Örneklerle Özdeğerler ve Özvektörler

Tanımlayıcı denklem

Vektörlerin çoğu bir matrisle çarpıldığında yön değiştirir. Bazı özel vektörler değiştirmez: matris onları yalnızca aynı doğru boyunca gerer, büzer ya da yansıtır. Bunlar özvektörlerdir ve her birinin çarpıldığı katsayı onun özdeğeridir. Sembollerle, sıfırdan farklı bir $\mathbf{v}$ vektörü, aşağıdaki eşitlik sağlanıyorsa kare $A$ matrisinin $\lambda$ özdeğerli bir özvektörüdür:

Sıfır vektör hariç tutulur, çünkü her $\lambda$ için denklemi sağlardı. Özdeğerler ise sıfır, negatif, hatta karmaşık olabilir. 2 özdeğeri bu yöndeki vektörlerin uzunluğunun iki katına çıktığı, $-1$ ters çevrildikleri, 0 ise sıfır vektöre büzüldükleri anlamına gelir; bu da ancak ve ancak matris tekilse olur.

Karakteristik denklemle özdeğerleri bulmak

Denklemi $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ biçiminde yazın. Sıfırdan farklı bir çözümün var olması için $A - \lambda I$ matrisi tekil olmalı, yani determinantı sıfıra eşit olmalıdır. Böylece karakteristik denklem elde edilir:

$n \times n$ bir matris için bu, $\lambda$'ya göre $n$. dereceden bir polinom denklemidir: demek ki katlılıklarıyla sayıldığında ve karmaşık olanlara izin verildiğinde $n$ tane özdeğer vardır. $2 \times 2$ bir matris için polinom ikinci derecedendir ve ikinci dereceden denklemler nasıl çözülür makalesindeki yöntemlerle çözülebilir.

Eksiksiz bir 2'ye 2 örneği

Bir özvektörün sıfırdan farklı her katı da özvektördür: $(3, 3)$ ya da $(-2, 4)$ da aynı derecede doğru cevaplar olurdu. Önemli olan uzunluk değil, yöndür. Ayrıca iki durumda da $A - \lambda I$'nın satırlarının orantılı olduğuna dikkat edin. $\lambda$ gerçekten bir özdeğerse bu garantidir ve hesapların mükemmel bir kontrolüdür.

İki kısayol: iz ve determinant

Her kare matrisin özdeğerleri, kolayca bulunan iki sayıyla ilişkilidir. Toplamları ize, yani köşegen elemanlarının toplamına, çarpımları ise determinanta eşittir:

Örnek 1'de iz $4 + 3 = 7 = 5 + 2$, determinant ise $12 - 2 = 10 = 5 \cdot 2$'dir. $2 \times 2$ bir matris için bu, karakteristik denklemin her zaman $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ biçiminde olduğu anlamına gelir; böylece determinantı elle açmak gerekmez. Üçgen matrislerle iş daha da kolaydır: özdeğerleri doğrudan köşegen elemanlarıdır.

Karmaşık ve katlı özdeğerler

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ dönme matrisi her vektörü 90 derece döndürür: hiçbir gerçel yön kendi doğrusunda kalmaz. Karakteristik denklemi $\lambda^2 + 1 = 0$, $\lambda = \pm i$ karmaşık özdeğerlerini verir. Gerçel bir matrisin karmaşık özdeğerleri her zaman eşlenik çiftler hâlinde ortaya çıkar ve bir dönmeye işaret eder.

Özdeğerler katlı da olabilir. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ matrisinin iki katlı 2 özdeğeri vardır, ama $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $y = 0$'ı zorunlu kılar: tek özvektörler $(1, 0)$'ın katlarıdır. Doğrusal bağımsız özvektörlerinin sayısı boyutundan az olan böyle bir matris köşegenleştirilemez. Buna karşılık birim matrisin de katlı bir 1 özdeğeri vardır, ama sıfırdan farklı her vektör onun özvektörüdür.

Simetrik matrisler bu iki güçlükten de kaçınır. Özdeğerleri her zaman gerçeldir ve farklı özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri diktir. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ için özdeğerler 3 ve 1'dir; özvektörler ise nokta çarpımı sıfır olan $(1, 1)$ ve $(1, -1)$'dir.

Köşegenleştirme ve matris kuvvetleri

$n \times n$ bir matrisin $n$ tane doğrusal bağımsız özvektörü varsa matris köşegenleştirilebilir. Özvektörleri $P$'nin sütunlarına, özdeğerleri $D$'nin köşegenine yazın; o zaman:

Köşegen bir matrisin kuvveti, her köşegen elemanının kuvveti alınarak bulunur: böylece $A^{100}$'ü hesaplamak kolaylaşır. Özdeğerler uzun vadeli davranışı da öngörür: bir özdeğerin mutlak değeri diğer hepsininkinden kesin olarak büyükse $A$ ile tekrar tekrar çarpmak, neredeyse her başlangıç vektörünü karşılık gelen özvektörün yönüne çevirir.

Özdeğerler nerede önemlidir?

• Arama motorları: Google'ın ilk sayfa sıralama algoritması, web sayfalarını bağlantı matrisinin baskın özvektörüne göre sıralar.
• Mühendislik: köprülerin ve binaların doğal frekansları özdeğerlerle belirlenir ve mühendisler bunları beklenen uyarım frekanslarından uzak tutar.
• Veri analizi: temel bileşenler analizi, en büyük yayılımın yönlerini bulmak için kovaryans matrisinin özvektörlerini kullanır.
• Diferansiyel denklemler: özdeğerlerin işaretleri dengenin kararlı mı kararsız mı olduğuna karar verir.
• Kuantum mekaniği: enerji düzeyleri gibi ölçülebilir büyüklükler operatörlerin özdeğerleridir.

Özdeğer hesap makinesi karmaşık olanlar dâhil özdeğerleri ve özvektörleri bulur ve karakteristik polinomu adım adım gösterir. Determinant hesap makinesi, aday bir değer için $\det(A - \lambda I)$'yı kontrol etmeye yardımcı olur.

3'e 3 bir örnek

Büyük matrisler de aynı yolla ele alınır ve sıfırlar determinantlarda olduğu gibi işe yarar. Satırları $(2, 0, 0)$, $(0, 3, 4)$ ve $(0, 4, 9)$ olan matrisi alalım. $\det(A - \lambda I)$'yı birinci satıra göre açmak, $(2 - \lambda)$ çarpı satırları $(3, 4)$ ve $(4, 9)$ olan bloğun karakteristik polinomunu verir. Bu bloğun izi 12, determinantı $27 - 16 = 11$'dir; bu yüzden polinomu $\lambda^2 - 12\lambda + 11 = (\lambda - 1)(\lambda - 11)$'dir.

Dolayısıyla özdeğerler 2, 1 ve 11'dir. Kontrol: toplamları 14 tüm matrisin izi, çarpımları 22 ise determinantıdır. Özvektörler: 2 özdeğeri için $(1, 0, 0)$, 1 için $(0, -2, 1)$ ve 11 için $(0, 1, 2)$. Matris simetriktir ve söz verildiği gibi bu üç vektör ikişer ikişer diktir.

Tipik hatalar

• $\lambda$'yı yalnızca köşegen elemanlarından değil, tüm elemanlardan çıkarmak.
• $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$'ı çözdükten sonra sıfır vektörü özvektör saymak.
• Katlı bir özdeğerin her zaman iki doğrusal bağımsız özvektörü olduğunu varsaymak.
• $A\mathbf{v}$'yi hesaplayıp $\lambda\mathbf{v}$ ile karşılaştırarak sonucu kontrol etmeyi unutmak.

Son kontrol, tüm alışkanlıkların en değerlisidir. Yalnızca bir matris-vektör çarpımı gerektirir ve $A\mathbf{v}$, $\mathbf{v}$'nin bir katı değilse ya özdeğer ya da özvektör yanlıştır.

Geometrik tablo

Örnek 1'deki matrisi kareli bir kâğıdın her noktasına uyguladığınızı düşünün. Başlangıç noktasından çıkan okların çoğu hem uzar hem de döner. Ama $(1, 1)$'den geçen doğru üzerindeki oklar yalnızca beş kat uzar, $(1, -2)$'den geçen doğru üzerindekiler ise doğrularından ayrılmadan uzunluklarını ikiye katlar. Özvektörler dönüşümün iskeletidir: bu iki doğru boyunca ne olduğunu bilirseniz her yerde ne olduğunu da bilirsiniz, çünkü her vektör bu doğrular boyunca bileşenlere ayrılır.

Sıkça sorulan sorular