Denklem Sistemi Çözücü

Denklem sistemi çözücü hakkında

Bir denklem sistemi, birkaç denklemi aynı anda sağlayan değerleri sorar. Koordinat düzlemindeki iki doğru tek bir noktada kesişir, hiç kesişmez ya da çakışır; aynı üç durum bilinmeyen sayısı ne olursa olsun sistemlerde de görülür. Hesap makinesi hangi durumla karşı karşıya olduğumuzu belirler ve tek çözüm olduğunda yuvarlanmış ondalık sayılar yerine tam kesirler verir.

Okuldaki yerine koyma ve yok etme yöntemlerinin arkasındaki sistematik yöntem olan Gauss–Jordan yok etme yöntemini kullanır. Her satır işlemi listelenir: hesaplamaları izleyebilir, kendi yok etme adımlarınızla karşılaştırabilir ve bir bilinmeyenin tam olarak nerede kaybolduğunu ya da çelişkinin nerede ortaya çıktığını görebilirsiniz.

Doğrusal denklem sistemi nedir?

Doğrusal bir denklemde her bilinmeyen yalnızca birinci kuvvetten bulunur, $2x + 3y = 7$ örneğindeki gibi. Sistem, aynı bilinmeyenleri içeren bu tür denklemlerin bir topluluğudur. Çözüm, bütün denklemleri aynı anda doğru eşitliklere dönüştüren değerler kümesidir.

İki bilinmeyende her denklem bir doğru belirtir, çözüm ise kesişim noktasıdır. Üç bilinmeyende her denklem bir düzlem belirtir. Bir sistemin tek çözümü, sonsuz çözümü olabilir ya da hiç çözümü olmayabilir.

Denklem sistemi çözücü nasıl kullanılır?

Her denklemi ayrı bir satıra yazın, örneğin birinci satıra 2x + 3y = 7, ikinci satıra x - y = 1.
Bilinmeyenler için istediğiniz harfleri kullanın. Terimler her iki tarafta da olabilir: hesap makinesi denklemleri standart biçime getirir.
Kesirler ve ondalık sayılar kabul edilir, örneğin 0.5x + y/3 = 2; ondalık sayılar tam kesirlere dönüştürülür.
«Sistemi çöz» düğmesine basın. Standart biçimi ve genişletilmiş matrisi, ardından satır işlemlerinin listesini inceleyin.
Sonucu okuyun: tek çözüm, sonsuz çözüm kümesinin parametrik yazılışı ya da çözüm olmadığını kanıtlayan çelişki.

Formüller

Matris gösterimi

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

Katsayılar $A$ matrisini, sağ taraflar $\mathbf{b}$ vektörünü oluşturur; genişletilmiş matris $[A \mid \mathbf{b}]$ olur.

Elemanter satır işlemleri

R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i\ (k \ne 0),\quad R_i \to R_i + kR_j

Hiçbiri çözüm kümesini değiştirmez.

Cramer kuralı (2 × 2)

x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}},\quad y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}

Determinantı sıfırdan farklı olan $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ sistemi için.

Çözümlü örnek: 2x + 3y = 7, x − y = 1

Örnekte $2x + 3y = 7$ ve $x - y = 1$ sistemi çözülür. Hesap makinesi genişletilmiş matrisi kurar, birinci satırı ilk katsayısı 1 olacak şekilde böler, ikinci satırdan $x$ bilinmeyenini, ardından birinci satırdan $y$ bilinmeyenini yok eder.

Cevap doğrudan indirgenmiş matristen okunur: $x = 2$ ve $y = 1$ . Yerine koyunca $2(2) + 3(1) = 7$ ve $2 - 1 = 1$ elde edilir: iki denklem de sağlanır.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

x = 2,\ y = 1

Probleminizi nasıl okuduk

Doğrusal denklem sayısı: 2, bilinmeyen sayısı: 2 (x, y).

\begin{cases} 2x+3y = 7 \\ x- y = 1 \end{cases}

Adım adım çözüm

Her denklemi standart biçimde yazın
Bütün değişkenli terimleri sola, sabitleri sağa taşıyın.
$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Genişletilmiş matrisi kurun [A | b]
Sütunlar: x, y | sabit terim.
$\begin{bmatrix}2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
Gauss–Jordan yok etme yöntemi
Satır işlemleriyle her pivotu 1 yapın ve sütunundaki diğer elemanları sıfırlayın.
Şunu bölün: R1, bölen 2
$R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
R1 içindeki pivotu kullanarak 1 sütununu sıfırlayın
$R_{2} \to R_{2} - 1R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2}\end{bmatrix}$
Şunu bölün: R2, bölen -5/2
$R_{2} \to \tfrac{1}{-\frac{5}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
R2 içindeki pivotu kullanarak 2 sütununu sıfırlayın
$R_{1} \to R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
İndirgenmiş satır eşelon biçimi
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Tek çözümü okuyun
$x = 2,\ y = 1$

Kullanılan formüller

Matris biçimi
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
Elementer satır işlemleri
$R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i,\quad R_i \to R_i + kR_j$

Sistemin tam olarak bir çözümü vardır; yerine konduğunda bütün denklemleri sağlar.

Doğrulama

Denklem 1: 2x + 3y = 7 ✓
Denklem 2: x - y = 1 ✓

Ayrıntılı açıklama

Yok etme, yerine koyma ve matrisler

Yerine koyma yönteminde bir denklem bir bilinmeyene göre çözülür ve sonuç diğer denklemlerde yerine yazılır. Yok etme yönteminde denklemler uygun sayılarla çarpılıp toplanır, böylece bir bilinmeyen kaybolur. Gauss–Jordan yöntemi, genişletilmiş matris üzerinde sabit bir işlem sırasıyla uygulanan yok etme yöntemidir: her sütunda bir pivot seçilir, 1 yapılır ve o sütunun diğer bütün katsayıları sıfırlanır.

Matris gösterimi başka bir yöntem değil, yalnızca daha düzenli bir yazım biçimidir. Her satır, bilinmeyen adları olmadan yazılmış bir denklemdir; her satır işlemi de denklemlerle elle yapabileceğiniz bir işlemdir. Hesaplamalar tam kesirlerle yapıldığından hiçbir yuvarlama hatası eksik belirli bir sistemi sahte bir tek çözüme dönüştüremez.

Çözümsüz veya sonsuz çözümlü sistemler nasıl tanınır?

Yok etme sırasında $[0\ 0 \mid 5]$ biçiminde bir satır ortaya çıkarsa bu, imkânsız olan $0 = 5$ anlamına gelir: sistem tutarsızdır. Geometrik olarak bunlar hiç kesişmeyen paralel doğrulardır.

Bir satır tamamen sıfırlardan oluşuyorsa, $[0\ 0 \mid 0]$ , karşılık gelen denklem diğerlerinin bir birleşimiydi ve yeni bilgi taşımaz. Pivot sayısı bilinmeyen sayısından azsa pivotu olmayan bilinmeyenler serbesttir. Hesap makinesi bunları parametre olarak işaretler ve diğer bilinmeyenleri bunlar cinsinden ifade ederek çözümlerin oluşturduğu doğrunun veya düzlemin tamamını tanımlar.

Daha büyük sistemler

Üç bilinmeyenli üç denklem, yalnızca bir sütun fazlasıyla aynı düzende çözülür. Yöntem her boyuttaki sistem için çalışır; hesap makinesi denklem sayısının bilinmeyen sayısından fazla ya da az olduğu sistemleri de kabul eder ve her durumda sonucu dürüstçe bildirir.

Sık yapılan hatalar

Bir denklemi bir sayıyla çarparken yalnızca bir tarafı veya terimlerin yalnızca bazılarını çarpmak.
Bir denklemi diğerinden çıkarırken eksi işaretini kaybetmek; sağ taraf dahil bütün terimleri çıkarın.
Bir sistemin her zaman tam olarak bir çözümü olduğunu varsaymak. Çelişkilere ve sıfır satırlara dikkat edin.
Bilinmeyenleri farklı denklemlerde farklı sırayla yazmak; bu, matrisin sütunlarını kaydırır.
Hesaplamanın ortasında kesirleri yuvarlamak; bu yüzden tutarlı bir sistem çelişkili görünebilir.

İpuçları

Başlamadan önce bilinmeyenleri bütün denklemlerde aynı sıraya koyun.
Önce katsayıları en basit olan bilinmeyeni yok edin.
Çözümü yalnızca son kullandığınız denkleme değil, bütün ilk denklemlere yerine koyarak kontrol edin.
İki bilinmeyende, bir kez mi kesişeceklerini, hiç mi kesişmeyeceklerini yoksa çakışacaklarını mı önceden görmek için iki doğruyu da çizin.

Sıkça sorulan sorular

Üç bilinmeyen için kaç denklem gerekir?

Genellikle üç bağımsız denklem. Daha az denklem varsa serbest bilinmeyenler ve sonsuz çözüm kalır; daha fazla varsa fazladan denklemlerin diğerleriyle tutarlı olması gerekir.

«Çözüm yok» mesajı ne anlama gelir?

Yok etme sırasında 0 = 5 gibi imkânsız bir eşitlik elde edildi. Denklemler birbiriyle çelişiyor; iki bilinmeyende doğrular paraleldir.

Serbest bilinmeyenler nedir?

Yok etmeden sonra pivotu olmayan bilinmeyenlerdir. Herhangi bir değer alabilirler; diğer bilinmeyenler bunlar cinsinden ifade edilir ve böylece sonsuz çözüm elde edilir.

Bilinmeyenleri her iki tarafta olan denklemler girebilir miyim?

Evet. Yok etmeden önce her denklem standart biçime getirilir: bilinmeyenli terimler solda, sabit terim sağda.

Çözümler neden ondalık sayılar yerine kesirlerle yazılıyor?

Hesap makinesi tam rasyonel aritmetikle çalışır, bu yüzden 7/3 gibi çözümler tam kalır. Dersiniz gerektiriyorsa onları yalnızca en sonda ondalık sayılara çevirin.

x kare artı y kare eşittir 25 gibi doğrusal olmayan sistemleri çözüyor mu?

Hayır. Bu hesap makinesi doğrusal sistemler içindir. Tek bir cebirsel denklem için denklem çözücüyü kullanın; eğrilerin kesişim noktalarını grafik çiziciyle grafikte görebilirsiniz.

Denklem sistemi çözücüyü deneyin

Her satıra bir denklem girin ve tam çözüme kadar her satır işlemini izleyin.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun