İki Vektörün Vektörel Çarpımı Açıklaması

Vektörel çarpım ne verir?

Nokta çarpımı iki vektörü bir sayıya dönüştürür. Vektörel çarpım ise iki vektörü üçüncü bir vektöre dönüştürür. Yalnızca üç boyutlu uzayda tanımlıdır ve sonucunun iki temel özelliği vardır. Yönü iki başlangıç vektörüne de diktir, büyüklüğü ise onlar üzerine kurulan paralelkenarın alanına eşittir:

Burada $\theta$, vektörler arasındaki 0 ile 180 derece arasında değişen açıdır. 0 ve 180 derecenin sinüsü sıfır olduğundan iki paralel vektörün vektörel çarpımı her zaman sıfır vektördür; dik vektörler ise uzunluklarına göre mümkün olan en büyük büyüklüğü verir.

Bileşenlerle formül

$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ ve $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ için bileşenler şöyledir:

Bu formülü ezberlemek zordur; bu yüzden çoğu kişi sembolik bir determinant kullanır. $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ ve $\mathbf{k}$ birim vektörlerini birinci satıra, altlarına $\mathbf{a}$ ile $\mathbf{b}$'nin bileşenlerini yazın ve birinci satıra göre açın:

Her zaman iki nokta çarpımı kontrolüyle bitirin. Birkaç saniye sürer ve neredeyse her işaret hatasını, özellikle ortadaki bileşende olanı yakalar.

Sağ el kuralı ve çarpanların sırası

İki vektöre de dik olan birbirine zıt iki yön vardır ve sağ el kuralı bunlardan birini seçer. Sağ elinizin parmaklarını $\mathbf{a}$ boyunca uzatın, onları $\mathbf{b}$'ye doğru kıvırın; baş parmağınız $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$'nin yönünü gösterir. Standart tabanın birim vektörleri için $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$, $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ ve $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ elde ederiz.

Sırayı değiştirirseniz baş parmak öbür yönü gösterir: vektörel çarpım ters değişmelidir:

Birleşmeli de değildir: $(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{j} = \mathbf{0}$, oysa $\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) = \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$. Buna karşılık toplama üzerine dağılır ve skaler çarpan dışarı alınabilir: $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$.

Paralelkenar ve üçgen alanları

Vektörel çarpımın büyüklüğü bir paralelkenarın alanı olduğundan alanları doğrudan bileşenlerden verir. Örnek 1'deki vektörler alanı $|(-3, 6, -3)| = \sqrt{54} \approx 7.35$ olan bir paralelkenar oluşturur; bu iki kenara sahip üçgenin alanı ise bunun yarısı, yaklaşık 3,67'dir.

Normal vektörler ve düzlem denklemleri

Bir düzlem, üzerindeki bir nokta ve ona dik bir normal vektörle belirlenir. Düzlemdeki iki vektörün vektörel çarpımı ikisine de dik olduğundan tam olarak böyle bir normal vektördür. Örnek 2'de $(6, 3, 2)$ vektörü $P$, $Q$ ve $R$'den geçen düzlemin normalidir; bu yüzden düzlemin denklemi $6x + 3y + 2z = d$ biçimindedir. $P(1, 0, 0)$'ı yerine koyunca $d = 6$ elde ederiz.

Düzlem $6x + 3y + 2z = 6$'dır ve $Q$ ile $R$ noktaları da onu sağlar: $3 \cdot 2 = 6$ ve $2 \cdot 3 = 6$. Aynı fikir 3D grafiklerde sürekli kullanılır: bir modelin her üçgeninin aydınlatmasını belirlemek ve kameraya hangi yüzüyle baktığını saptamak için bir normal vektöre ihtiyaç vardır.

Kuvvet momenti ve fizikteki diğer uygulamalar

Bir kuvvetin döndürme etkisini ölçen kuvvet momenti (tork) bir vektörel çarpımdır: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$; burada $\mathbf{r}$ dönme ekseninden kuvvetin uygulandığı noktaya yönelir. Büyüklüğü $|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\sin\theta$'dır.

Açısal momentum ve hareketli bir yüke etki eden manyetik kuvvet de vektörel çarpımlardır ve her durumda sonucun yönünü sağ el kuralı belirler.

Karma çarpım ve hacim

İki çarpımı birleştirince, satırları $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ ve $\mathbf{c}$ olan $3 \times 3$ determinanta eşit $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ karma çarpımını elde ederiz. Mutlak değeri, üç vektör üzerine kurulan paralelyüzün hacmidir. $(1, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$ ve $(0, 0, 3)$ için paralelyüz sıradan bir dikdörtgenler prizmasıdır ve karma çarpım $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$'ya eşittir. Sıfır karma çarpım, üç vektörün aynı düzlemde olduğu anlamına gelir.

Vektörel çarpım hesap makinesi vektörel çarpımları determinantın her adımıyla hesaplar, ayrıca alanları ve vektörler arasındaki açıyı bulur. Dikliği kontrol etmek için onu nokta çarpımı hesap makinesiyle birlikte kullanın.

Bir noktanın bir doğruya uzaklığı

Alan yorumu klasik bir uzaklık problemini de çözer. $A$ noktasından geçen, doğrultman vektörü $\mathbf{u}$ olan bir doğru ve doğrunun dışında bir $P$ noktası alalım. $\overrightarrow{AP}$ ve $\mathbf{u}$ üzerine kurulan paralelkenarın alanı $|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{u}|$'dur ve tabanının uzunluğu $|\mathbf{u}|$ olduğundan yüksekliği, yani $P$'nin doğruya uzaklığı, alanın tabana bölümüne eşittir.

Örneğin başlangıç noktasından geçen, doğrultman vektörü $(1, 2, 2)$ olan doğruyu ve $P(2, 1, 3)$ noktasını alalım. $(2, 1, 3) \times (1, 2, 2) = (-4, -1, 3)$ vektörel çarpımının büyüklüğü $\sqrt{26}$, doğrultman vektörünün büyüklüğü ise 3'tür; bu yüzden uzaklık $\frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1.70$'tir. Kontrol için izdüşüm alınabilir: nokta başlangıç noktasına $\sqrt{14}$ uzaklıktadır, doğru üzerine izdüşümü $\frac{10}{3}$'tür ve Pisagor teoremi aynı uzaklığı verir.

Tipik hatalar ve alıştırmalar

• Determinantı açarken ortadaki bileşenin eksi işaretini unutmak.
• Vektörlerin sırasını değiştirmek; bu da sonucun yönünü tersine çevirir.
• Üçgenin alanı olarak vektörel çarpımın büyüklüğünün yarısını değil, kendisini almak.
• Önce sıfır üçüncü bileşeni eklemeden düzlemdeki vektörlerin vektörel çarpımını bulmaya çalışmak.

Alıştırma için $(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)$ olduğunu, yani $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ kuralını doğrulayın. Ardından $(1, 2, 3) \times (2, 4, 6)$'nın sıfır vektör olduğundan emin olun, çünkü ikinci vektör birincinin iki katıdır. Son olarak $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1)$'i hesaplayın; $(1, -1, 1)$ çıkmalı ve iki nokta çarpımı kontrolü de sıfır vermelidir.

Formül neden dik bir vektör verir?

Bileşen formülüne körü körüne güvenmek yerine neden işe yaradığını anlamak faydalıdır. Sonucun $\mathbf{a}$'nın kendisiyle nokta çarpımını alın: $a_1(a_2b_3 - a_3b_2) + a_2(a_3b_1 - a_1b_3) + a_3(a_1b_2 - a_2b_1)$ elde edilir. Parantezleri açarsanız her terim zıt işaretlerle iki kez görünür; bu yüzden toplam tam olarak sıfırdır. Aynı sadeleşme $\mathbf{b}$ ile de olur. Determinant diliyle, $\mathbf{a}$ ile nokta çarpımı birim vektörler satırını $\mathbf{a}$ ile değiştirir; bu da iki satırı aynı olan bir determinant verir ve böyle bir determinant her zaman sıfırdır. İki durumda da diklik formülün kendisine yerleştirilmiştir ve birkaç özel örnekteki şansa bağlı değildir.

Sıkça sorulan sorular