Bir Matrisin Tersi Nasıl Bulunur?

Ters matris nedir?

Sayılarda 5'in tersi $\frac{1}{5}$'tir, çünkü $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$. Matrislerde bölme yoktur, ama aynı fikir işe yarar. Kare bir $A$ matrisinin tersi, aşağıdaki eşitliği sağlayan $A^{-1}$ matrisidir:

Burada $I$ birim matristir, 1 sayısının matrislerdeki karşılığı. $A$, örneğin düzlemin döndürülmesi ve gerilmesi gibi bir dönüşümü anlatıyorsa $A^{-1}$ her şeyi başlangıçtaki konumuna geri getiren dönüşümdür. Yalnızca kare matrislerin tersi olabilir ve hepsinin de tersi yoktur. Tersi olan matrise tersinir ya da tekil olmayan matris; tersi olmayan matrise ise tekil matris denir.

Ölçüt determinanttır: $A$ ancak ve ancak $\det(A) \ne 0$ ise tersinirdir. Sıfır determinant, matrisin uzayı daha düşük bir boyuta sıkıştırdığı anlamına gelir: farklı girdiler aynı çıktıya düşer ve dönüşüm geri alınamaz.

2'ye 2 matrisler için formül

$2 \times 2$ bir matris için kısa bir formül vardır: ana köşegenin elemanlarının yerini değiştirin, diğer ikisinin işaretini değiştirin ve determinanta bölün.

Buna karşılık $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ matrisinin determinantı $4 - 4 = 0$'dır. Birinci satırı ikincisinin iki katıdır: tersi yoktur ve formül sizi sıfıra bölmeye zorlardı.

Her boyut için Gauss-Jordan yöntemi

$3 \times 3$ ve daha büyük matrisler için standart yöntem Gauss-Jordan yöntemidir. $A$'yı ve birim matrisi yan yana yazarak $[A \mid I]$ genişletilmiş matrisini kurun. Temel satır işlemleriyle sol yarıyı $I$'ya dönüştürün. Aynı işlemler sağ yarıyı $A^{-1}$'e dönüştürür. Solda sıfır satırı ortaya çıkarsa matris tekildir ve tersi yoktur.

Bu matrisin determinantı tesadüfen 1'dir; bu yüzden tersi yalnızca tam sayılar içerir. Ters matrislerin çoğu kesir içerir: işlem boyunca yuvarlanmış ondalık sayılarla değil, kesirlerle çalışın.

Ek matris yardımıyla formül

$2 \times 2$ kuralını genelleştiren bir formül de vardır. Her elemanı kofaktörüyle, yani o elemanın satırı ve sütunu silinerek elde edilen işaretli minörle değiştirin: böylece kofaktörler matrisini elde edersiniz. Ardından $\operatorname{adj}(A)$ ek matrisini elde etmek için onun devriğini alın:

Bu formül teoride ve elemanları basit olan $3 \times 3$ matrisler için yararlıdır, ama $3 \times 3$ bir matris için dokuz tane $2 \times 2$ determinant gerektirir ve iş yükü boyut büyüdükçe çok hızlı artar. Biraz daha büyük her matris için pratik seçim Gauss-Jordan yöntemi olmaya devam eder.

Ters matrisle sistem çözmek

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ biçimindeki bir doğrusal denklem sistemi, iki taraf soldan $A^{-1}$ ile çarpılarak çözülür; bu da $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ verir. Bu, $5x = 10$ denklemini 5'e bölerek çözmenin karşılığıdır.

Bu yol özellikle katsayıları aynı ama sağ tarafları farklı birkaç sistemi çözmek gerektiğinde kullanışlıdır: ters matris yalnızca bir kez hesaplanır. Tek bir sistem için, denklem sistemlerini çözme rehberinin açıkladığı gibi, Gauss eleme yöntemi genellikle daha hızlıdır.

Ters matrisin özellikleri

• Bir çarpımın tersi sırayı tersine çevirir: tıpkı giyinmenin tersi sırayla önce ayakkabıları, sonra çorapları çıkardığınız gibi.
• $A$ tersinirse tersi tektir.
• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.
• Sıfırdan farklı bir $k$ sayısı için $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$ geçerlidir.
• Köşegen elemanları sıfırdan farklı olan bir köşegen matrisin tersi, her köşegen elemanının tersi alınarak bulunur.

Uygulamada ters matris

Ters matrisler teoride vazgeçilmezdir ve şu alanlarda karşımıza çıkar: bir kamera dönüşümünü geri almanın onun tersini uygulamaya denk olduğu bilgisayar grafiklerinde; Hill şifresinin mesajları ters matris yardımıyla çözdüğü kriptografide; ve regresyon için en küçük kareler formülünün bir ters matris içerdiği istatistikte.

Yine de sayısal yazılımlar yalnızca bir sistemi çözmek için ters matrisi nadiren açıkça hesaplar. Gauss eleme yöntemine dayanan yöntemler daha hızlıdır ve yuvarlama hatalarından daha az etkilenir; özellikle determinantı sıfıra yakın, neredeyse tekil matrislerde. Ters matris hesap makinesi Gauss-Jordan yönteminin her adımını tam kesirlerle gösterir; matris hesap makinesi yardımıyla da $AA^{-1}$'in gerçekten birim matrise eşit olup olmadığını kontrol edebilirsiniz.

2'ye 2 formülü neden işe yarar?

Formülü kontrol etmek kolaydır; neden işe yaradığını anlamak ise onu hatırlamayı kolaylaştırır. Başlangıçtaki matrisi, köşegeni yer değiştirmiş ve diğer elemanları ters işaretle alınmış matrisle çarpın:

Sonuç, birim matrisle çarpılmış determinanttır. Determinanta bölünce tam olarak birim matrisi elde ederiz ve ters matrisin vermesi gereken de budur. Bu hesap, sıfır determinantın neden ölümcül olduğunu da gösterir: o zaman çarpım sıfır matris olur ve hiçbir ölçekleme onu birim matrise dönüştüremez.

Ters alırken yapılan tipik hatalar

• $2 \times 2$ formülünde köşegen elemanlarının yerini değiştirmek yerine işaretlerini değiştirmek.
• Sonunda determinanta bölmeyi unutmak.
• Bir satır işlemini $[A \mid I]$'nın sol yarısına uygulayıp sağ yarısına uygulamamak.
• $\mathbf{b}$'yi yanlış taraftan çarpmak: çözüm $A^{-1}\mathbf{b}$'dir, $\mathbf{b}A^{-1}$ ise genel olarak tanımlı bile değildir.
• Kesirleri çok erken ondalık sayılara yuvarlamak; böylece son kontrol artık tam olarak birim matrisi vermez.

Bu hataların hepsini aynı alışkanlık ortaya çıkarır: devam etmeden önce sonucu başlangıçtaki matrisle çarpın. Kontrol bir dakika sürer ve sonradan bütün hesabı yeniden yapmaktan çok daha ucuza gelir.

Alıştırmalar

Cevaplara bakmadan önce bunları çözmeyi deneyin. Önce satırları $(2, 1)$ ve $(5, 3)$ olan matrisin tersini alın. Determinantı $6 - 5 = 1$'dir: demek ki tersi, köşegeni yer değiştirmiş ve diğer elemanlarının işaretleri ters çevrilmiş matristir; satırları $(3, -1)$ ve $(-5, 2)$'dir. Ardından satırları $(3, 6)$ ve $(1, 2)$ olan matrisin tersinir olup olmadığını bulun. Determinantı $6 - 6 = 0$'dır: tekildir. Sonra köşegeninde 2, 4 ve 5 bulunan köşegen matrisin tersini alın: tersinin köşegeninde ikide bir, dörtte bir ve beşte bir bulunur. Son olarak ilk çözümü kullanarak $2x + y = 4$ ve $5x + 3y = 11$ sistemini çözün: ters matrisi sağ tarafla çarpınca $x = 3(4) - 11 = 1$ ve $y = -5(4) + 2(11) = 2$ elde ederiz ve iki denklem de sağlanır.

Sıkça sorulan sorular