Cebirsel İfadeleri Adım Adım Sadeleştirmek

Sadeleştirmek aslında ne demek?

$3(2x - 5) - 2(x - 4)$ gibi bir ifadede eşittir işareti yoktur, bu yüzden burada çözülecek bir şey yoktur. Onu sadeleştirmek, özdeş olarak eşit bir ifade bulmak, yani her geçerli $x$ için aynı değeri veren ama daha kısa ve kullanışlı bir ifade bulmak demektir. Burada bu ifade $4x - 7$'dir.

Anahtar kavram özdeş eşitliktir. Her adım, tesadüfen güzel bir sonuç veren bir tahmin değil, geçerli bir kural olmalıdır. Yararlı bir kontrol, bir değeri yerine koymaktır: $x = 2$ için asıl ifade $3(-1) - 2(-2) = -3 + 4 = 1$ verir, $4(2) - 7 = 1$ de öyle. Tek bir noktada uyuşmak ifadelerin özdeş olduğunu kanıtlamaz, ama uyuşmazlık bir hata olduğunu kanıtlar.

Benzer terimleri toplamak

Benzer terimler tam olarak aynı değişkenleri tam olarak aynı kuvvetlerde içerir; yalnızca katsayı farklı olabilir. $3x^2$ ile $-7x^2$ benzerdir. $3x^2$ ile $3x$ benzer değildir; $xy$ ile $x^2y$ de öyle.

Benzer terimleri toplamak için katsayıları toplayın, harfli kısmı ise değiştirmeden bırakın:

Toplamadan önce her benzer terim grubunun altını çizin ya da renkle işaretleyin ve her terimi işaretiyle birlikte alın. $4x + 3y - x$'te terim $x$ değil, $-x$'tir.

Dağılma özelliği ve parantez açma

$a(b + c) = ab + ac$ dağılma özelliği parantezleri açmayı sağlar. Parantezin önündeki çarpan parantezdeki her terimle çarpılır; parantezin önündeki eksi ise $-1$ çarpanıdır.

• $-2 \times -4 = +8$ olduğundan $-2(x - 4) = -2x + 8$.
• $-(3x - y + 1) = -3x + y - 1$.
• $(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$: birinci parantezin her terimini ikincinin her terimiyle çarpın.
• $(2x - 3)^2 = (2x - 3)(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 9$; $4x^2 + 9$ değil.

Bir toplamın karesini $(a + b)^2 = a^2 + b^2$'deki gibi terim terim almak cebirdeki en sık hatalardan biridir. Toplamın karesi için doğru formül $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$'dir.

Üslü sayıların özellikleri

Kuvvetlerin çarpımları ve bölümleri, sıfırdan farklı her taban için geçerli olan birkaç kuralla sadeleştirilir:

Daha uzun bir ifadeyi kontrol etmek isterseniz üs hesap makinesi bu kuralları birer birer uygular.

Rasyonel ifadeyi sadeleştirmek

Rasyonel bir ifade, pay ve payda tamamen çarpanlarına ayrılıp ikisinde de bulunan çarpanlar sadeleştirilerek basitleştirilir. Yalnızca çarpanlar sadeleştirilebilir, terimler asla.

$(x + 3)$ artık görünmese de $x \neq -3$ kısıtlaması korunmalıdır, çünkü asıl ifade bu değerde tanımsızdır. Kesirleri toplamak için önce ortak paydayı bulun:

Çarpanlara ayırma yapamıyorsanız polinomları çarpanlara ayırma rehberi burada kullanılan bütün yöntemleri açıklar; rasyonel ifade hesap makinesi de sadeleştirmeyi adım adım gösterir.

Kökleri sadeleştirmek

Sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük $a$ ve $b$ için $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ kuralıyla tam kare olan çarpanları kökün dışına çıkarın. Ardından benzer kökleri benzer terimler gibi toplayın.

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ ve $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$; yani $\sqrt{50} + \sqrt{18} = 8\sqrt{2}$.
• $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$.
• $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$; bu $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ değildir. Kök bir toplama dağıtılamaz.

Mantıklı bir işlem sırası

1. Eksilere dikkat ederek dağılma özelliğiyle parantezleri açın.
2. Çarpımlara, bölümlere ve kuvvetlere üslü sayıların özelliklerini uygulayın.
3. Benzer terimleri toplayın.
4. Kesirleri tamamen çarpanlarına ayırın ve kısıtlamaları kaybetmeden ortak çarpanları sadeleştirin.
5. Sonucu alışılmış sırayla, genellikle azalan kuvvetlere göre yazın: $3x^2 - x + 4$.
6. Asıl ifadede ve sonuçta basit bir değeri yerine koyarak hızlı bir kontrol yapın.

Değeri değiştiren hatalar

• Çarpanlar yerine terimleri sadeleştirmek: $\frac{x + 6}{x + 3}$ ne $2$'ye ne de $\frac{6}{3}$'e eşittir.
• Eksiyi parantezdeki yalnızca ilk terime uygulamak.
• Farklı tabanları çarparken üsleri toplamak: $x^2 y^3$ tek bir kuvvet olarak yazılamaz.
• $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ya da $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ yazmak.
• Sadeleştirmeden sonra kısıtlamaları unutmak.

Herhangi bir ifadeyi ifade sadeleştirme hesap makinesine girin ve onun adımlarını kendinizinkilerle karşılaştırın. Sadeleştirilmiş bir ifadeyle ilgili denklemi çözmek çok daha kolaydır; doğrusal denklemlerin nasıl çözüldüğünü okuyun.

Daha uzun bir çözümlü örnek

Gerçek problemler genellikle yukarıdaki kurallardan birkaçını bir araya getirir. Bunlardan birinin dikkatli bir çözümü, adımların sırasının ifadeyi nasıl kontrol altında tuttuğunu gösterir.

$(x + 1)^2$'nin önündeki çıkarmanın, ancak parantezdeki kare açıldıktan sonra uygulandığına dikkat edin. Önce açıp sonra eksiyi bütün terimlere dağıtmak, klasik işaret hatasından kaçınmanızı sağlar.

Bir ifade ne zaman tamamen sadeleşmiştir?

Öğretmenler ve ders kitapları son cevap konusunda ortak kurallar kullanır. Bir ifade genellikle şu durumda tamamen sadeleşmiş sayılır: çarpanlarına ayrılmış biçim istenmedikçe açılabilecek parantez kalmamışsa; benzer iki terim yoksa; negatif ya da sıfır üs yoksa; hiçbir kesirde pay ile paydanın ortak çarpanı yoksa; hiçbir kök tam kare olan bir çarpan içermiyorsa; ve hiçbir paydada kök yoksa.

Son kural, paydayı rasyonel yaparak sağlanır. $\frac{6}{\sqrt{3}}$ için pay ve paydayı $\sqrt{3}$ ile çarpın: $\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ elde edilir. İki biçimin değeri de aynıdır, yaklaşık $3.464$, ama alışılmış son biçim ikincisidir.

Bazen en basit biçim amaca bağlıdır. Açılmış $x^2 - 3x - 10$ biçimi katsayıları okumayı kolaylaştırır, çarpanlarına ayrılmış $(x + 2)(x - 5)$ biçimi ise kökleri hemen gösterir. Problem hangi biçimin istendiğini söylemiyorsa ikisi de eşdeğerdir, ama öğretmenlerin çoğu toplamlar için açılmış, kesirler için ise çarpanlarına ayrılmış ve sadeleştirilmiş biçim bekler.

Farklı görünen iki cevap iki ya da üç değer için yerine koyma kontrolünden geçiyorsa bunlar neredeyse kesinlikle aynı ifadenin iki farklı yazılışıdır.

Çok değişkenli ifadeleri sadeleştirmek

Çok değişkenli ifadeler tamamen aynı kurallara uyar, ama bunlarda bir terimi kaybetmek daha kolaydır. Toplamadan önce terimleri harfli kısımlarına göre düzenlemek işe yarar. $3a^2b - 2ab^2 + 5ab - a^2b + 4ab^2$'de benzer terim grupları $a^2b$'li terimler, $ab^2$'li terimler ve $ab$'li terimlerdir. Her grubu topladığınızda $2a^2b + 2ab^2 + 5ab$ elde edersiniz. Toplanacak başka bir şey kalmaz, çünkü kalan her terimin harfli kısmı farklıdır; ama hepsinin ortak çarpanı $ab$'dir, bu yüzden ifade $ab(2a + 2b + 5)$ olarak da yazılabilir.

Her terimin içindeki değişkenleri alfabetik sırayla yazmak, örneğin $ba$'yı $ab$ olarak yazmak, benzer terimleri fark etmeye yardım eder. Bu, son cevaplar için de alışılmış bir kuraldır.

Sıkça sorulan sorular