Ters Fonksiyonlar: Bir Fonksiyonun Tersi Nasıl Bulunur, Çizilir ve Doğrulanır?

Ters fonksiyon ne yapar?

Bir fonksiyon bir girdi alır ve bir çıktı verir. $f^{-1}$ ile gösterilen ters fonksiyon yolu tersten izler: $f$'nin bir değerini alır ve onu üreten girdiyi geri verir. $f(a) = b$ ise $f^{-1}(b) = a$'dır. Önce birini, sonra diğerini uyguladığınızda başladığınız noktaya dönersiniz.

Gündelik hayattan bir örnek sıcaklık dönüşümüdür. $F = \frac{9}{5}C + 32$ fonksiyonu santigrat dereceyi fahrenhayta çevirir. $C = \frac{5}{9}(F - 32)$ ters fonksiyonu ise ters yönde çevirir. Birincisine 37 santigrat derece koyduğumuzda 98,6 fahrenhayt, ikincisine 98,6 koyduğumuzda yeniden 37 elde ederiz.

Gösterime dikkat etmek gerekir. $f^{-1}$'deki $-1$ bir üs değildir. $f^{-1}(x)$ ters fonksiyonu, $\frac{1}{f(x)}$ çarpmaya göre tersi değildir. $f(x) = 2x$ için ters fonksiyon $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$, çarpmaya göre ters ise $\frac{1}{2x}$'tir.

Ters fonksiyon ne zaman vardır?

Bir fonksiyon ancak her değeri tam olarak bir girdiden elde ediliyorsa ters çevrilebilir. Böyle bir fonksiyona bire bir fonksiyon denir. İki farklı girdi aynı değeri veriyorsa hangisinin geri verileceği belli olmaz ve bu küme üzerinde ters fonksiyon yoktur.

$f(x) = x^2$ fonksiyonu gerçek sayılarda bu sınavı geçemez, çünkü $f(3) = f(-3) = 9$'dur. 9'u geri alan bir ters fonksiyon 3'ü mü yoksa $-3$'ü mü vereceğini bilemezdi. Grafikte bu, yatay doğru testidir: bir fonksiyon, ancak ve ancak hiçbir yatay doğru grafiği birden fazla kez kesmiyorsa bire birdir. $y = 9$ doğrusu $y = x^2$ parabolünü iki kez keser, bu yüzden parabol testi geçemez.

Kesin artan ve kesin azalan fonksiyonlar testi kendiliğinden geçer. Eğimi sıfırdan farklı doğrusal fonksiyonlar, $x^3$, $e^x$ ve $\ln x$ kendi doğal tanım kümelerinde bire birdir.

Ters fonksiyon cebirsel olarak nasıl bulunur?

1. $f(x)$ yerine $y$ yazın.
2. İfadenin tamamında $x$ ile $y$'nin yerlerini değiştirin.
3. Yeni denklemi $y$'ye göre çözün.
4. $y$ yerine $f^{-1}(x)$ yazın ve tanım kümesini belirtin; bu, $f$'nin görüntü kümesidir.

Yer değiştirmeden sonra $y$ birden fazla kez geçiyorsa $y$ içeren tüm terimleri bir tarafa toplayın ve örnek 3'teki gibi $y$'yi paranteze alın.

Tanım kümesini kısıtlamak

Bire bir olmayan bir fonksiyon, tanım kümesi bire bir olduğu bir aralıkla kısıtlanırsa ters fonksiyona sahip olabilir. Karekök ve ters trigonometrik fonksiyonlar böyle tanımlanır.

$f(x) = x^2$ fonksiyonu $x \ge 0$ koşuluyla kısıtlanırsa parabolün yalnızca sağ yarısı kalır ve bu yarı bire birdir. Ters fonksiyon, $x \ge 0$ için $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$'tir. $x \le 0$ için $-\sqrt{x}$ elde edilirdi.

Ters trigonometrik fonksiyonlar da aynı şekilde kurulur. Sinüs bire bir değildir; bu yüzden $\arcsin x$, $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ aralığına kısıtlanmış sinüsün tersi olarak tanımlanır. Bu nedenle $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$'dır, $\frac{5\pi}{6}$ değil: sonuç kısıtlanmış aralıkta bulunmalıdır.

Üstel fonksiyonlar ve logaritmalar

Analizden önceki en önemli ters fonksiyon çifti $e^x$ ve $\ln x$'tir: her gerçek $x$ için $\ln(e^x) = x$ ve $x > 0$ için $e^{\ln x} = x$. Genel olarak $\log_b x$, $b^x$'in tersidir. Logaritmalar yazısı logaritmanın tüm özelliklerini bu olgudan türetir.

Ters fonksiyonların grafikleri

Ters fonksiyon girdilerle çıktıların yerini değiştirdiğinden $f$'nin grafiğindeki her $(a, b)$ noktası $f^{-1}$'in grafiğinde $(b, a)$ noktası olur. Geometrik olarak koordinatların yer değiştirmesi $y = x$ doğrusuna göre yansımadır. Demek ki ters fonksiyonun grafiği, asıl grafiğin bu açıortaya göre ayna görüntüsüdür.

Bu, ters fonksiyonun hızlı bir taslağını ve yararlı bir kontrol sağlar: $e^x$ ile $\ln x$'in grafikleri, $x^3$ ile $\sqrt[3]{x}$'in grafikleri gibi birbirine simetriktir. Özellikler de yer değiştirir. Örnek 3'teki gibi, $f$'nin yatay asimptotu $f^{-1}$'in düşey asimptotu olur. İki fonksiyonu $y = x$ doğrusuyla birlikte grafik çizicide çizerseniz simetri apaçık hâle gelir.

Ters fonksiyon nasıl doğrulanır?

İki fonksiyonun birbirinin tersi olduğunu kanıtlamak için bileşkelerini her iki sırada alın ve sadeleştirin. İki bileşke de ilgili kümeler üzerinde $x$ veriyorsa fonksiyonlar birbirinin tersidir. Örnek 3 için:

Daha hızlı, gayriresmî bir kontrol: bir girdi seçin, $f$'yi, ardından ters fonksiyonu uygulayın ve girdinin geri gelip gelmediğine bakın. Bu, formülün doğru olduğunu kanıtlamaz ama hataların çoğunu yakalar. Bileşke, fonksiyonların bileşkesi rehberinde ayrıntılı olarak açıklanır.

Analizde ters fonksiyonlar

$f$ türevlenebilir ve bire birse ters fonksiyonun bir noktadaki teğetinin eğimi, $f$'nin karşılık gelen noktadaki eğiminin çarpmaya göre tersine eşittir. $f(a) = b$ ve $f'(a) \neq 0$ ise:

$f(x) = x^3 + x$ için $f(1) = 2$ ve $f'(x) = 3x^2 + 1$'dir; bu yüzden $f'(1) = 4$ ve $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{4}$ olur. Bu, $f^{-1}$'in formülünü bulmak çok zor olduğunda bile işe yarar. $\ln x$'in türevinin $\frac{1}{x}$ olmasının nedeni de tam olarak budur: $\ln$, $e^x$'in ters fonksiyonudur.

Sık yapılan hatalar

• $f^{-1}(x)$'i $\frac{1}{f(x)}$'e eşit saymak.
• $x$ ile $y$'nin yerini değiştirmeyi unutmak; bu durumda asıl fonksiyon yalnızca yeniden yazılmış olur.
• Tanım kümesini kısıtlamadan bire bir olmayan bir fonksiyon için formül aramak.
• Tanım kümesini kısıttıktan sonra karekökün yanlış işaretini seçmek.
• Asıl fonksiyonun görüntü kümesiyle örtüşmesi gereken ters fonksiyonun tanım kümesini belirtmemek.

Ters fonksiyon hesap makinesi yer değiştirme ve çözme adımlarını gösterir, ardından sonucu bileşkeyle doğrular.

Tablolarla ve uygulamalarda ters fonksiyonlar

Her zaman bir formüle ihtiyaç yoktur. Bir tablo bire bir bir fonksiyon veriyorsa ters fonksiyon iki sütunun yeri değiştirilerek elde edilir. Bir kargo şirketinin ağırlığa göre ücret aldığını ve tarife tablosuna göre 1 kilogramın 6 dolar, 2 kilogramın 9 dolar, 3 kilogramın ise 12 dolar tuttuğunu düşünün. Ters tablo ters soruyu yanıtlar: müşterinin ne kadar ödediği biliniyorsa paket kaç kilogramdı? 9 dolarlık ödeme 2 kilograma karşılık gelir. İki ağırlık aynı ücreti tutsaydı ters sorunun tek bir cevabı olmazdı: bire bir olma koşulu gerçek bir durumda tam olarak budur.

Gündelik pek çok formül iki yönde de kullanılır. Bir kredi hesaplayıcısı kredi tutarından aylık taksiti bulur; ters ilişki ise ödenebilir bir taksitle ne kadar borç alınabileceğini söyler. Porsiyon sayısına göre ölçeklenmiş bir tarif, belirli miktarda undan kaç porsiyon çıkacağını öğrenmek için ters çevrilebilir. Fen bilimlerinde bir kalibrasyon eğrisi bilinen bir derişimi cihaz okumasına çevirir, ters fonksiyon ise okumayı derişime çevirir. Her durumda ters fonksiyon, asıl ilişki ilgilenilen aralıkta bire bir olduğu için yararlıdır.

Bu açıdan bakınca cebirsel adımlar doğal görünür. $x$ ile $y$'nin yerini değiştirmek, girdi ve çıktının rollerinin değiştiğini söylemenin kısa bir yoludur; $y$'ye göre çözmek ise ters soruyu yanıtlamak demektir.

Sıkça sorulan sorular