Fonksiyonların Bileşkesi: f(g(x)) Nasıl Hesaplanır ve Kullanılır?

Bileşke nedir?

İki fonksiyon $f$ ve $g$ için «f bileşke g» diye okunan $f \circ g$ bileşkesi, önce $g$'yi, ardından sonuca $f$'yi uygulayan fonksiyondur:

En çok kafa karışıklığına sıra yol açar. Sağda yazılan, $x$'e en yakın olan fonksiyon önce işler. Bir üretim bandı düşünün: $x$, $g$ makinesine girer, $g(x)$ ürünü $f$ makinesine ilerler ve çıkışta $f(g(x))$ elde edilir. Bunun işlemesi için kullanılan her $g$ değeri, $f$ için geçerli bir girdi olmalıdır.

Bileşke çarpma değildir. $(fg)(x)$ çarpımı $f(x) \cdot g(x)$ demektir, yani iki değeri çarpar; $(f \circ g)(x)$ ise bir fonksiyonu diğerinin içine yerleştirir. Her şeyi o küçük halka belirler.

İki formülün bileşkesi

$f(g(x))$'i bulmak için $f$'nin formülünü alın ve her $x$'in yerine parantez içinde $g(x)$ formülünün tamamını yazın. Ardından sadeleştirin.

İki sıra tamamen farklı fonksiyonlar verir. Genel olarak bileşkenin değişme özelliği yoktur: $f \circ g$ ile $g \circ f$ neredeyse her zaman farklıdır ve asla eşit oldukları varsayılmamalıdır. Buna karşılık birleşme özelliği vardır: $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$; üç fonksiyonluk bir zincir içeriden dışarıya doğru hesaplanabilir.

Yerine koyarken iç fonksiyonu her zaman paranteze alın. Parantez olmadan $g(x) = x^2$ için $g(2x + 3)$ kolayca $2x + 3^2$'ye dönüşür ve bu yanlıştır.

Bileşkeyi sayılardan ve tablolardan hesaplamak

Çoğu zaman yalnızca belirli bir değer gerekir. İçeriden dışarıya doğru ilerleyin: önce iç fonksiyonu hesaplayın, sonra sonucu dış fonksiyonun girdisi olarak kullanın. Bunun için bileşkenin formülünü bulmanız gerekmez.

Bir tablo $g(1) = 4$, $g(2) = 0$, $g(3) = 2$ ve $f(0) = 5$, $f(2) = -1$, $f(4) = 3$ değerlerini versin. O zaman $f(g(1)) = f(4) = 3$, $f(g(2)) = f(0) = 5$ ve $f(g(3)) = f(2) = -1$ olur. Tabloda $g$'den elde edilen sayı için bir $f$ değeri bulunmasaydı, bileşke o girdide basitçe tanımsız olurdu.

Grafiklerde de işlem sırası aynıdır. İki grafikten $f(g(3))$'ü bulmak için $g(3)$'ü $g$'nin grafiğinden okuyun, bu değeri $f$'nin grafiğinin x ekseninde bulun ve fonksiyonun değerini okuyun.

Bileşke fonksiyonun tanım kümesi

$f \circ g$'nin tanım kümesi tam olarak iki koşulu sağlayan $x$ değerlerinden oluşur: $x$, $g$'nin tanım kümesindedir ve $g(x)$, $f$'nin tanım kümesindedir. Bileşkenin formülünü sadeleştirmek birinci koşulu gizleyebilir; bu yüzden tanım kümesini asıl fonksiyonlardan bulun.

Kısa bir örnek bunun neden önemli olduğunu gösterir. $f(x) = x^2$ ve $g(x) = \sqrt{x}$ ise $f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$ olur, ama yalnızca $x \ge 0$ için. Tek başına $x$ formülü her gerçek sayının kabul edilebilir olduğu izlenimini verir, oysa durum böyle değildir. Tanım ve görüntü kümesi rehberi burada kullanılan kısıtlamaları daha ayrıntılı ele alır.

Bir fonksiyonu ayrıştırmak

Ayrıştırma ters yönde ilerler: karmaşık bir $h$ fonksiyonu için $h = f \circ g$ olacak şekilde daha basit fonksiyonlar aranır. Dıştaki işlemin etki ettiği iç ifadeyi arayın.

• $h(x) = (3x - 1)^5$: iç fonksiyon $g(x) = 3x - 1$, dış fonksiyon $f(u) = u^5$.
• $h(x) = \sqrt{x^2 + 4}$: iç fonksiyon $g(x) = x^2 + 4$, dış fonksiyon $f(u) = \sqrt{u}$.
• $h(x) = e^{\sin x}$: iç fonksiyon $g(x) = \sin x$, dış fonksiyon $f(u) = e^u$.
• $h(x) = \frac{1}{(x + 2)^2}$: iç fonksiyon $g(x) = x + 2$, dış fonksiyon $f(u) = \frac{1}{u^2}$; ya da $u = x + 2$, $v = u^2$, $w = \frac{1}{v}$ şeklinde üç adımlı bir zincir.

Ayrıştırma tek değildir, ancak en yararlısının iç fonksiyonu genellikle basittir. İç kısmı $u$ ile göstermek, zincir kuralı ve değişken değiştirerek integral alma için tam da gereken beceridir.

Analizde ve ters fonksiyonlarda bileşke

İki büyük konu bileşke üzerine kurulur. Birincisi zincir kuralıdır: $f(g(x))$'in türevi $f'(g(x)) \cdot g'(x)$'e eşittir. $(3x - 1)^5$ için bu $5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$ verir. Bu konu türev kuralları rehberinde ayrıntılı olarak işlenir.

İkincisi: iki fonksiyon, ancak ve ancak her iki sıradaki bileşkeleri girdiyi geri veriyorsa birbirinin tersidir: ilgili kümeler üzerinde $f(f^{-1}(x)) = x$ ve $f^{-1}(f(x)) = x$. $f(x) = 2x + 3$ ve $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$ için $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = x - 3 + 3 = x$ elde ederiz. Ters fonksiyonlar rehberinin açıkladığı gibi, bir ters fonksiyon genellikle böyle kontrol edilir.

Gerçek hayattan bir örnek: indirimler ve kuponlar

Bir mağaza %20 indirim yapıyor ve sizde ayrıca 10 dolarlık bir kupon var. $d(p) = 0.8p$, indirimin $p$ fiyatına uygulanması, $c(p) = p - 10$ ise kuponun kullanılması olsun. Sıra önemlidir.

• Önce kupon, sonra indirim: $d(c(p)) = 0.8(p - 10) = 0.8p - 8$.
• Önce indirim, sonra kupon: $c(d(p)) = 0.8p - 10$.
• 50 dolarlık bir ürün için birinci sıra 32 dolar, ikincisi ise 30 dolar tutar.

Önce yüzde indirimi uygularsanız burada her zaman 2 dolar tasarruf edersiniz, çünkü kupon yüzdeyle küçülmez. Bir sürecin diğerini beslediği bu tür durumlar bileşkedir ve $f$ ile $g$'nin sırasının yalnızca teknik bir ayrıntı olmadığını gösterir.

Sık yapılan hatalar

• Fonksiyonları yanlış sırada uygulamak: $f(g(x))$'te önce $g$ işler.
• Yerine koymak yerine $f(x)$'i $g(x)$ ile çarpmak.
• Özellikle kuvvetlerde ve eksi işaretlerinde parantez kullanmadan yerine koymak.
• Tanım kümesini yalnızca sadeleşmiş formülden bulmak ve iç fonksiyonun dışarıda bıraktığı değerleri unutmak.
• $f \circ g = g \circ f$ olduğunu varsaymak.

Her iki sırayı ve tanım kümelerini, yerine koyma adımını açıkça gösteren fonksiyon bileşkesi hesap makinesiyle kontrol edebilirsiniz.

Bileşke neden zahmete değer?

Cebirden sonra karşılaştığınız fonksiyonların neredeyse hepsi bileşkeyle elde edilir. Soğuyan bir içeceğin sıcaklığı, salınan bir sarkacın sapması ya da bir mevduatın değeri için formül genellikle daha da basit bir iç ifadeye uygulanmış üstel, sinüs ya da kuvvet gibi basit bir dış fonksiyondur. Bu yapıyı gören kişi grafiğin şeklini tahmin edebilir, fonksiyonun nerede tanımlı olduğunu bilir ve türevler ile integraller için doğru tekniği seçer.

Bileşke, grafik dönüşümlerini de açıklar. $f$'nin grafiğini üç birim sağa kaydırmak $f(x - 3)$'ü, yani $f$'nin $x - 3$ iç fonksiyonuyla bileşkesini verir. y ekseni boyunca 2 katsayısıyla germe $2f(x)$'i, yani $2u$ dış fonksiyonunun $f$ ile bileşkesini verir. Bu bakış açısından parantez içindeki dönüşüm girdiyi değiştirir ve yatay olarak etki eder; dışarıdaki dönüşüm ise çıktıyı değiştirir ve düşey olarak etki eder. Yalnızca bu gözlem, yatay kaydırmaların neden ters yöne gidiyormuş gibi göründüğünü açıklar.

Çözümlü alıştırmalar

Kâğıt üzerinde çözün, ardından karşılaştırın. Her soru önceki bölümlerden bir fikir kullanır.

1. $f(x) = x^2 + 1$ ve $g(x) = x - 3$ ise $f(g(x))$'i bulun. Çözüm: $(x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$.
2. Aynı fonksiyonlarla $g(f(x))$'i bulun. Çözüm: $x^2 + 1 - 3 = x^2 - 2$.
3. $f(x) = \sqrt{x}$ ve $g(x) = 4 - x$ ise $f(g(x))$'in tanım kümesini bulun. Çözüm: $4 - x \ge 0$, yani $(-\infty, 4]$.
4. $h(x) = \ln(x^2 + 1)$'i ayrıştırın. Çözüm: iç fonksiyon $x^2 + 1$, dış fonksiyon $\ln u$.
5. $f(x) = 3x - 2$ ise $f(f(2))$'yi bulun. Çözüm: $f(2) = 4$ ve $f(4) = 10$.

Birinci soruda $x^2 - 2$ bulduysanız fonksiyonları yanlış sırada uyguladınız: bu, ikinci sorunun cevabıdır. Sırayı karıştırmak en sık yapılan hatadır ve $x = 0$ gibi bir sayıyla yapılan kontrol onu hemen ortaya çıkarır: $f(g(0)) = f(-3) = 10$, $g(f(0)) = g(1) = -2$ ise.

Sıkça sorulan sorular