Rasyonel İfade Hesap Makinesi

Rasyonel ifade hesap makinesi hakkında

Rasyonel ifadeler ya da cebirsel kesirler, payı ve paydası polinom olan kesirlerdir; örneğin $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ . Sıradan kesirler gibi davranırlar: sadeleştirme, ortak paydaya getirme ve bir kesre bölme hakkında bildiğiniz her şey geçerliliğini korur. Fark şudur: artık polinomları çarpanlarına ayırmanız ve paydayı sıfır yapan $x$ değerlerini takip etmeniz gerekir.

Hesap makinesi tek değişkenli rasyonel ifadelerle beş işlem yapar: sadeleştirme, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme. Tüm payları ve paydaları rasyonel sayılar üzerinde çarpanlarına ayırır, gerektiğinde ortak paydayı bulur, ortak çarpanları sadeleştirir ve son cevabın, çözümlerde sıkça unutulan tanım dışı değerlerini belirtir.

Rasyonel ifade nedir?

Rasyonel ifade, $Q$ sıfır polinomu olmamak üzere iki polinomun $\frac{P(x)}{Q(x)}$ oranıdır. $Q(x) = 0$ olduğunda tanımsızdır: tanım kümesi, paydanın kökleri dışındaki tüm gerçek sayılardır.

İki rasyonel ifade, ikisinin de tanımlı olduğu her noktada çakışıyorsa eşittir. Bir ifadeyi sadeleştirmek, onu payı ve paydası ortak çarpanı olmayan, eşit ve sadeleşmez bir ifadeyle değiştirmek demektir. Sadeleştirme sırasında bir çarpan paydadan kaybolabileceği için başlangıçtaki ifadenin tanım dışı değerleri açıkça korunmalıdır.

Rasyonel ifade hesap makinesi nasıl kullanılır?

Sadeleştirme, toplama, çıkarma, çarpma veya bölme seçeneğini seçin.
Birinci ifadeyi A alanına, payı ve paydayı parantez içine alarak girin; örneğin (x^2 - 9)/(x^2 + 5x + 6).
Dört aritmetik işlem için ikinci ifadeyi B alanına girin; örneğin 2/(x + 1).
«Hesapla» düğmesine basın ve çarpanlara ayırma, ortak paydaya getirme ve sadeleştirme adımlarını izleyin.
Cevabı tanım dışı değerleriyle birlikte yazın.

Formüller

Sadeleştirme

\frac{P\,R}{Q\,R} = \frac{P}{Q},\quad R \neq 0

Paydaları eşit olan ifadelerde toplama

\frac{P}{D} + \frac{R}{D} = \frac{P + R}{D}

Çarpma

\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{PR}{QS}

Bölme

\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R},\quad R \neq 0

Çözümlü örnek: (x² − 9)/(x² + 5x + 6) ifadesini sadeleştir

Örnekte $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ ifadesi sadeleşmez biçimine getirilir. Hesap makinesi payda iki kare farkını, paydada ise çarpanlarına ayrılabilen ikinci dereceden bir üç terimliyi tanır; ikisinin ortak çarpanı $x + 3$ olur.

Sadeleştirmeden sonra hesap makinesi iki tanım dışı değer belirtir: $-3$ ve $-2$ . $-3$ değeri artık sadeleşmiş paydayı sıfır yapmaz, ama başlangıçtaki ifadede yasaktı; bu yüzden dışarıda kalmaya devam eder.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

\frac{x - 3}{x + 2}

Probleminizi nasıl okuduk

Rasyonel ifadeyi en sade biçimine getirin.

\frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+5x+6}

Adım adım çözüm

Tek bir kesir olarak yazın
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}$
Payı ve paydayı çarpanlarına ayırın
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)}$
Ortak çarpanı sadeleştirin
x + 3 çarpanı hem payda hem paydada yer alıyor. Onu sadeleştirmek, ilk ifadenin tanımlı olduğu her yerde değeri değiştirmez.
$\frac{x - 3}{x + 2}$
Tanımsız değerleri belirtin
İlk ifade, herhangi bir payda (veya bölen) sıfır olduğunda tanımsızdır: x ≠ -3, x ≠ -2. Bir çarpan sadeleşse bile bu kısıtlamalar geçerli kalır.

Kullanılan formüller

Sadeleştirme
$\frac{a\,c}{b\,c} = \frac{a}{b}\quad (c \neq 0)$

En sade biçimiyle sonuç: (x - 3)/(x + 2). Tanımsız değerler: x ≠ -3, x ≠ -2.

Doğrulama

Sadeleştirilmiş biçim ilk ifadeyle dört deneme noktasında karşılaştırıldı ve uyuşuyor.

Ayrıntılı açıklama

Toplama ve çıkarma

Rasyonel ifadeleri toplamak için onlar ortak paydaya getirilir. En küçük ortak payda, paydaların tüm farklı çarpanlarının, her biri görüldüğü en büyük kuvvetle alınarak çarpımıdır. $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$ için ortak payda $(x - 1)(x + 1)$ olur; her pay, kendi paydasında eksik olan ek çarpanla çarpılır ve $\frac{(x + 1) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$ elde edilir.

Çıkarma da aynı şekilde yapılır, ama ikinci payın tamamı çıkarılır: eksi işaretini dağıtmadan önce onu parantez içine alın. Benzer terimleri topladıktan sonra yeni payı çarpanlarına ayırın ve ortak paydayla sadeleşen bir çarpan olup olmadığına bakın.

Çarpma ve bölme

Çarpma için ortak paydaya gerek yoktur. Önce her şeyi çarpanlarına ayırın, hem payda hem paydada görülen her çarpanı sadeleştirin, ardından kalanları çarpın. Çarpmadan önce sadeleştirmek polinomların büyümesini önler.

Bölmek için ikinci ifadenin tersiyle çarpın. Bu, yeni bir kısıtlama ekler: bölenin payı sıfır olamaz, çünkü ters çevrildikten sonra payda olur. $\frac{x}{x + 2}$ ifadesinin $\frac{x - 1}{x + 2}$ ifadesine bölümü, $x \neq -2$ ve $x \neq 1$ tanım dışı değerleriyle $\frac{x}{x - 1}$ verir.

Tanım dışı değerler neden önemlidir?

Tanım dışı değerler boş bir formalite değildir. $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ ifadesinin grafiği $\frac{x - 3}{x + 2}$ grafiğine benzer, ama $x = -3$ noktasında bir boşluğu ve $x = -2$ noktasında düşey bir asimptotu vardır. Rasyonel denklemler çözülürken tanım dışı bir değerle çakışan çözüm adayı gerçek bir çözüm değildir ve atılmalıdır.

Sık yapılan hatalar

Çarpanlar yerine terimleri sadeleştirmek; örneğin $\frac{x + 2}{x}$ ifadesinde $x$ 'leri silmek.
Payları ve paydaları ayrı ayrı toplamak: $\frac1x + \frac1y$ , $\frac{2}{x + y}$ ifadesine eşit değildir.
Çıkarmada eksi işaretini ikinci payın tamamına uygulamayı unutmak.
Ortak bir çarpanı sadeleştirdikten sonra tanım dışı değerleri kaybetmek.
Bölmede ikinci ifade yerine birinci ifadeyi ters çevirmek.

İpuçları

Her şeyden önce tüm payları ve paydaları tamamen çarpanlarına ayırın.
Ortak paydayı çarpım biçiminde bırakın; parantezleri çok erken açarsanız sadeleştirmek zorlaşır.
Sadeleştirmeden önce bölenin payı dahil tüm paydaların tanım dışı değerlerini yazın.
Cevabı, $x = 5$ gibi bir değeri başlangıçtaki ve sadeleşmiş ifadeye koyarak kontrol edin.
Sonucun tanım kümesinin tamamını görmek için tanım ve görüntü kümesi hesap makinesini kullanın.

Sıkça sorulan sorular

Rasyonel ifade nasıl sadeleştirilir?

Payı ve paydayı tamamen çarpanlarına ayırın, ortak çarpanları sadeleştirin ve başlangıçtaki paydayı sıfır yapan x değerlerini tanım dışı olarak belirtin.

Tanım dışı değer nedir?

Değişkenin paydayı sıfır yapan, dolayısıyla ifadeyi o noktada tanımsız kılan değeridir. Başlangıçtaki ifadenin tanım dışı değerleri sadeleştirmeden sonra da tanım dışı kalır.

Ortak payda nasıl bulunur?

Her paydayı çarpanlarına ayırın ve tüm farklı çarpanları, her biri en az bir paydada görüldüğü en büyük kuvvetle alınarak çarpın.

(x + 2)/x ifadesinde x neden sadeleştirilemez?

Payda x bir terimdir, payın tamamının çarpanı değildir. Yalnızca payın tamamının ve paydanın tamamının çarpanı olan çarpanlar sadeleştirilebilir.

Rasyonel ifadeler nasıl bölünür?

Birinci ifadeyi ikinci ifadenin tersiyle çarpın, ardından çarpanlarına ayırıp sadeleştirin. İkinci ifadenin payı yeni tanım dışı değerler ekler, çünkü payda olur.

Hesap makinesi birden fazla değişkenle çalışır mı?

Hesap makinesi tek değişkenli rasyonel ifadelerle çalışır. Çok değişkenli polinomlar için ifade sadeleştirme hesap makinesini kullanın.

Boşluk noktası asimptottan nasıl farklıdır?

Boşluk noktası, bir çarpanın pay ile payda arasında sadeleştiği yerde oluşur. Düşey asimptot ise bir çarpanın sadeleştirmeden sonra paydada kaldığı yerde oluşur.

Rasyonel ifade hesap makinesini deneyin

Rasyonel ifadeleri her adımda tanım dışı değerleriyle birlikte sadeleştirin, toplayın, çıkarın, çarpın ve bölün.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun