Polinom Fonksiyonlar: Derece, Uç Davranışı, Kökler ve Grafikler

Bir fonksiyonu polinom yapan nedir?

Polinom, her biri bir sabit ile $x$'in doğal sayı üslü bir kuvvetinin çarpımı olan terimlerin toplamıdır:

En büyük üs olan $n$ derecedir, buna karşılık gelen $a_n$ katsayısı baş katsayıdır, $a_0$ ise sabit terimdir ve aynı zamanda grafiğin y eksenini kestiği noktayı belirler. Derece 1 doğruları, derece 2 parabolleri, derece 3 kübik fonksiyonları, derece 4 ise dördüncü dereceden polinomları verir. Negatif ya da kesirli üsler içeren ifadeler, örneğin $\frac{1}{x}$ veya $\sqrt{x}$, ayrıca değişkenin paydada ya da üste bulunduğu ifadeler polinom değildir.

Polinomlar her gerçek sayıda tanımlıdır; grafikleri kırılmasız, sıçramasız ve asimptotsuz, düzgün ve süreklidir. Modelleme yaparken ve başka fonksiyonlara yaklaşırken bu kadar sevilmelerinin nedenlerinden biri budur.

Uç davranışı ve baş terim

Çok büyük pozitif ya da negatif $x$ değerlerinde baş terim diğer bütün terimlere baskın gelir; bu yüzden grafiğin uçları $a_n x^n$ gibi davranır. Yalnızca iki şey önemlidir: derecenin çift mi tek mi olduğu ve baş katsayının işareti.

• Çift derece ve pozitif baş katsayı: iki uç da $x^2$'deki gibi yukarı gider.
• Çift derece ve negatif baş katsayı: iki uç da $-x^2$'deki gibi aşağı gider.
• Tek derece ve pozitif baş katsayı: grafik, $x^3$'teki gibi solda aşağıdan gelir ve sağda yukarı gider.
• Tek derece ve negatif baş katsayı: grafik, $-x^3$'teki gibi solda yukarıdan gelir ve sağda aşağı gider.

Örneğin $p(x) = -2x^5 + 40x^2 + 7$'nin derecesi tek, baş katsayısı negatiftir: diğer katsayılar ne kadar büyük görünürse görünsün grafik sola doğru yükselir ve sağa doğru alçalır. Dolayısıyla tek dereceli bir polinom, uçları zıt yönlere gittiği için x eksenini her zaman en az bir kez keser.

Kökler, doğrusal çarpanlar ve katlılık

$p$ polinomunun kökü, $p(c) = 0$ olmasını sağlayan $c$ değeridir. Kökler grafiğin x eksenini kestiği noktaların apsisleridir ve her $c$ gerçek köküne bir $(x - c)$ doğrusal çarpanı karşılık gelir. Bu yüzden çarpanlara ayırma, sıfır çarpım özelliği sayesinde kök bulmanın başlıca aracıdır: bir çarpım ancak ve ancak çarpanlardan en az biri sıfırsa sıfırdır.

Bir doğrusal çarpan birden çok kez geçiyorsa kökün katlılığı birden büyüktür ve grafik o kökte farklı davranır. Tek katlı bir kökte grafik ekseni keser; çift katlılıkta eksene teğet olur ve aynı tarafa geri döner. Katlılık arttıkça grafik kökün yakınında daha da yassılaşır.

$n$. dereceden bir polinomun en fazla $n$ gerçek kökü ve en fazla $n - 1$ yerel ekstremum noktası, yani grafiğin maksimum ve minimumları vardır. Kübik bir fonksiyonun bir ya da iki yerel ekstremum noktası olabilir ya da $x^3$'te görüldüğü gibi hiç olmayabilir. Çarpanları bulma yollarını polinomları çarpanlara ayırma rehberi ayrıntılı olarak anlatır.

Kalan teoremi ve çarpan teoremi

Bir $p(x)$ polinomu $(x - c)$'ye bölündüğünde kalan yalnızca bir sayıdır ve kalan teoremi bu sayının $p(c)$'ye eşit olduğunu söyler. Bundan hemen çarpan teoremi çıkar: $(x - c)$ ancak ve ancak $p(c) = 0$ ise bir çarpandır.

Buna karşılık $p(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$: $p(x)$, $(x - 2)$'ye bölünseydi $-4$ kalanı kalırdı; dolayısıyla $(x - 2)$ bir çarpan değildir.

Horner yöntemi

Horner yöntemi, $(x - c)$'ye bölmenin yalnızca katsayıları kullanan kısa bir yoludur. Örnek 3 için $c = 1$'i ve $1, -2, -5, 6$ katsayılarını yazın.

1. İlk katsayıyı aşağı indirin: 1.
2. Onu $c$ ile çarpın ve sonucu sonraki katsayıya ekleyin: $1 \times 1 = 1$ ve $-2 + 1 = -1$.
3. Tekrarlayın: $-1 \times 1 = -1$ ve $-5 + (-1) = -6$.
4. Tekrarlayın: $-6 \times 1 = -6$ ve $6 + (-6) = 0$.
5. Son sayı olan 0 kalandır. Diğerleri, yani $1, -1, -6$, bölümün katsayılarıdır: $x^2 - x - 6$.

$x$'in her kuvvetine ayrı bir yer gerekir: eksik her terimin yerine 0 yazın. $x^3 - 8$'i $(x - 2)$'ye bölmek için $1, 0, 0, -8$ katsayıları alınır ve kalansız, yani 0 kalanla $x^2 + 2x + 4$ bölümü elde edilir.

Horner yöntemi yalnızca $x - c$ biçimindeki bölenlerle çalışır. $2x - 1$'e bölmek için $x - \frac{1}{2}$'ye bölün, ardından bölümü 2'ye bölün ya da uzun polinom bölmesini kullanın.

Kaç kök var? Cebirin temel teoremi

Cebirin temel teoremi, her kök katlılığı kadar sayıldığında $n \ge 1$ dereceli bir polinomun tam olarak $n$ karmaşık kökü olduğunu garanti eder. Bunların bazıları gerçek, bazıları karmaşık olabilir. Katsayılar gerçekse karmaşık kökler eşlenik çiftler hâlinde ortaya çıkar: $2 + 3i$ bir kökse $2 - 3i$ de köktür.

Bu, gerçek katsayılı kübik bir fonksiyonun neden her zaman en az bir gerçek kökü olduğunu açıklar: karmaşık kökler çiftler hâlinde geldiği için üç kökün üçü birden karmaşık olamaz. Dördüncü dereceden bir polinomun ise $x^4 + 1$'de görüldüğü gibi hiç gerçek kökü olmayabilir.

Bir kök tam olarak bulunamıyorsa ara değer teoremi onun yerini daraltmaya yardım eder. $p(x) = x^3 + x - 1$ için $p(0) = -1$ ve $p(1) = 1$'dir. Polinom grafiklerinde sıçrama olmadığından grafik ekseni 0 ile 1 arasında bir yerde kesmelidir; sayısal olarak kök yaklaşık $0.6823$'tür.

Köklerinden bir polinom kurmak

Tersine, kökler polinomu sabit bir çarpana kadar belirler. İkinci dereceden bir fonksiyonun kökleri 2 ve $-1$ olsun ve fonksiyon $(0, 4)$ noktasından geçsin. O hâlde fonksiyon mutlaka $f(x) = a(x - 2)(x + 1)$ biçimindedir. Noktayı yerine koymak $4 = a(-2)(1)$ verir; yani $a = -2$ ve $f(x) = -2(x - 2)(x + 1) = -2x^2 + 2x + 4$. Parantezleri açmak ve $f(0) = 4$, $f(2) = 0$ ile $f(-1) = 0$'ı kontrol etmek sonucu doğrular.

Bir polinomun grafik taslağını çizmek

1. Uç davranışını belirlemek için dereceyi ve baş katsayıyı bulun.
2. Kökleri ve katlılıklarını bulmak için çarpanlarına ayırın.
3. Sabit terimin verdiği y ekseni kesim noktasını işaretleyin.
4. Her kökte katlılığa bakarak grafiğin ekseni kesip kesmediğine ya da eksene teğet olup olmadığına karar verin.
5. Noktaları, uç davranışına uyan ve en fazla $n - 1$ yerel maksimum ve minimuma sahip düzgün bir eğriyle birleştirin.

Böylece güvenilir bir şekil elde edersiniz, ancak maksimum ve minimumların tam yüksekliklerini bulamazsınız: bunun için türev gerekir. Taslağınızı grafik çizici ile karşılaştırmak güven kazanmanın iyi bir yoludur.

Uygulama: en büyük hacimli açık kutu

10'a 16 santimetrelik bir karton levhanın her köşesinden kenarı $x$ olan bir kare kesilir ve kenarlar yukarı katlanarak açık bir kutu elde edilir. Hacim $V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$'tir. Bütün uzunluklar pozitif olması gerektiğinden anlamlı tanım kümesi $0 < x < 5$'tir.

0, 5 ve 8 kökleri hacmin nerede sıfır olduğunu gösterir. Bu kökler arasında hacim önce artar sonra yeniden azalır ve maksimumu türev bulur: $V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4(3x - 20)(x - 2)$ ifadesi tanım kümesinin içinde $x = 2$'de sıfır olur. En büyük hacimli kutunun hacmi $V(2) = 2 \cdot 6 \cdot 12 = 144$ santimetreküptür. Türev kuralları rehberi bu tür türevlerin nasıl hesaplandığını gösterir.

Sık yapılan hatalar

• Uç davranışını en büyük dereceli terime göre değil, ilk yazılan terime göre belirlemek.
• Horner yönteminde eksik kuvvetlerin sıfır katsayılarını unutmak.
• Grafiğin her kökte ekseni kestiğini sanmak ve çift katlılıkları gözden kaçırmak.
• $n - 1$'den fazla yerel maksimum ve minimum belirtmek.
• $c$ kökünü doğrusal çarpandaki işaretle karıştırmak: 3 köküne $(x - 3)$ çarpanı karşılık gelir.

Polinom hesap makinesi kökleri bulur, çarpanlara ayırır ve polinomları böler, her adımı da gösterir: yukarıdaki örnekleri kontrol etmek için kullanın.

Sıkça sorulan sorular