Vektörlerin Nokta Çarpımı (Skaler Çarpım) Açıklaması

Bileşenlerle formül

Nokta çarpımı aynı sayıda bileşeni olan iki vektörü alır ve bir vektör değil, tek bir sayı verir. Hesaplamak için karşılıklı bileşenleri çarpın ve sonuçları toplayın:

Formül her boyutta işe yarar; bu yüzden nokta çarpımı, vektörlerin binlerce bileşeni olabildiği veri analizinde bu kadar yaygındır. Aynı zamanda matris çarpımının temel yapı taşıdır: bir matris çarpımının her elemanı, bir satırla bir sütunun nokta çarpımıdır.

Geometrik formül ve vektörler arasındaki açı

Nokta çarpımının ikinci, geometrik bir tanımı vardır. $\theta$, aynı noktadan çizilen iki vektör arasındaki açıysa:

Burada $|\mathbf{a}|$, $\mathbf{a}$ vektörünün uzunluğu, yani büyüklüğüdür. İki formül her zaman aynı sonucu verir; bu, kenarları $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ ve $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ olan üçgene uygulanan kosinüs teoreminden çıkar. İkisini birleştirince herhangi iki vektör arasındaki açıyı bulmanın kullanışlı bir yolunu elde ederiz:

İşaret ne söyler?

Uzunluklar pozitif olduğundan nokta çarpımı $\cos\theta$ ile aynı işarete sahiptir. Böylece açıyı hesaplamadan hızla tahmin edebilirsiniz:

• Pozitif: açı dar açıdır, 90 dereceden küçüktür ve vektörler kabaca aynı yöne bakar.
• Sıfır: vektörler dik, yani ortogonaldir.
• Negatif: açı geniş açıdır, 90 dereceden büyüktür ve vektörler kabaca zıt yönlere bakar.

En kullanışlı durum sıfır durumudur. Örneğin $(3, 4) \cdot (4, -3) = 12 - 12 = 0$: demek ki bu vektörler diktir. Düzlemde bir vektörün bileşenlerinin yerini değiştirip birinin işaretini değiştirirseniz her zaman dik bir vektör elde edersiniz: bir doğrunun normal vektörünü bulmak için kullanışlı bir yöntem.

Büyüklükler ve birim vektörler

Bir vektörün kendisiyle nokta çarpımı büyüklüğünün karesine eşittir, çünkü açı sıfırdır ve $\cos 0 = 1$:

Demek ki $(2, -1, 3)$'ün büyüklüğü $\sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742$'dir. Vektörü büyüklüğüne bölünce aynı yönde, uzunluğu 1 olan bir birim vektör elde ederiz. Birim vektörler kullanışlıdır, çünkü iki birim vektörün nokta çarpımı doğrudan aralarındaki açının kosinüsüdür.

Bir vektörün diğerine izdüşümü

$\mathbf{a}$'nın $\mathbf{b}$ üzerine dik izdüşümü, ışık $\mathbf{b}$ vektörünün doğrusuna dik düştüğünde $\mathbf{a}$'nın bu doğru üzerine düşürdüğü gölgedir. Nokta çarpımı onu doğrudan verir:

Burada yaklaşık 4,427 olan $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$ sayısı, $\mathbf{a}$'nın $\mathbf{b}$ üzerine skaler izdüşümü, yani gölgenin işaretli uzunluğudur. İzdüşümler bir vektörü bir yön boyunca bir bileşene ve o yöne dik bir bileşene ayırır; bu adım fizikten istatistikteki en küçük kareler yöntemine kadar her yerde karşımıza çıkar.

Bir kuvvetin yaptığı iş

Fizikte iş yalnızca kuvvetin hareket yönünde etki eden kısmı tarafından yapılır. Bu yüzden sabit bir $\mathbf{F}$ kuvvetinin $\mathbf{d}$ yer değiştirmesi boyunca yaptığı iş bir nokta çarpımıdır: $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$.

Özellikler ve uygulamalar

• Değişme özelliği: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$.
• Dağılma özelliği: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$.
• Skaler çarpan dışarı alınabilir: $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$.
• Cauchy-Schwarz eşitsizliği: $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$; kosinüs formülünün her zaman $-1$ ile 1 arasında bir değer vermesini garanti eder.

Geometrinin ötesinde nokta çarpımı şunların temelindedir: arama ve öneri sistemlerinin iki belgenin ya da iki kullanıcının ne kadar benzediğini ölçtüğü kosinüs benzerliği; parlaklığın yüzey normali ile ışık yönünün nokta çarpımına bağlı olduğu 3D grafiklerde aydınlatma; ve nöronları girdilerle ağırlıkların nokta çarpımlarını hesaplayan sinir ağları. Nokta çarpımı hesap makinesi çarpımı, açıyı ve izdüşümleri adım adım bulur; vektörel çarpım hesap makinesi ise vektörel çarpım rehberimizin anlattığı, vektörleri çarpmanın diğer yolunu üstlenir.

Klasik bir geometri problemi

Nokta çarpımı bazı geometri problemlerini şaşırtıcı bir hızla çözer. Bir küpün köşegeni kenarlarından biriyle hangi açıyı yapar? Küpü bir köşesi başlangıç noktasında, uzunluğu 1 olan kenarları eksenler boyunca uzanacak şekilde yerleştirin. Köşegen başlangıç noktasından $(1, 1, 1)$'e, kenar ise $(1, 0, 0)$'a uzanır.

Nokta çarpımları 1'dir, köşegenin uzunluğu $\sqrt{3}$, kenarın uzunluğu 1'dir; bu yüzden $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ve $\theta \approx 54.7^\circ$. Klasik geometride küpün içinde bir dik üçgen kurmak ve kenarları hakkında dikkatle akıl yürütmek gerekirdi; vektörlerle üç satır yeter. Yönleri vektörlerle verilebildiği sürece herhangi iki doğru, düzlem ya da kimyasal bağ arasındaki açı da aynı akıl yürütmeyle bulunur.

Tipik hatalar

• Sonucu 2 toplamı yerine $(8, 0, -6)$ gibi bir vektör olarak yazmak.
• Açı formülü için büyüklükleri hesaplarken karekökleri unutmak.
• Dik izdüşüm formülünde $|\mathbf{b}|^2$ yerine $|\mathbf{b}|$'ye bölmek.
• $\cos\theta$'yı ya da ters fonksiyonunu hesaplarken hesap makinesinde dereceyle radyanı karıştırmak.
• Vektörlerden biri aslında sıfır vektörken iki vektörün dik olduğu sonucuna varmak.

İşaret, akla yatkınlık için iyi bir kontroldür. Çiziminizde iki vektör açıkça benzer yönlere bakıyorsa nokta çarpımı pozitif olmalıdır; hesap negatif bir sayı verdiyse bir bileşenin işaretindeki hatayı arayın.

Alıştırmalar

Bunları çözün, ardından aşağıdaki çözümlerle karşılaştırın. Önce $(1, 3, -2) \cdot (4, -1, 5)$'i hesaplayın; çarpımlar 4, $-3$ ve $-10$'dur, bu yüzden sonuç $-9$'dur ve negatif değer açının geniş olduğunu gösterir. Sonra $(2, k)$'nin $(3, -6)$'ya dik olduğu $k$'yı bulun: $6 - 6k = 0$'dan $k = 1$ çıkar. Son olarak $(1, 0)$ ile $(1, 1)$ arasındaki açıyı bulun: nokta çarpımı 1, büyüklükler 1 ve $\sqrt{2}$'dir; demek ki açı 45 derecedir ve hızlı bir çizim bunu doğrular.

Biraz tarih

Vektör gösterimi okul matematiğinin neredeyse tamamından daha gençtir. 1840'larda William Rowan Hamilton, bir gerçel ve üç sanal kısmı olan sayılar olan kuaterniyonları icat etti; iki saf kuaterniyonun çarpımı hem skaler hem de vektörel bir kısım içeriyordu. 1880'lerde Josiah Willard Gibbs ve Oliver Heaviside bu kısımları skaler ve vektörel çarpımlara ayırdı ve fizikçilere bugün hâlâ öğretilen daha basit bir vektör cebiri kazandırdı. Gibbs işlemin simgesi olarak noktayı seçti; Türkçe dâhil birçok dilde bu çarpıma «nokta çarpımı» denmesinin nedeni budur.

Sıkça sorulan sorular