Logaritma Hesap Makinesi

Logaritma hesap makinesi hakkında

Logaritma tek bir soruyu cevaplar: verilen sayıyı elde etmek için taban hangi kuvvete yükseltilmelidir? $2^5 = 32$ olduğundan $\log_2 32 = 5$ olur. Logaritmalar üstel fonksiyonları tersine çevirir; bu yüzden bileşik faizden pH değerine ve desibele kadar, bilinmeyenin üste bulunduğu her denklemi çözmenin aracıdır.

Hesap makinesinin üç modu vardır. Hesaplama modu $\log_b(x)$ değerini bulur; $x$ , $b$ tabanının rasyonel bir kuvvetiyse $\log_4 8 = \tfrac32$ gibi tam rasyonel bir sonuç, değilse ondalık değeriyle birlikte taban değiştirme yoluyla bir ifade verir. « $b^x = y$ denklemini çöz» modu üssü, « $\log_b(x) = c$ denklemini çöz» modu ise logaritmanın argümanını bulur. Taban 1 dışında herhangi bir pozitif sayı ya da doğal logaritma için $e$ olabilir.

Logaritma nedir?

$b > 0$ , $b \ne 1$ tabanı ve $x > 0$ sayısı için $\log_b x = y$ yazımı tam olarak $b^y = x$ anlamına gelir. İki eşitlik de aynı gerçeği iki farklı biçimde ifade eder; birinden diğerine geçebilmek temel beceridir.

İki tabanın kendine özgü adları vardır. Onluk logaritma $\log x$ (bazı kaynaklarda lg olarak da yazılır) 10 tabanını, doğal logaritma $\ln x$ ise büyüme problemlerinde, analizde ve olasılık kuramında doğal olarak ortaya çıkan $e \approx 2.71828$ tabanını kullanır. Sıfırın ve negatif sayıların logaritması gerçek sayılarda tanımlı değildir, çünkü pozitif bir tabanın hiçbir kuvveti sıfır veya negatif olmaz.

Logaritma hesap makinesi nasıl kullanılır?

Modu seçin: log_b(x) değerini hesapla, b^x = y denklemini çöz veya log_b(x) = c denklemini çöz.
Tabanı girin: 1'e eşit olmayan pozitif bir sayı, onluk logaritma için 10 ya da doğal logaritma için e.
x sayısını (hesaplamada) veya sağ tarafı (denklem modlarında) girin. 1/8 gibi kesirler kabul edilir.
Modun düğmesine basın. Sayının tabanın kuvveti olarak nasıl yazıldığını ya da hangi taban değiştirmenin kullanıldığını görürsünüz.

Formüller

Tanım

\log_b x = y \iff b^y = x

Çarpımın logaritması

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Bölümün logaritması

\log_b\frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

Kuvvetin logaritması

\log_b(M^k) = k\log_b M

Taban değiştirme

\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}

Çözümlü örnek: log₄(8)

Örnekte $\log_4 8$ hesaplanır. Sayılardan hiçbiri diğerinin kuvveti değildir, ama ikisi de aynı asal sayının kuvvetidir: $4 = 2^2$ ve $8 = 2^3$ . Hesap makinesi soruyu $(2^2)^y = 2^3$ , yani $2y = 3$ olarak yazar.

Bu yüzden tam sonuç $\tfrac32$ olur; kontrol için de $4^{3/2} = (\sqrt4)^3 = 8$ .

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

\log_{4}\left(8\right) = \frac{3}{2}

Probleminizi nasıl okuduk

Şu sayının logaritmasını hesaplayın: 8. Taban: 4.

\log_{4}\left(8\right)

Adım adım çözüm

Soru: tabanın hangi kuvveti bu sayıyı verir?
$4^{\,y} = 8$
İki sayıyı da aynı asal çarpanların kuvvetleri olarak yazın
Asal üsleri karşılaştırmak şunu gösterir: 8 = 4^(3/2).
$8 = 4^{\frac{3}{2}}$

Kullanılan formüller

Tanım
$\log_b x = y \iff b^y = x$
Taban değiştirme
$\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$
Kurallar
$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N,\quad \log_b M^k = k\log_b M$

4 tabanının 3/2 kuvveti tam olarak şunu verir: 8.

Doğrulama

Kontrol: 4^1.5 ≈ 8.

Ayrıntılı açıklama

Tam değerler mi, taban değiştirme mi?

Sayı ve taban aynı asal sayının kuvvetleri olarak yazılabiliyorsa logaritma rasyoneldir ve tam olarak hesaplanır; örneğin $\log_{27} 9 = \tfrac23$ veya $\log_2 \tfrac18 = -3$ . Hesap makinesi iki sayıyı da asal kuvvetlerine ayırır ve üsleri karşılaştırır; bu yüzden bu tür sonuçlar tamdır.

Logaritmaların çoğu irrasyoneldir. $\log 50$ değerinin tam rasyonel bir değeri yoktur: hesap makinesi onu taban değiştirme yoluyla $\frac{\ln 50}{\ln 10}$ olarak yazar ve $1.69897\ldots$ ondalık değerini verir. Taban değiştirme formülü işe yarar, çünkü $y = \log_b x$ ifadesinden $b^y = x$ çıkar ve iki tarafın doğal logaritması alınınca $y \ln b = \ln x$ elde edilir.

Üstel denklemleri çözme

$2^x = 10$ denklemini çözmek için iki tarafın logaritmasını alın. Kuvvetin logaritması özelliği bilinmeyeni öne getirir: $x \ln 2 = \ln 10$ , bu yüzden $x = \frac{\ln 10}{\ln 2} = \log_2 10 \approx 3.32193$ olur. Hızlı kontrol: $2^3 = 8$ ve $2^4 = 16$ , yani çözüm 3 ile 4 arasında olmalıdır.

$2^x = -4$ gibi bir denklemin gerçek çözümü yoktur, çünkü pozitif bir taban her gerçek kuvvette pozitiftir. Hesap makinesi bir değer vermek yerine bunu bildirir.

Logaritmik denklemleri çözme

$\log_3 x = 4$ denklemini çözmek için üstel biçime geçin: $x = 3^4 = 81$ . Logaritmalar yalnızca pozitif argümanlar için tanımlı olduğundan çözüm pozitif olmalıdır; daha karmaşık denklemlerde bulunan değerlerin tanım kümesinde olup olmadığını her zaman kontrol edin.

Logaritma özelliklerini birleştirme

Çarpımın, bölümün ve kuvvetin logaritması özellikleri üslerin özelliklerini yansıtır, çünkü logaritmalar üstür. Bunlarla bir logaritmayı daha basit parçalara ayırabilir, örneğin $\log_2(8x^3) = 3 + 3\log_2 x$ , ya da birkaç logaritmayı tek bir logaritmada toplayabilirsiniz, örneğin $\ln 6 - \ln 2 = \ln 3$ . Denklemde birden fazla logaritma varsa birleştirme çoğu zaman ilk adımdır, çünkü tek kalan logaritma daha sonra üstel biçimde yeniden yazılabilir.

Sık yapılan hatalar

$\log(a + b) = \log a + \log b$ yazmak. Çarpım özelliği toplamlara değil, $\log(ab)$ ifadesine uygulanır.
Logaritmaları yanlış bölmek: $\frac{\log a}{\log b}$ ne $\log(a - b)$ ne de $\log\frac ab$ ifadesidir.
Sıfırın veya negatif bir sayının logaritmasını hesaplamaya çalışmak.
Hesap makinesinde $\log$ (10 tabanı) ile $\ln$ ( $e$ tabanı) tuşlarını karıştırmak.
Her geçerli taban için $\log_b 1 = 0$ ve $\log_b b = 1$ olduğunu unutmak.

İpuçları

Logaritmanın anlamı açık değilse önce onu üstel biçimde yeniden yazın.
Hesaplamadan önce sonucu komşu kuvvetlerle tahmin edin: $\log_2 10$ , 3'ten biraz büyüktür.
Tam sonuçları tanımak için asal çarpanlara ayırmayı kullanın, örneğin $\log_8 32 = \tfrac53$ .
Dersiniz izin veriyorsa sonucu son adıma kadar tam logaritmik biçimde koruyun.

Sıkça sorulan sorular

log ile ln arasındaki fark nedir?

log yazımı genellikle 10 tabanını, yani onluk logaritmayı (bazı kaynaklarda lg), ln ise e tabanını, yani doğal logaritmayı gösterir. Özellikleri aynıdır; yalnızca sabit bir çarpanla farklılaşırlar.

Negatif bir sayının logaritması neden bulunamaz?

Pozitif bir taban her gerçek kuvvette her zaman pozitiftir: hiçbir gerçek üs sıfır veya negatif bir sayı vermez. Bu tür logaritmalar gerçek sayılarda tanımlı değildir.

Taban değiştirme formülü nasıl çalışır?

x sayısının b tabanına göre logaritması, ln x değerinin ln b değerine bölümüne eşittir. Böylece yalnızca ln veya log tuşları olan bir hesap makinesinde her tabanda logaritma hesaplanabilir.

Logaritma ne zaman tam sayı veya kesir çıkar?

Sayı tabanın rasyonel bir kuvveti olduğunda. Örneğin 8 sayısının 4 tabanına göre logaritması 3/2'dir, çünkü 4 sayısının 3/2. kuvveti 8'dir. Diğer durumlarda logaritma irrasyoneldir.

Bilinmeyeni üste olan bir denklem nasıl çözülür?

İki tarafın logaritmasını alın, kuvvetin logaritması özelliğiyle üssü öne çıkarın ve bölün. 2 sayısının x. kuvveti 10'a eşitse x, ln 10 değerinin ln 2 değerine bölümüdür.

Taban neden 1 olamaz?

1 sayısının tüm kuvvetleri 1'e eşittir: 1 tabanına göre logaritma sayıları birbirinden ayıramaz ve bir fonksiyon olmazdı.

Logaritmalar ne işe yarar?

Deprem büyüklüğü, desibel cinsinden ses düzeyi veya pH ile ölçülen asitlik gibi birçok büyüklük mertebesine yayılan nicelikleri ölçmeye ve büyüme ile bozunma problemlerini çözmeye.

Logaritma hesap makinesini deneyin

Her tabanda bir logaritma hesaplayın ya da üstel veya logaritmik bir denklemi adım adım çözün.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun