Polinom Hesap Makinesi

Q: Polinom hesap makinesi hangi işlemleri yapar?

Parantez açma, toplama, çıkarma, çarpma, bölüm ve kalanla bölme, verilen bir x için Horner yöntemiyle değer hesaplama ve gerçek kökleri bulma.

Q: Bir polinom başka bir polinoma nasıl bölünür?

Bölmeyi seçin, bölüneni P, böleni Q olarak girin. Hesap makinesi uzun bölmeyi yapar ve bölümü, kalanı ve sonucu bölüm artı kalanın bölene bölümü biçiminde gösterir.

Q: Kalan teoremi ne söyler?

P polinomunun x eksi c ile bölümünden kalan P(c) değerine eşittir. Bu yüzden polinomun c noktasındaki değerini hesaplamak, kalanı bulmanın veya c'nin kök olup olmadığını kontrol etmenin hızlı bir yoludur.

Q: Polinom hesap makinesi karmaşık kökleri gösterir mi?

Hayır. Kök modu yalnızca gerçek kökleri verir ve yoksa bunu bildirir. Rasyonel kökler tamdır, irrasyonel kökler yaklaşık ondalık değerler olarak verilir.

Q: Horner yöntemi nedir?

Bir polinomun değerini iç içe çarpmalarla hesaplama yöntemidir; örneğin ax küp artı bx kare artı cx artı d ifadesi ((ax + b)x + c)x + d olarak yazılır. Her kuvveti ayrı ayrı hesaplamaktan daha az işlem gerektirir ve daha az hataya yol açar.

Q: Polinomun derecesi nedir?

Değişkenin katsayısı sıfırdan farklı olan en büyük kuvvetidir. Polinomun sahip olabileceği gerçek köklerin ve yerel ekstremum noktalarının sayısını sınırlar.

Q: Katsayı olarak kesir kullanılabilir mi?

Evet. Kesirler ve ondalık sayılar tam kesirlere dönüştürülür ve tüm sonuçlar tam kalır.

Polinom hesap makinesi hakkında

Polinomlar cebirdeki en yaygın fonksiyonlardır: doğrular, paraboller, kübik fonksiyonlar ve tek bir değişkenin negatif olmayan tam sayı kuvvetlerinden kurulan her şey. Onlarla çalışırken birkaç işlemi sürekli tekrarlarsınız: iki parantezi çarpmak, doğrusal bir çarpana bölmek, değişkenin yerine bir değer koymak veya kökleri bulmak. Hepsi mekaniktir, ama çok terimli polinomlarda hata yapmak kolaydır.

Hesap makinesi tek değişkenli polinomlarla yedi işlem yapar: parantez açma, toplama, çıkarma, çarpma, bölme, değer hesaplama ve gerçek kökleri bulma. Katsayılar tam kesirler olarak saklanır: bölme tam bölüm ve kalan verir, rasyonel kökler de yuvarlanmış ondalık sayılar olarak değil, tam olarak verilir.

Polinom nedir?

$x$ değişkenli bir polinom, her $a$ katsayısının bir sayı, her $n$ üssünün de negatif olmayan bir tam sayı olduğu $a x^n$ biçimindeki terimlerin toplamıdır. $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ bir polinomdur; $\frac1x$ ve $\sqrt x$ ise değildir, çünkü üsleri negatif veya kesirlidir.

Derece, katsayısı sıfırdan farklı olan en büyük üstür; baş katsayı ise bu terimin katsayısıdır. $n$ . dereceden bir polinomun en çok $n$ gerçek kökü, grafiğinin de en çok $n - 1$ yerel ekstremum noktası vardır; bu, hesaplamadan önce cevabın biçimini tahmin etmeye yardımcı olur.

Polinom hesap makinesi nasıl kullanılır?

İşlemi seçin: parantez aç, topla, çıkar, çarp, böl, değer hesapla veya kökleri bul.
Birinci polinom P'yi girin, örneğin 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5.
Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme için ikinci polinom Q'yu girin, örneğin x - 2.
Değer hesaplamak için ek alana $x$ değerini girin.
«Hesapla» düğmesine basın ve adımları izleyin; uzun bölme, baş terimlerin her bölmesini ve her çıkarmayı gösterir.

Formüller

Polinomlarda kalanlı bölme

P(x) = Q(x)\,S(x) + R(x),\quad \deg R < \deg Q

Kalan teoremi

P(x) \div (x - c) \;\Rightarrow\; R = P(c)

Doğrusal çarpanı ayırma

P(c) = 0 \iff (x - c) \text{ tam olarak böler: } P(x)

Horner yöntemi

a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = ((a_3x + a_2)x + a_1)x + a_0

Çözümlü örnek: 2x³ − 3x² + 4x − 5 polinomunu x − 2'ye böl

Örnekte $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ polinomu uzun bölmeyle $x - 2$ polinomuna bölünür. Hesap makinesi her adımda kalan polinomun baş terimini $x$ ile böler, böleni bu terimle çarpar ve çıkarır.

Üç tur $2x^2 + x + 6$ bölümünü ve 7 kalanını verir; sonuç $2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x - 2}$ olarak yazılır. Kalan teoreminin öngördüğü gibi, başlangıçtaki polinom $x = 2$ için de 7'ye eşittir.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

2x^{2} + x + 6 + \frac{7}{x - 2}

Probleminizi nasıl okuduk

Polinom bölmesi yaparak bölün: P bölü Q.

Adım adım çözüm

Standart biçimde yazın: P
Parantezleri açıp benzer terimleri toplayın: derece 3, başkatsayı 2, sabit terim -5.
$P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + 4x - 5$
Standart biçimde yazın: Q
derece 1, başkatsayı 1, sabit terim -2
$Q(x) = x - 2$
Baştaki terimleri bölün: (2x^3) ÷ (x) = 2x^2
Q ile 2x^2 çarpımını alıp çıkarın. Yeni kalan: x^2 + 4x - 5.
$2x^{2}\cdot(x - 2)$
Baştaki terimleri bölün: (x^2) ÷ (x) = x
Q ile x çarpımını alıp çıkarın. Yeni kalan: 6x - 5.
$x\cdot(x - 2)$
Baştaki terimleri bölün: (6x) ÷ (x) = 6
Q ile 6 çarpımını alıp çıkarın. Yeni kalan: 7.
$6\cdot(x - 2)$
Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olunca durun
$\text{bölüm } 2x^{2} + x + 6,\quad \text{kalan } 7$

Kullanılan formüller

Bölme algoritması
$P(x) = Q(x)\,q(x) + r(x),\; \deg r < \deg Q$

Q, şunu tam bölmüyor: P. Kalan: 7.

Doğrulama

Kontrol: Q·bölüm + kalan, şuna eşittir: P.

Ayrıntılı açıklama

Çarpma ve parantez açma

İki polinomu çarpmak için birincinin her terimi ikincinin her terimiyle çarpılır, ardından benzer terimler toplanır. $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ ifadesinde altı çarpım, küplerin toplamı olan $x^3 + 1$ ifadesine sadeleşir. Hesap makinesi hiçbir çarpım kaybolmasın diye benzer terimleri toplamadan önce parantezlerin tam açılımını gösterir: uzun parantezlerde bu, sık rastlanan bir hata kaynağıdır.

Toplama ve çıkarmada yalnızca aynı kuvvetlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır. Çıkarmada ikinci polinomun tüm terimlerinin işareti değişir; bu yüzden hesap makinesi benzer terimleri toplamadan önce ters polinomu açıkça yazar.

Uzun bölme ve nerede kullanıldığı

Polinomlarda uzun bölme, sayılardaki uzun bölmeyle tamamen aynı şekilde işler. Kalanın derecesi bölenin derecesinden kesinlikle küçük olduğunda biter. Bir kök bilindiğinde polinomu çarpanlarına ayırmak, rasyonel fonksiyonları sadeleştirmek ve eğik asimptotları bulmak için gerekir: $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ ifadesinin bölümü $x + 1$ olduğundan grafik $y = x + 1$ doğrusuna yaklaşır.

$x - c$ doğrusal çarpanına bölme, yalnızca katsayılarla çalışan Horner yöntemiyle kısaltılabilir. Kalan teoremine göre kalan $P(c)$ değerine eşittir; bu da sonucu kontrol etmenin hızlı bir yoludur.

Kökleri bulma

Kök modunda hesap makinesi önce $p$ sabit terimi, $q$ ise baş katsayıyı bölecek şekilde $\frac pq$ rasyonel adaylarını dener. Bulunan her kök doğrusal bir çarpan olarak ayrılır ve derece düşer. İkinci dereceden bir çarpan kalırsa diskriminantla çözülür; kalan daha yüksek dereceli indirgenemez çarpan ise sayısal olarak çözülür ve sonuç yaklaşık olarak işaretlenir. $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ için 1, 2 ve 3 kökleri tamdır; $x^3 - 2$ için ise tek gerçek kök olan $\sqrt[3]{2} \approx 1.2599$ ondalık sayı olarak verilir.

Yalnızca gerçek kökler verilir. $x^2 + 2x + 5$ gibi bir polinomun diskriminantı negatiftir; bu yüzden hesap makinesi onun gerçek kökü olmadığını bildirir.

Sık yapılan hatalar

Uzun bölmede eksik bir kuvveti atlamak; sütunlar alt alta gelsin diye $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ yazın.
Bölmede çarpımın tamamı yerine yalnızca ilk terimi çıkarmak.
Bir polinomu çıkarırken tüm işaretleri değiştirmeyi unutmak.
Terimleri çarparken üsleri toplamak yerine çarpmak: $x^2 \cdot x^3 = x^5$ .
Kalanı bölen olmadan yazmak; tek başına $+7$ , $+\frac{7}{x - 2}$ ile aynı şey değildir.

İpuçları

Her işlemden önce iki polinomu da azalan kuvvetlere göre sıralayın.
Bölmeyi kontrol edin: bölümü bölenle çarpın ve kalanı ekleyin.
Olası bir kökü kalan teoremiyle hızlıca kontrol edin: $P(c) = 0$ ise $x - c$ bir çarpandır.
Kaç gerçek kök bekleyeceğinizi bilmek için grafik çiziciyle grafiği çizin.
Polinomu çarpım olarak yazmanız gerekiyorsa çarpanlara ayırma hesap makinesini kullanın.

Sıkça sorulan sorular

Polinom hesap makinesi hangi işlemleri yapar?