Fonksiyonun Tanım ve Görüntü Kümesi — Aralık Gösterimli Hesap Makinesi

Tanım ve görüntü kümesi hesap makinesi hakkında

Bir fonksiyonun grafiğini çizmeden, tersini almadan veya onunla bir denklem çözmeden önce hangi girdileri kabul ettiğini ve hangi değerleri üretebildiğini bilmeniz gerekir. Bu iki küme tanım kümesi ve görüntü kümesidir. Tanım kümesini bulmak çoğunlukla yasak işlemleri tespit etmekten ibarettir; görüntü kümesini bulmak daha zordur, çünkü grafiğin hangi yüksekliklere gerçekten ulaştığını anlamak gerekir.

Hesap makinesi iki kümeyi de polinomlar, rasyonel fonksiyonlar, kökler, logaritmalar, üstel fonksiyonlar, mutlak değer fonksiyonları ve temel trigonometrik fonksiyonlar için bulur. Her kısıtlamayı yazar, çözer, ardından görüntü kümesini oluşturmak için fonksiyonu tanım kümesinin her parçası üzerinde inceler. Cevaplar aralık gösterimiyle, mümkün olduğunda tam sınırlarla yazılır.

Tanım kümesi ve görüntü kümesi nedir?

Bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun formülünün gerçek bir sayı verdiği tüm $x$ girdilerinin kümesidir. Görüntü kümesi ise $x$ tanım kümesini dolaşırken elde edilen tüm $f(x)$ çıktılarının kümesidir. Grafikte tanım kümesi eğrinin $x$ eksenindeki gölgesi, görüntü kümesi ise $y$ eksenindeki gölgesidir.

Gerçek formüllerde üç işlem kısıtlama getirir: sıfır paydayı yasaklayan bölme; kök içinin negatif olmamasını gerektiren çift dereceli kökler; ve argümanı kesinlikle pozitif olması gereken logaritmalar. Bu işlemleri içermeyen bir fonksiyon, örneğin her polinom, tüm gerçek sayılarda tanımlıdır.

Tanım ve görüntü kümesi hesap makinesi nasıl kullanılır?

$x$ değişkenli bir fonksiyon girin; örneğin (x + 1)/(x - 2), sqrt(x - 3) veya log(x + 2).
«Tanım ve görüntü kümesini bul» düğmesine basın.
Kısıtlamaların listesini ve her birinin nasıl çözüldüğünü okuyun.
Fonksiyonun tanım kümesinin her aralığında incelendiği görüntü kümesi adımlarını izleyin.
Tanım kümesini ve görüntü kümesini aralık gösterimiyle yazın.

Formüller

Payda

\frac{p(x)}{q(x)}:\; q(x) \neq 0

Çift dereceli kök

\sqrt{u(x)}:\; u(x) \geq 0

Logaritma

\ln u(x):\; u(x) > 0

Parabolün tepe noktası

f(x) = ax^2 + bx + c:\; x_v = -\frac{b}{2a}

Çözümlü örnek: (x + 1)/(x − 2)

Örnekte $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ incelenir. Tek kısıtlama paydanın sıfır olamamasıdır; bu yüzden $x = 2$ tanım kümesinden çıkarılır.

Görüntü kümesini bulmak için algoritma, dışarıda bırakılan noktanın her iki yanını ayrı ayrı ele alır. İki parçada da fonksiyon $y = 1$ yatay asimptotuna yaklaşır ama bu değere hiç ulaşmaz; bu yüzden 1, görüntü kümesinde bulunmayan tek değerdir.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

D = (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty),\quad R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)

Probleminizi nasıl okuduk

f(x) = (x + 1) / (x - 2) ifadesinin tanımlı olduğu bütün gerçek x değerlerini (tanım kümesi) ve aldığı bütün değerleri (görüntü kümesi) bulun.

f(x) = \frac{x+1}{x-2}

Adım adım çözüm

Fonksiyonu yazın
$f(x) = \frac{x+1}{x-2}$
Kısıtlamaları listeleyin
payda ((x - 2)) şu değere eşit olamaz: 0.
Çözün: (x - 2) ≠ 0
İfade yalnızca şu noktalarda işaret değiştirebilir: 2. Her aralıkta bir değer denemek şu çözüm kümesini verir: (-∞, 2) ∪ (2, ∞).
$x-2 \ne 0 \iff x \in (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty)$
Şu aralıkta görüntü kümesi: (-∞, 2)
x → -∞, f → 1 iken; x → 2⁻, f → -∞ iken. Bu aralığın içinde dönüm noktası yok, bu yüzden f burada monoton veya sabittir. Fonksiyon bu aralıkta sürekli olduğundan en küçük (-∞, ulaşılmaz) ile en büyük (1, ulaşılmaz) değer arasındaki her değeri alır.
$f\big((-\infty,\ 2)\big) = (-\infty,\ 1)$
Şu aralıkta görüntü kümesi: (2, ∞)
x → 2⁺, f → ∞ iken; x → ∞, f → 1 iken. Bu aralığın içinde dönüm noktası yok, bu yüzden f burada monoton veya sabittir. Fonksiyon bu aralıkta sürekli olduğundan en küçük (1, ulaşılmaz) ile en büyük (∞, ulaşılmaz) değer arasındaki her değeri alır.
$f\big((2,\ \infty)\big) = (1,\ \infty)$
Parçaları birleştirin
$R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)$

Kullanılan formüller

Kısıtlamalar
$\tfrac{p}{q}: q \ne 0,\quad \sqrt{u}: u \ge 0,\quad \ln u: u > 0$

Tanım kümesi, formüldeki her kısıtlama çözülüp çözüm kümelerinin kesişimi alınarak bulunur. Görüntü kümesi süreklilikten çıkar: tanım kümesinin her aralığında fonksiyon, uç değerleri ile aralığın uçlarındaki limitler arasındaki her değeri alır.

Doğrulama

Tanım kümesi yaklaşık 4,000 örnek noktada kontrol edildi: f, tam olarak tanım kümesinin gösterdiği yerlerde gerçek ve sonludur ✓
Şu fonksiyonun örneklenen her değeri hesaplanan görüntü kümesinin içinde: f ✓

Ayrıntılı açıklama

Tanım kümesini bulma

Tüm gerçek sayılarla başlayın ve yasak olan her şeyi çıkarın. Her paydanın sıfırdan farklı, her karekök içindeki ifadenin negatif olmayan, her logaritma argümanının da kesinlikle pozitif olmasını şart koşun, ardından sonuçların kesişimini alın. $\sqrt{4 - x^2}$ için $4 - x^2 \geq 0$ koşulu $[-2, 2]$ kapalı aralığını verir. $\frac{1}{x^2 - 4}$ için iki nokta çıkarılır ve tanım kümesi üç aralığa bölünür.

Önceden sadeleştirmeyin. $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ ifadesi $x + 1$ olarak sadeleşir, ama $x = 1$ başlangıçtaki fonksiyondan dışlanmış olarak kalır; hesap makinesi tanım kümesini bu boşluk noktasıyla birlikte verir.

Görüntü kümesini bulma

Görüntü kümesi grafiğin biçimine bağlıdır. Bir parabol uç değerine tepe noktasında ulaşır: $x^2 - 4x + 1$ için tepe noktası $x = 2$ 'de ve değeri $-3$ olduğundan görüntü kümesi $[-3, \infty)$ olur. Karekök sıfırdan başlar ve artar; bu yüzden $\sqrt{x - 3}$ için görüntü kümesi $[0, \infty)$ olur. Logaritma her gerçek değeri, $e^x$ ise her kesinlikle pozitif değeri alır.

Rasyonel fonksiyonlar için hesap makinesi parça parça çalışır: fonksiyonun nerede arttığını veya azaldığını ve her aralığın uçlarında hangi değere yaklaştığını belirler. Böylece $\frac{1}{x^2}$ için görüntü kümesinin $(0, \infty)$ olduğunu, $\frac{x}{x^2 + 1}$ ifadesinin ise $-\frac12$ ile $\frac12$ arasında kaldığını tespit eder. $\tan x$ örneğindeki gibi görüntü kümesi güvenilir biçimde bulunamıyorsa hesap makinesi tahmin yürütmek yerine onun hesaplanmadığını bildirir.

Aralık gösterimi nasıl okunur?

Hesap makinesi köşeli ve normal parantezler kullanır: köşeli parantez sınırı dahil eder, normal parantez dışlar; sonsuzun yanında her zaman normal parantez bulunur. $\cup$ işareti ayrı parçaları birleştirir; bu yüzden $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ , 2 dışındaki tüm gerçek sayılar anlamına gelir. Bazı ders kitaplarında açık aralıklar ters çevrilmiş köşeli parantezlerle de yazılır, ama gösterimin anlamı aynıdır. Bu biçimde sonuçları grafikle karşılaştırmak kolaydır.

Sık yapılan hatalar

Rasyonel bir fonksiyonu tanım kümesini bulmadan önce sadeleştirip boşluk noktasını kaybetmek.
Karekök için $> 0$ (sıfır kabul edilir) ya da logaritma için $\geq 0$ (sıfır kabul edilmez) kullanmak.
Tanım kümesi tüm gerçek sayılar diye görüntü kümesinin de tüm gerçek sayılar olduğunu varsaymak.
Yatay bir asimptotun görüntü kümesinden bir değeri dışlayabileceğini unutmak.
Sonsuzun yanına köşeli parantez koymak.

İpuçları

Herhangi bir şeyi çözmeden önce tüm paydaları, kök içlerini ve logaritma argümanlarını yazın.
Görüntü kümesini görsel olarak doğrulamak için grafiği grafik çizicide çizin.
İkinci dereceden bir fonksiyon için tepe noktasını bulun: görüntü kümesi onun $y$ -koordinatında başlar veya biter.
$f$ 'nin görüntü kümesinin ters fonksiyonun tanım kümesi olduğunu unutmayın.
Bir sınırı fonksiyonda yerine koyarak kontrol edin.

Sıkça sorulan sorular

Bir fonksiyonun tanım kümesi nasıl bulunur?

Tüm gerçek sayılarla başlayın ve paydanın sıfır olduğu, çift dereceli kökün içinin negatif olduğu ya da logaritma argümanının sıfırdan büyük olmadığı değerleri çıkarın. Geriye kalan, tanım kümesidir.

Bir fonksiyonun görüntü kümesi nasıl bulunur?

Tepe noktasını, asimptotları, artan ve azalan olduğu aralıkları ve tanım kümesinin her parçasının uçlarındaki davranışı kullanarak hangi değerlere gerçekten ulaşıldığını belirleyin.

Bir polinomun tanım kümesi nedir?

Tüm gerçek sayılar, yani (−∞, ∞); çünkü bir polinomda x'e bölme, kök veya logaritma yoktur.

1 neden (x + 1)/(x − 2) fonksiyonunun görüntü kümesinde değildir?

Grafiğin y = 1 yatay asimptotu vardır. (x + 1)/(x − 2) = 1 denklemi 1 = −2 sonucuna götürür ki bu imkânsızdır: fonksiyon hiçbir zaman 1 değerini almaz.

Aralık gösteriminde köşeli ve normal parantezler ne anlama gelir?

Köşeli parantez sınırın dahil olduğunu, normal parantez ise dışlandığını gösterir. Sonsuz hiçbir zaman dahil olmaz; bu yüzden yanında her zaman normal parantez bulunur.

Hesap makinesi trigonometrik fonksiyonlarla çalışır mı?

Evet, yaygın durumlarda. sin x için görüntü kümesinin [−1, 1] olduğunu, tan x'in ise π/2 artı π'nin katları noktalarını dışladığını belirler ve görüntü kümesi hesaplanmadıysa bunu bildirir.

Hesap makinesinde log ne anlama gelir?

log(x) doğal logaritmayı gösterir; bu yüzden log(x + 2), x > −2 için tanımlıdır ve her gerçek değeri alır.

Tanım ve görüntü kümesi hesap makinesini deneyin

Bir fonksiyon girin ve tanım kümesini ve görüntü kümesini adım adım aralık gösterimiyle alın.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun

Tanım ve Görüntü Kümesi Hesap Makinesi