Bileşke Fonksiyon — f(g(x)) Adım Adım Hesaplama

Bileşke fonksiyon hesap makinesi hakkında

Bileşke, iki fonksiyonu bir zincir gibi birbirine bağlar; böylece birinin sonucu diğerinin girdisi olur. Karmaşık fonksiyonlar basit fonksiyonlardan bu şekilde elde edilir: $\sqrt{x - 4}$ , 4 çıkarıldıktan sonra uygulanan karekök; $(2x - 3)^2 + 1$ ise doğrusal bir fonksiyondan sonra kare alma ve bir ekleme işlemidir. Bu katmanları görebilmek zincir kuralı, ters fonksiyonlar ve birkaç aşamada ilerleyen süreçleri modellemek için gereklidir.

Hesap makinesi bir fonksiyonu diğerinin içine koyar, parantezleri açar, sonucu sadeleştirir ve iç fonksiyondan gelen kısıtlamalar dahil bileşkenin tanım kümesini bulur. Bir değer girerseniz bileşkeyi o noktada içten dışa doğru da hesaplar; böylece sayının her fonksiyondan nasıl geçtiğini görürsünüz.

Bileşke fonksiyon nedir?

$f$ ile $g$ 'nin $(f \circ g)(x)$ olarak yazılan ve «f bileşke g» diye okunan bileşkesi $f(g(x))$ olarak tanımlanır: önce $g$ uygulanır, ardından sonuca $f$ uygulanır. Sağdaki fonksiyon önce işler, yani okuma yönünün tersine.

Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. $f(x) = x^2$ ve $g(x) = x + 1$ için $f(g(x)) = (x + 1)^2$ olurken $g(f(x)) = x^2 + 1$ olur. Bir fonksiyonun kendisiyle bileşkesi de alınabilir: $f \circ f$ , $f$ 'yi iki kez uygular.

Bileşke fonksiyon hesap makinesi nasıl kullanılır?

Dış fonksiyon f(x)'i ve ikinci fonksiyon g(x)'i, ikisi de $x$ değişkenli olarak girin.
Bileşkeyi seçin: f∘g, g∘f, f∘f veya g∘g.
İsterseniz bileşkeyi o noktada hesaplamak için bir $x$ değeri girin.
Yerine koymayı, sadeleşmiş sonucu ve tanım kümesini görmek için «Bileşkeyi oluştur» düğmesine basın.
Sonucun nasıl değiştiğini görmek için ters sırayla karşılaştırın.

Formüller

Tanım

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Bileşkenin tanım kümesi

\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{x \in \operatorname{Dom}(g) : g(x) \in \operatorname{Dom}(f)\}

Birleşme özelliği

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

Ters fonksiyon kontrolü

f(f^{-1}(x)) = x

Çözümlü örnek: f(g(x)), f = x² + 1, g = 2x − 3, x = 2'de

Örnekte $f(x) = x^2 + 1$ ve $g(x) = 2x - 3$ kullanılır ve $f \circ g$ oluşturulur. $f$ 'deki her $x$ , $2x - 3$ ifadesinin tamamıyla değiştirilir; bu, $(2x - 3)^2 + 1$ , parantezler açıldıktan sonra da $4x^2 - 12x + 10$ verir.

Ayrıca örnek, $x = 2$ için değeri hesaplar. Adım adım $g(2) = 1$ ve $f(1) = 2$ bulunur; sadeleşmiş formül de $16 - 24 + 10 = 2$ ile aynı değeri verir. İki fonksiyon da polinom olduğundan tanım kümesi tüm gerçek sayılardır.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10

Probleminizi nasıl okuduk

Bulun ve değerini hesaplayın: (f ∘ g)(x) = f(g(x)).

f(x) = {x}^{2}+1,\ g(x) = 2x-3

Adım adım çözüm

Fonksiyonları yazın
$f(x) = {x}^{2}+1,\quad g(x) = 2x-3$
(f ∘ g)(x) şu anlama gelir: f(g(x)). Yani f içindeki her x yerine g(x) yazılır
$(f \circ g)(x) = f\big(2x-3\big)$
Yerine koyun
$(f \circ g)(x) = {\left(2x-3\right)}^{2}+1$
Parantezleri açıp benzer terimleri toplayın
$(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10$
Tanım kümesi: x şu fonksiyonda izinli olmalıdır: g; g(x) de şu fonksiyonda izinli olmalıdır: f
$\text{Tanım kümesi } f \circ g:\ (-\infty, \infty)$
İçten dışa doğru hesaplayın (x = 2): önce g(2) = 1
$g(2) = 1$
Sonra f(1) = 2
$f\big(1\big) = 2$

Kullanılan formüller

Bileşke
$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$

Bileşke, g fonksiyonunun çıktısını f fonksiyonuna girdi olarak verir. Sıra önemlidir: f∘g önce g fonksiyonunu uygular ve genellikle g∘f bileşkesinden farklıdır. Tanım kümesi sadeleştirmeden önce bulunur, çünkü çarpanları sadeleştirmek bileşkenin kabul edemediği değerleri gizleyebilir.

Doğrulama

Kontrol edildi: f(g(x)) ve son formül örnek noktalarda uyuşuyor.
Kontrol edildi: sadeleştirilmiş formül de x = 2 için şunu verir: 2.

Ayrıntılı açıklama

Doğru yerine koyma

Bileşkeyi en güvenli şekilde oluşturmanın yolu, dış fonksiyonu $x$ yerine boş parantezlerle yazmak, örneğin $f(\;) = (\;)^2 + 1$ , ardından iç ifadenin tamamını her parantez çiftinin içine koymaktır. Parantezler önemlidir: $x^2$ içindeki $x$ yerine $2x - 3$ koyduğunuzda $2x - 3^2$ değil, $(2x - 3)^2$ elde edersiniz.

Yerine koyduktan sonra parantezleri açın ve benzer terimleri toplayın. Hesap makinesi önce kendi yazdığınızla karşılaştırabilmeniz için sadeleşmemiş yerine koymayı, ardından sadeleşmiş biçimi gösterir.

Tanım kümesini bulma

Bir girdi, ancak $g$ onu kabul ediyorsa ve $f$ de $g$ 'nin verdiği sonucu kabul ediyorsa $f \circ g$ 'nin tanım kümesine aittir. $f(x) = \sqrt{x}$ ve $g(x) = x - 4$ için $g$ her sayıyı kabul eder, ama $f$ negatif olmayan bir girdi ister; bu yüzden $x - 4 \geq 0$ olur ve tanım kümesi $[4, \infty)$ olur.

İç fonksiyonun kısıtlamaları, sadeleştirme onları gizlese bile korunur. $f(x) = x^2$ ve $g(x) = \sqrt{x}$ olduğunda bileşke $x$ 'e sadeleşir, ama yalnızca $x \geq 0$ değerleri kabul edilir, çünkü önce $g$ tanımlı olmalıdır. Bu yüzden tanım kümesi yalnızca son formüle göre değil, iki aşamaya göre bulunur.

Bileşke nerede kullanılır?

Bileşke fonksiyonun türevi $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$ zincir kuralıyla bulunur. İç ve dış fonksiyonları tanımak, bu kuralı uygulamanın ilk adımıdır. Bileşke ayrıca birim dönüşümlerini, art arda yüzde değişimlerini ve grafik ötelemelerini de tanımlar: $f(x - 2)$ , $f$ 'nin iki birim sağa ötelemeyle bileşkesidir.

Ayrıştırma bunun tersi olan beceridir: $h(x) = \sqrt{3x + 7}$ için iç fonksiyon $g(x) = 3x + 7$ , dış fonksiyon $f(x) = \sqrt{x}$ seçilir; böylece $h = f \circ g$ olur. Çoğu zaman birkaç ayrıştırma mümkündür ve en iyisi, türev alma veya ters alma gibi bir sonraki adımı kolaylaştıranıdır. Hesap makinesiyle iki yönde de alıştırma yaparak fonksiyonlarda katmanları görmeye alışırsınız.

Sık yapılan hatalar

Fonksiyonları yanlış sırayla uygulamak; $f(g(x))$ ifadesinde önce iç fonksiyon $g$ işler.
Bileşke yerine fonksiyonları çarpmak: $f(g(x))$ , $f(x)\,g(x)$ değildir.
Yerine koyarken parantezleri unutmak; bu, kuvvetleri ve işaretleri değiştirir.
Tanım kümesini yalnızca sadeleşmiş formülden bulup iç fonksiyonun kısıtlamalarını kaybetmek.
$f \circ g = g \circ f$ olduğunu varsaymak; iki sırayı da kontrol edin.

İpuçları

Sadeleşmiş bileşkeyi, basit bir sayı için hesabı adım adım yaparak kontrol edin.
Yerine koymadan önce dış fonksiyonu boş parantezlerle yazın.
Önce iç fonksiyonun, sonra dış fonksiyonun kısıtlamalarını yazın.
Ters fonksiyonu ters fonksiyon hesap makinesiyle bulun, ardından $f(f^{-1}(x)) = x$ olduğundan emin olmak için bileşkesini alın.
Bileşke bir fonksiyonun türevini almadan önce iç ve dış fonksiyonları belirleyin.

Sıkça sorulan sorular

f(g(x)) ne anlama gelir?

Önce g'yi x'e uygulamak, ardından sonuca f'yi uygulamak demektir. Bileşke f∘g olarak yazılır («f bileşke g») ve sağdaki fonksiyon her zaman önce işler.

f∘g ile g∘f aynı mıdır?

Genel olarak hayır. f(x) = x² ve g(x) = x + 1 için f(g(x)) = (x + 1)² olur, ama g(f(x)) = x² + 1 olur. Hesap makinesiyle iki sırayı da hesaplayabilirsiniz.

Bileşkenin tanım kümesi nasıl bulunur?

İç fonksiyonun kabul ettiği girdileri alın ve yalnızca çıktıları dış fonksiyon tarafından kabul edilenleri bırakın. İç fonksiyonun kısıtlamaları, sadeleşmiş formül onları gizlese bile korunur.

Bir fonksiyonun kendisiyle bileşkesi alınabilir mi?

Evet. f∘f veya g∘g seçeneğini seçin. f(x) = 2x + 1 için f(f(x)) = 4x + 3 olur; bu yüzden f(f(3)) = 15 bulunur.

Bileşke ile türev nasıl ilişkilidir?

Zincir kuralına göre f(g(x))'in türevi, f′(g(x)) ile g′(x)'in çarpımına eşittir. İç ve dış fonksiyonları tanımak ilk adımdır.

Hesap makinesi bileşkeyi bir noktada hesaplar mı?

Evet. Bir x değeri girin; hesap makinesi içten dışa çalışır: önce bu değerde iç fonksiyon, ardından sonuçta dış fonksiyon. Aynı değeri sadeleşmiş formülde yerine koymak da aynı sayıyı vermelidir.

İki fonksiyonun birbirinin tersi olduğu nasıl kontrol edilir?

Bileşkelerini iki sırayla da alın. Hem f(g(x)) hem de g(f(x)) kendi tanım kümelerinde x'e sadeleşiyorsa fonksiyonlar birbirinin tersidir.

Bileşke fonksiyon hesap makinesini deneyin

f ve g'yi girin; sadeleşmiş bileşkeyi, tanım kümesini ve bir noktadaki değerini alın.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun

Bileşke Fonksiyon Hesap Makinesi