İki Noktadan Geçen Doğrunun Eğimi — Adım Adım Eğim Hesap Makinesi

Q: Negatif eğim ne anlama gelir?

Doğrunun x arttıkça alçaldığı anlamına gelir. Eğim -3/2 ise doğru sağa 2 birimde 3 birim alçalır.

Q: Doğrunun denklemi nasıl yazılır?

Eğimi bulun, y eksenini kestiği noktayı b = y_1 - m x_1 formülüyle hesaplayın ve y = mx + b yazın.

Eğim hesap makinesi hakkında

Bir doğrunun eğimi, onun ne kadar dik yükseldiğini veya alçaldığını gösterir: herhangi iki noktası arasında $y$ değişiminin $x$ değişimine bölümüdür. Eğimi pozitif olan bir doğru sağa doğru yükselir, negatif olan alçalır, sıfır eğim yatay bir doğruya karşılık gelir; dikey bir doğrunun ise eğimi yoktur.

$m$ eğimi bilindiğinde iki noktadan herhangi biriyle y eksenini kestiği nokta olan $b$ bulunur ve $y = mx + b$ doğrusu elde edilir.

Bir doğrunun eğimi nedir?

Eğim, bir doğrunun dikliğini ve yönünü anlatan tek bir sayıdır. Dikey değişimin yatay değişime oranı olarak tanımlanır: doğru sağa doğru her bir birimde ne kadar yükselir veya alçalır. Eğimin 2 olması, doğrunun sağa doğru her adımda 2 birim yükseldiği, $-\frac32$ olması sağa 2 birimde 3 birim alçaldığı, 0 olması ise yatay olduğu anlamına gelir.

Doğru her yerde aynı diklikte olduğundan herhangi iki noktası aynı eğimi verir. Bu yüzden eğim, doğrunun denkleminin anahtarıdır: $m$ ve bir nokta bilindiğinde doğru tamamen belirlenir. Günlük hayatta eğim bir değişim hızıdır; örneğin yol grafiğinde saatte kilometre, maliyet grafiğinde ise adet başına lira.

Eğim hesap makinesi nasıl kullanılır?

Birinci noktanın koordinatlarını (x₁, y₁) girin.
İkinci noktanın koordinatlarını (x₂, y₂) girin.
Dikey ve yatay değişimleri, sadeleşmiş eğimi ve doğrunun denklemini görmek için «Hesapla» düğmesine basın.

Formüller

Eğim

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Eğim-kesişim biçimi

y = mx + b,\quad b = y_1 - m x_1

Nokta-eğim biçimi

y - y_1 = m(x - x_1)

Çözümlü örnek: (2, 3) ve (6, 11)

Örnekte (2, 3) ve (6, 11) noktaları kullanılır. Dikey değişim $11 - 3 = 8$ , yatay değişim $6 - 2 = 4$ olduğundan eğim $\frac84 = 2$ olur. Birinci noktayla y eksenini kestiği nokta $b = 3 - 2 \cdot 2 = -1$ bulunur ve doğru $y = 2x - 1$ olur. Kontrol için ikinci nokta yerine konur: beklendiği gibi $2 \cdot 6 - 1 = 11$ .

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

m = 2,\quad y = 2x - 1

Probleminizi nasıl okuduk

İki noktadan geçen doğrunun eğimini (değişim oranını) bulun.

Adım adım çözüm

Noktaları adlandırın
$(x_1, y_1) = (2, 3),\quad (x_2, y_2) = (6, 11)$
y değişimini bulun (dikey değişim)
$y_2 - y_1 = 11 - 3 = 8$
x değişimini bulun (yatay değişim)
$x_2 - x_1 = 6 - 2 = 4$
Dikey değişimi yatay değişime bölün
$m = \frac{8}{4} = 2$
İlk noktayı kullanarak y eksenini kestiği noktayı bulun
$b = y_1 - m x_1 = 3 - 2 \cdot 2 = -1$
Doğrunun denklemini yazın
$y = 2x - 1$

Kullanılan formüller

Eğim
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Eğim-kesişim biçimi
$y = mx + b$

Eğim 2: her 1 birimlik artışta x, y şu kadar değişir: 2. Doğru soldan sağa yükselir.

Doğrulama

İkinci nokta: 2·(6) + -1 = 11 (beklenen 11)

Ayrıntılı açıklama

Negatif ve kesirli eğimler, dikey doğrular

(1, 2) ve (5, −4) noktaları için dikey değişim $-6$ , yatay değişim 4'tür: hesap makinesi $m = -\frac32$ ve $y = -\frac32 x + \frac72$ doğrusunu verir; iki değeri de −1,5 ve 3,5 yerine tam kesir olarak tutar. (3, 1) ve (3, 7) için yatay değişim sıfırdır; sıfıra bölünemeyeceğinden eğim yoktur ve hesap makinesi $y = mx + b$ denklemi yerine $x = 3$ dikey doğrusunu verir.

Bir doğruyu yazmanın üç yolu

$y = mx + b$ eğim-kesişim biçimi eğimi ve y eksenini kestiği noktayı hemen gösterir; grafik çizicilerin çoğu da tam olarak bunu bekler. $y - y_1 = m(x - x_1)$ nokta-eğim biçimi, bir nokta ve eğim bilinip y eksenini kestiği nokta henüz bulunmadığında daha kullanışlıdır. Tam sayı katsayılı $Ax + By = C$ genel biçimini bazı dersler tercih eder; $y = 2x - 1$ denkleminden $2x - y = 1$ elde edilir. Üçü de aynı nokta kümesini anlatır.

Değişim hızı olarak eğim

Uygulamalı problemlerde eğimin bir birimi vardır: y biriminin x birimine bölümü. 6 km'lik taksi yolculuğu 11 lira, 2 km'lik yolculuk 3 lira tutuyorsa (2, 3) ve (6, 11) noktalarından geçen doğrunun eğimi kilometre başına 2 liradır; y eksenini kestiği nokta olan −1 ise doğrunun sıfır uzaklıktaki değeridir. Bu açıdan eğim şu soruyu yanıtlar: x bir birim arttığında y ne kadar değişir? Aynı fikri eğrilere türev taşır.

Sık yapılan hatalar

Pay ve paydada çıkarmayı farklı sırayla yapmak, örneğin $y_2 - y_1$ farkını $x_1 - x_2$ farkına bölmek.
Dikey değişimi yatay değişime bölmek yerine yatay değişimi dikey değişime bölmek.
Dikey bir doğrunun eğiminin 0 olduğunu söylemek; aslında tanımsızdır.
Tek bir noktanın koordinatlarını dikey ve yatay değişim sanmak.
$\frac{8}{4}$ kesrini yanlış sadeleştirmek ya da x değerleri azalırken yatay değişimin eksi işaretini unutmak.

İpuçları

Paralel doğruların eğimleri aynıdır; dik doğruların eğimlerinin çarpımı −1'dir.
y eksenini kestiği noktayı hesaplarken yuvarlama yapmamak için eğimi kesir olarak bırakın.
İşaretin doğru olup olmadığını kontrol etmek için iki noktayı da grafik çizicide işaretleyin.
Hesaplamadan önce noktaları gözünüzde canlandırın: ikinci nokta daha yukarıda ve daha sağdaysa eğim pozitif olmalıdır.
Dik doğrunun eğimi, işareti ters çevrilmiş çarpmaya göre terstir: $y = 2x - 1$ doğrusuna dik olan doğrunun eğimi $-\frac12$ olur.

Sıkça sorulan sorular

İki noktadan eğim nasıl bulunur?

y değerlerini çıkarın, x değerlerini aynı sırayla çıkarın ve bölün. (2, 3) ve (6, 11) için: $m = \frac{11-3}{6-2} = 2$ .

Negatif eğim ne anlama gelir?

Doğrunun x arttıkça alçaldığı anlamına gelir. Eğim $-\frac32$ ise doğru sağa 2 birimde 3 birim alçalır.

Dikey bir doğrunun eğimi neden yoktur?

İki noktanın x değeri aynıdır, bu yüzden yatay değişim 0'dır ve formül sıfıra bölme gerektirirdi. Böyle bir doğru $x = c$ olarak yazılır.

Doğrunun denklemi nasıl yazılır?

Eğimi bulun, y eksenini kestiği noktayı $b = y_1 - m x_1$ formülüyle hesaplayın ve $y = mx + b$ yazın.

Noktaların sırası önemli mi?

Hayır. Noktaların yeri değiştirilirse iki farkın da işareti değişir, bu yüzden oranları aynı kalır.

Ondalık koordinatlar girebilir miyim?

Evet. Ondalık sayılar tam kesirlere çevrilir; böylece eğim ve y eksenini kestiği nokta tam olur.

Yatay bir doğrunun eğimi nedir?

Sıfırdır. İki noktanın y değeri aynıdır, bu yüzden dikey değişim 0'dır ve $\frac{0}{\text{yatay değişim}} = 0$ olur. Böyle bir doğru $y = c$ olarak yazılır.

Dik doğrunun eğimi nasıl bulunur?

İlk eğimin çarpmaya göre tersini alın ve işaretini değiştirin. $m = -\frac32$ ise dik doğrunun eğimi $\frac23$ olur ve iki eğimin çarpımı $-1$ 'dir.

İki doğrunun paralel olup olmadığı nasıl anlaşılır?

Eğimleri karşılaştırın. Dikey olmayan iki doğru, ancak ve ancak eğimleri aynı ve y eksenini kestikleri noktalar farklıysa paraleldir; $y = 2x - 1$ ve $y = 2x + 4$ hiçbir zaman kesişmez.

Eğim hesap makinesini deneyin

İki nokta girin; tam eğimi ve doğrunun denklemini adım adım alın.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun

Eğim Hesap Makinesi