $k(A + B) = kA + kB$.

Matris çarpımı: satır çarpı sütun

İki matris eleman eleman çarpılmaz. $AB$ çarpımının her elemanı, $A$'nın bir satırı ile $B$'nin bir sütununun nokta çarpımıdır:

Bunun için $A$'nın sütun sayısı $B$'nin satır sayısına eşit olmalıdır. $A$, $m \times n$ boyutlu ve $B$, $n \times p$ boyutlu ise çarpım $m \times p$ boyutludur. Hızlı bir kontrol için boyutları yan yana yazın: içteki sayılar eşit olmalı, dıştakiler ise sonucun boyutunu verir. $2 \times 3$ bir matris $3 \times 4$ bir matrisle çarpılınca $2 \times 4$ bir matris verir; $2 \times 3$ bir matrisin başka bir $2 \times 3$ matrisle çarpımı ise tanımlı değildir.

Sıra önemlidir: AB nadiren BA'ya eşittir

Önceki örnekte sırayı değiştirirseniz $BA = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$ elde edilir: farklı bir matris. Matris çarpımı değişmeli değildir. Kare olmayan matrislerde durum daha da kötüdür: çarpımlardan biri tanımlıyken diğeri tanımsız olabilir ya da iki çarpımın boyutları farklı olabilir.

Alışılmış diğer kurallar hâlâ geçerlidir. Çarpma birleşmelidir, $(AB)C = A(BC)$, ve toplama üzerine dağılır, $A(B + C) = AB + AC$. Ama iki uyarıyı akılda tutmak gerekir. Sıfırdan farklı iki matrisin çarpımı sıfır matris olabilir ve $A$ tersinir değilse $AB = AC$ eşitliğinden $A$ sadeleştirilemez. Bu yüzden matrislerle hesap yapmak, sayılarla hesap yapmaktan biraz daha fazla dikkat ister.

$(A + B)^2$ gibi ifadelerde parantezleri açarken sıraya dikkat edin: sonuç $A^2 + 2AB + B^2$ değil, $A^2 + AB + BA + B^2$'dir.

Birim matris ve devrik matris

Birim matris $I$, ana köşegeninde birler, diğer tüm yerlerde sıfırlar bulunan kare bir matristir. Aritmetikteki 1 sayısının rolünü oynar: uygun boyuttaki her $A$ kare matrisi için $AI = IA = A$. Tüm elemanları sıfır olan sıfır matris ise 0'ın rolünü oynar.

Devrik matris $A^T$, satırlarla sütunların yerini değiştirir: $A^T$ matrisinin $i$. satır ve $j$. sütunundaki eleman $a_{ji}$'dir. $2 \times 3$ bir matris $3 \times 2$ bir matrise dönüşür. Faydalı bir kural: bir çarpımın devriği alınırken çarpanların sırası tersine döner.

Devriğine eşit olan matrise simetrik matris denir. Simetrik matrisler istatistikte ve fizikte sürekli karşımıza çıkar ve özdeğerleri özellikle iyi davranır: her zaman gerçeldir.

Matrisler ve denklem sistemleri

Matrislerin en önemli uygulamalarından biri, doğrusal denklem sistemini derli toplu yazmaktır. $2x + y = 5$ ve $x - 3y = -1$ sistemi şuna dönüşür:

Sol tarafı çarparsanız iki denklemi yeniden elde edersiniz: matrisin doğru kurulduğunu gösteren iyi bir kontrol. Çözüm: $x = 2$, $y = 1$. Bu biçimde aynı yöntemler, yani Gauss eleme yöntemi ya da ters matris, hem iki denklemi hem de iki bin denklemi çözmeyi sağlar. Denklem sistemlerini çözme rehberimiz yöntemleri elle uygulamayı anlatır, denklem sistemi hesap makinesi ise onları adım adım çözer.

Matrisler neden gerekir?

• Bilgisayar grafikleri: 3D modellerin döndürülmesi, ölçeklenmesi ve izdüşümleri, her köşeye uygulanan matris çarpımlarıdır.
• Veri analizi: bir veri kümesi, her gözlem için bir satırı ve her özellik için bir sütunu olan bir matristir; temel bileşenler analizi gibi yöntemler doğrudan onunla çalışır.
• Ağlar: komşuluk matrisi hangi düğümlerin bağlı olduğunu gösterir, kuvvetleri ise belirli uzunluktaki yolları sayar.
• Ekonomi ve mühendislik: girdi-çıktı modelleri ve elektrik devresi hesapları büyük doğrusal denklem sistemlerine yol açar.
• Makine öğrenmesi: bir sinir ağının katmanları özünde matris çarpımlarıdır.

Matris hesap makinesi uyumlu boyutlardaki matrisleri toplar, çarpar ve devriğini alır; her «satır çarpı sütun» hesabını gösterdiği için ödev kontrolünde kullanışlıdır.

Kuvvetler ve köşegen matrisler

Kare bir matris kendisiyle çarpılabilir; bu yüzden $A^2 = AA$ ve $A^3 = AAA$ gibi kuvvetler anlamlıdır. Kare olmayan matrislerin kuvvetleri yoktur, çünkü boyutlar uyuşmaz. Matris kuvvetleri, bir süreç her tekrarlandığında ortaya çıkar: bir matris nüfusun bir yılda bölgeler arasında nasıl yer değiştirdiğini anlatıyorsa onuncu kuvveti on yıldaki yer değiştirmeyi anlatır.

Sıfırdan farklı elemanları yalnızca ana köşegende bulunan köşegen matrisler özellikle kullanışlıdır. İki köşegen matrisin çarpımı köşegen elemanlarının çarpılmasıyla elde edilir; dolayısıyla bir köşegen matrisin kuvvetini almak, her köşegen elemanının kuvvetini almak demektir. Örneğin elemanları 2 ve 3 olan köşegen matrisin karesi, elemanları 4 ve 9 olan köşegen matristir. İleri doğrusal cebirin önemli bir kısmı, bu tür hesapları kolaylaştırmak için bir matrisi köşegen biçime getirmeye ayrılmıştır.

Matrislerle ilgili tipik hatalar

• Boyutu belirtirken satırlarla sütunları karıştırmak. Satırlar her zaman önce gelir.
• «Satır çarpı sütun» yerine eleman eleman çarpmak.
• $AB = BA$ olduğunu varsaymak ya da bir ifadeyi sadeleştirirken çarpanların sırasını değiştirmek.
• Farklı boyutlardaki matrisleri toplamaya ya da iç boyutları uyuşmayan matrisleri çarpmaya çalışmak.
• Bir çarpımın devriği alınırken çarpanların sırasının tersine döndüğünü unutmak.

Her hesaptan önce boyutlara kısaca göz atmak bu hataların çoğunu önler. Her matrisin altına boyutunu yazın, işlemin tanımlı olup olmadığını kontrol edin ve tek bir elemanı bile hesaplamadan önce sonucun boyutunu tahmin edin.

Sıkça sorulan sorular