Üslü Sayılar Hesap Makinesi

Üslü sayılar hesap makinesi hakkında

Üsler tekrarlı çarpmanın kısa yazılışıdır, ama kısa sürede bunun ötesine geçerler: negatif üsler çarpmaya göre tersleri, kesirli üsler kökleri anlatır, birkaç kural da uzun çarpımları birkaç satıra indirir. Bu kuralları karıştırmak, cebirdeki en sık hata kaynaklarından biridir.

Hesap makinesinin iki modu vardır. Kuvvet modu, rasyonel bir taban ve rasyonel bir üs için $a^b$ değerini tam olarak hesaplar, örneğin $8^{2/3} = 4$ veya $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-2} = \tfrac94$ , ve sonuç irrasyonelse ya da gerçek sayı değilse bunu bildirir. Sadeleştirme modu, üs kurallarını çok değişkenli tek terimlilere uygular ve cevabı pozitif üslerle yazar.

Üs nedir?

$a^n$ ifadesinde $n$ bir doğal sayıysa $a$ tabanı kendisiyle $n$ kez çarpılır: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . Yani $n$ üssü, çarpımdaki çarpan sayısıdır.

Tanım, kurallar geçerli kalmaya devam edecek şekilde genişletilir: $a \ne 0$ için $a^0 = 1$ , $a^{-n} = 1/a^n$ ve $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ . Böylece her rasyonel üsün bir anlamı olur; $a^{m/n}$ ise $a$ sayısının $n$ . dereceden kökünün $m$ . kuvvetidir.

Üslü sayılar hesap makinesi nasıl kullanılır?

Bir sayının kuvvetini almak için «bⁿ kuvvetini hesapla», kuralları bir ifadeye uygulamak için «Üs kurallarıyla sadeleştir» seçeneğini seçin.
Kuvvet modunda tabanı ve üssü girin. İkisi de tam sayı, ondalık sayı veya 2/3 ya da -1/2 gibi kesir olabilir.
Sadeleştirme modunda ifadeyi kuvvetler için ^ kullanarak yazın, örneğin (2x^3y)^2/(4x^-1y^5).
«Hesapla» düğmesine basın ve adımları izleyin; her adımda, çarpımın kuvveti veya aynı tabanlı kuvvetlerin bölümü gibi uygulanan kuralın adı verilir.

Formüller

Aynı tabanlı kuvvetlerin çarpımı

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Aynı tabanlı kuvvetlerin bölümü

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Kuvvetin kuvveti

(a^m)^n = a^{mn}

Çarpımın kuvveti

(ab)^n = a^n b^n

Negatif üs

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Kesirli üs

a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Çözümlü örnek: 8^(2/3)

Örnekte $8^{2/3}$ hesaplanır. Üssün paydası olan 3 küp kökü, payı olan 2 ise kareyi gösterir; bu yüzden hesap makinesi önce $\sqrt[3]{8} = 2$ değerini bulur, sonra karesini alarak 4 elde eder.

Önce kök alınırsa sayılar küçük kalır: $8^2 = 64$ , ardından $\sqrt[3]{64} = 4$ aynı cevabı verir ama daha fazla hesap gerektirir.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

4

Probleminizi nasıl okuduk

Şu tabanın kuvvetini alın: 8. Üs: 2/3.

\left(8\right)^{\frac{2}{3}}

Adım adım çözüm

Tabanı ve üssü belirleyin
taban b = 8, üs n = 2/3
$8^{\frac{2}{3}}$
Kesirli üs kuralı
b^(m/n) = (ⁿ√b)^m: payda (3) kökün derecesi, pay (2) ise kuvvettir.
$8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}$
Küp kökü tam olarak alın
$4$

Kullanılan formüller

Tam sayı kuvveti
$b^n = \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{n}$
Negatif üs
$b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
Rasyonel üs
$b^{m/n} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$

8 tabanının 2/3 kuvveti şuna eşittir: 4.

Doğrulama

Ondalık kontrol: 8^0.6666666667 ≈ 4.

Ayrıntılı açıklama

Kurallar neden geçerlidir?

Kuvvetleri çarpmak saymaktır. $a^3 \cdot a^2$ , üç tane $a$ çarpanının iki tane daha ile çarpımıdır; toplam beş çarpan, yani $a^5$ olur. Bölmek sadeleştirmektir: $\frac{a^5}{a^2}$ ifadesinde iki çarpan sadeleşir ve üç çarpan kalır.

Sıfır ve negatif üslerin tanımlarını bölme kuralı zorunlu kılar. $\frac{a^3}{a^3} = 1$ olduğundan ve kural $a^0$ verdiğinden $a^0 = 1$ olmalıdır. Aynı şekilde $\frac{a^2}{a^5} = a^{-3}$ ifadesi $\frac{1}{a^3}$ ifadesine de eşittir; bu yüzden $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$ olur.

Kesirli üsler ve kökler

$(a^{1/n})^n = a^{1} = a$ olduğundan $a^{1/n}$ sayısı $a$ sayısının $n$ . dereceden kökü olmalıdır. Hesap makinesi, $32^{3/5} = 8$ örneğindeki gibi kök rasyonelse tam sonucu verir; aksi halde yuvarlanmış bir ondalık sayı yerine tam köklü yazılışı korur.

Taban negatifse tek dereceli kökler gerçektir, bu yüzden $(-8)^{1/3} = -2$ olur; çift dereceli kökler ise gerçek sayı değildir: $(-4)^{1/2}$ ifadesinin gerçek bir değeri yoktur. Hesap makinesi yanıltıcı bir sonuç vermek yerine bunu bildirir.

Tek terimlileri sadeleştirme

$\frac{(2x^3y)^2}{4x^{-1}y^5}$ gibi bir ifadeyi sadeleştirmek için önce çarpımın kuvveti kuralını uygulayın: $(2x^3y)^2 = 4x^6y^2$ . Sonra katsayıları bölün ve her değişken için üsleri çıkarın: $4/4 = 1$ , $x^{6-(-1)} = x^7$ ve $y^{2-5} = y^{-3}$ . Son olarak negatif üsleri çarpmaya göre terslerle yazın ve $\frac{x^7}{y^3}$ sonucunu elde edin.

Üsler dersler dışında nerede karşımıza çıkar?

Üsler, sabit bir oranla büyüyen veya küçülen her şeyi anlatır. Yıllık %5 faizle yatırılan bir mevduat $t$ yıl sonra $1.05^t$ ile çarpılır, her dönemde ikiye katlanan bir nüfus $2^t$ gibi büyür, radyoaktif bir örnek ise her yarı ömürde $\left(\tfrac12\right)^t$ gibi azalır. $6.02 \times 10^{23}$ gibi bilimsel gösterim, çok büyük ve çok küçük sayıları kısaca yazmak için onun kuvvetlerini kullanır.

Her durumda aynı kurallar geçerlidir. İki yıllık büyümenin ardından üç yıl daha $1.05^2 \cdot 1.05^3 = 1.05^5$ verir; bir hedef değere ulaşma süresi ise kuvvetin logaritmayla tersine çevrilmesiyle bulunur; logaritma hesap makinesi bunu adım adım yapar.

Sık yapılan hatalar

Tabanı üsle çarpmak, örneğin 8 yerine $2^3 = 6$ yazmak.
Negatif üssün sonucu negatif yaptığını sanmak. $2^{-3} = \tfrac18$ ve bu pozitif bir sayıdır.
Üssü çarpımın yalnızca bir kısmına uygulamak: $(3x)^2 = 9x^2$ olur, $3x^2$ değil.
Üssü bir toplama dağıtmak: $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ .
$-3^2 = -9$ ile $(-3)^2 = 9$ ifadelerini karıştırmak; kuvvet alma, eksi işaretinden önce yapılır.

İpuçları

$a^{m/n}$ ifadesinde taban tam bir kuvvetse önce kökü alın; böylece sayılar küçük kalır.
Tek terimlileri sadeleştirirken katsayılarla ve her değişkenle ayrı ayrı ilgilenin.
Negatif üsleri son adıma kadar bırakın, sonra onları kesir çizgisinin diğer tarafına taşıyın.
Negatif bir sayının veya bir kesrin kuvvetini alırken her zaman parantez kullanın.

Sıkça sorulan sorular

Bir sayının sıfırıncı kuvveti kaçtır?

Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir. 0 üzeri 0 ifadesi bu hesap makinesinde tanımsız bırakılır, çünkü matematiğin farklı alanları onu farklı ele alır.

Negatif üslü bir kuvvet nasıl hesaplanır?

Tabanın çarpmaya göre tersini alın ve onu pozitif kuvvete yükseltin. Örneğin 5 üzeri eksi 2, 1 bölü 25'e eşittir.

Kesirli üs ne anlama gelir?

Payda kökü, pay ise kuvveti gösterir. Örneğin 27 üzeri 2/3, 27'nin küp kökü olan 3'ün karesidir ve 9 eder.

Negatif bir sayının kesirli kuvveti alınabilir mi?

Yalnızca sadeleşmiş üssün paydası tekse. Eksi 8 üzeri 1/3, eksi 2'ye eşittir; eksi 4 üzeri 1/2 ise gerçek bir sayı değildir.

(a + b)'nin karesi neden a kare artı b kareye eşit değil?

Kuvvet toplamaya değil, çarpmaya dağılır. Parantez açılınca a kare artı 2ab artı b kare elde edilir ve ortadaki terim kolayca unutulur; bu, toplamın karesi formülüdür.

Hesap makinesi tam sonuçlar veriyor mu?

Evet. Sonuçlar tam kesirler veya köklerdir; ondalık yaklaşım yalnızca irrasyonel bir sonucun yanında gösterilir.

Üslü sayılar hesap makinesini deneyin

Tam bir kuvvet hesaplayın ya da bir ifadeyi sadeleştirin ve uygulanan her kuralı görün.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun