Vektörel Çarpım Hesap Makinesi

Vektörel çarpım hesap makinesi hakkında

Vektörel çarpım iki uzay vektörü alır ve ikisine de dik olan üçüncü bir vektör verir. Bir düzlemin normal vektörünü bulmanın, 3B'de bir paralelkenarın veya üçgenin alanını hesaplamanın ve fizikteki tork ile açısal momentum gibi dönme büyüklüklerini anlatmanın standart yoludur.

Hesap makinesi uzay vektörleri için $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ çarpımını, birinci satırında $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ ve $\mathbf{k}$ bulunan alışılmış determinant gösterimiyle bulur. Ortadaki terimdeki işaret değişimi dahil, ki hataların çoğu buradan kaynaklanır, her bileşeni ayrı ayrı gösterir; ardından uzunluğu bulur ve sonucun verilen iki vektöre de dik olduğunu doğrular.

Vektörel çarpım nedir?

$\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle$ ve $\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ vektörleri için vektörel çarpım $\langle u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$ vektörüdür. Üç boyutlu uzaydaki vektörler için tanımlıdır ve sonuç da bir uzay vektörüdür.

Hem $\mathbf{u}$ hem de $\mathbf{v}$ vektörüne diktir; yönü sağ el kuralıyla belirlenir: sağ elinizin parmaklarını $\mathbf{u}$ vektöründen $\mathbf{v}$ vektörüne doğru büktüğünüzde başparmağınız $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ yönünü gösterir. Uzunluğu $|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta$ değerine, yani iki vektörün oluşturduğu paralelkenarın alanına eşittir.

Vektörel çarpım hesap makinesi nasıl kullanılır?

Birinci vektörün üç bileşenini virgülle ayırarak girin, örneğin 1, 2, 3.
İkinci vektörün üç bileşenini girin.
«Hesapla» düğmesine basın.
i, j ve k bileşenlerine ve sonuç vektörüne bakın.
Alanlar için uzunluk adımını, sonucu doğrulamak için de diklik kontrolünü kullanın.

Formüller

Determinant gösterimi

\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

Uzunluk

|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta

Ters değişme özelliği

\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})

Üçgenin alanı

A = \tfrac12\,|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|

Çözümlü örnek: ⟨1,2,3⟩ × ⟨4,5,6⟩

Örnekte $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ ve $\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle$ vektörlerinin vektörel çarpımı bulunur. $\mathbf{i}$ bileşeni $2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = -3$ , $\mathbf{j}$ bileşeni $-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = 6$ , $\mathbf{k}$ bileşeni ise $1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3$ olur.

Böylece $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle$ ve uzunluğu $\sqrt{54} = 3\sqrt6 \approx 7.348$ olur; bu, iki vektörün oluşturduğu paralelkenarın alanıdır. Verilen vektörlerin her biriyle iç çarpımı 0'dır; bu da dikliği doğrular.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

Probleminizi nasıl okuduk

İki 3D vektörünün vektörel çarpımı.

\langle 1, 2, 3 \rangle \times \langle 4, 5, 6 \rangle

Adım adım çözüm

Birinci satırında i, j, k birim vektörleri olan determinantı yazalım
$u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$
i bileşeni
$(2)(6) - (3)(5) = -3$
j bileşeni (açılımdaki eksi işaretine dikkat edin)
$-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6$
k bileşeni
$(1)(5) - (2)(4) = -3$
Uzunluk = u ve v vektörlerinin oluşturduğu paralelkenarın alanı
$|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228$
Dikliği kontrol edelim
$(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0$

Kullanılan formüller

Vektörel çarpım
$u \times v = \langle u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$
Uzunluk
$|u \times v| = |u||v|\sin\theta$

Sonuç hem u hem de v vektörüne diktir; 3√6 ≈ 7.348469228 uzunluğu, bu vektörlerin oluşturduğu paralelkenarın alanına eşittir (üçgenin alanı bunun yarısıdır).

Doğrulama

Sonuç iki girdi vektörüne de diktir (iki iç çarpım da şuna eşit: 0).

Ayrıntılı açıklama

Determinant yöntemi

Birim vektörleri bir $3 \times 3$ determinantın birinci satırına yazıp determinantı bu satıra göre açmak, formülü hatırlamanın en kolay yoludur. Her bileşen, o birim vektöre ait olmayan sütunlardan oluşan bir $2 \times 2$ determinanttır. Ortadaki terim eksi işaretini kofaktörlerin $+, -, +$ dama tahtası işaret düzeninden alır; hesap makinesi bu yüzden onu ayrıca vurgular.

Vektörel çarpımın toplama üzerine dağılma özelliği vardır, $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$ ; vektörlerden biri bir sayıyla çarpılınca sonuç da aynı sayıyla çarpılır. Ancak birleşme özelliği yoktur: $(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w}$ ve $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ genel olarak farklı vektörlerdir. $\langle 1, 2, 0 \rangle$ ve $\langle 3, 4, 0 \rangle$ gibi düzlemdeki vektörler için $\langle 0, 0, -2 \rangle$ sonucu $z$ ekseni boyunca doğrudan aşağı yönelir; uzunluğu olan 2 ise düzlemdeki paralelkenarın alanıdır.

Geometrik anlamı

Vektörel çarpımın uzunluğu, kenarları $\mathbf{u}$ ve $\mathbf{v}$ olan paralelkenarın alanına eşittir; dolayısıyla bunun yarısı, bu vektörlerin oluşturduğu üçgenin alanıdır. Köşeleri $P$ , $Q$ ve $R$ olan bir üçgen için $\overrightarrow{PQ}$ ve $\overrightarrow{PR}$ vektörlerinin vektörel çarpımını bulun ve uzunluğunu ikiye bölün.

Vektörler paralelse paralelkenar bir doğru parçasına dönüşür ve vektörel çarpım sıfır vektörüne eşit olur. $\langle 1, 2, 3 \rangle$ ve $\langle 2, 4, 6 \rangle$ için hesap makinesi $\langle 0, 0, 0 \rangle$ verir; bu da paralellik için hızlı bir kontroldür.

Normaller, düzlemler ve fizik

Bir düzlemin iki doğrultu vektörünün vektörel çarpımı o düzlemin normal vektörünü verir; düzlemin bir noktası da biliniyorsa denklemi $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ olarak yazılabilir. Bilgisayar grafiklerinde aynı hesap, aydınlatma için yüzey normallerini verir.

Fizikte tork $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ , hareket eden bir yüke etki eden manyetik kuvvet ise $q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ olur. İki durumda da sonuç, sağ el kuralının öngördüğü gibi iki vektörün oluşturduğu düzleme diktir.

Sık yapılan hatalar

$\mathbf{j}$ bileşenindeki eksi işaretini unutmak.
$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}$ sanmak; çarpanların yeri değiştirilince yön tersine döner.
Düzlemdeki vektörlere sıfır üçüncü bileşeni eklemeden vektörel çarpım uygulamak.
Vektörel çarpımı, sonucu bir sayı olan iç çarpımla karıştırmak.
Üçgenin alanını bulmak için uzunluğu ikiye bölmeyi unutmak.

İpuçları

Cevabı, verilen her vektörle iç çarpımını bularak kontrol edin; iki sonuç da 0 olmalıdır.
İpucu olarak $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ , $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ ve $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ eşitliklerini ezberleyin.
2B vektörlerde üçüncü bileşen olarak 0 girin; cevap o zaman $z$ ekseni boyunca yönelir.
Vektörler arasındaki açıyı bulmak için iç çarpım hesap makinesini kullanın.
$\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ karma çarpımını bir $3 \times 3$ determinant olarak bulmak için determinant hesap makinesini kullanın.
Her bileşenin işaretini önceden tahmin etmek için iki vektörü çizin ve sağ el kuralını uygulayın.

Sıkça sorulan sorular

Vektörel çarpım nasıl bulunur?

i, j ve k harflerini bir 3×3 determinantın birinci satırına, iki vektörü de sonraki satırlara yazın, ardından determinantı birinci satıra göre açın. j bileşenindeki eksi işaretini unutmayın.

Vektörel çarpımın uzunluğu ne anlama gelir?

İki vektörün oluşturduğu paralelkenarın alanı demektir. Bunun yarısı, bu vektörlerin oluşturduğu üçgenin alanıdır.

Vektörel çarpımın değişme özelliği var mı?

Hayır. Çarpanların yeri değiştirilince yön tersine döner: v × u = −(u × v).

2B vektörlerin vektörel çarpımı bulunabilir mi?

Doğrudan bulunamaz: vektörel çarpım üç bileşen için tanımlıdır. Her vektöre üçüncü bileşen olarak 0 ekleyin; sonuç z ekseni boyunca yönelir.

Vektörel çarpımın sıfır olması ne anlama gelir?

Vektörlerin paralel olduğu (ya da birinin sıfır vektörü olduğu), yani hiçbir alan oluşturmadıkları anlamına gelir.

Vektörel çarpım nasıl kontrol edilir?

Onun ilk vektörlerin her biriyle iç çarpımını bulun. Vektörel çarpım verilen iki vektöre de dik olduğundan iki sonuç da sıfır olmalıdır. Hesap makinesi bu kontrolü sizin için yapar.

Bir düzlemin normal vektörü nasıl bulunur?

Düzlemde bulunan paralel olmayan iki vektör alın ve vektörel çarpımlarını bulun. Sonuç düzleme diktir.

Vektörel çarpım hesap makinesini deneyin

İki 3B vektör girin; vektörel çarpımı, uzunluğunu ve diklik kontrolünü adım adım alın.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun