Ters Fonksiyon Hesap Makinesi

Ters fonksiyon hesap makinesi hakkında

Ters fonksiyon, bir fonksiyonun yaptığını geri alır. $f$ santigrat dereceyi fahrenhayta çeviriyorsa tersi fahrenhaytı yeniden santigrata çevirir; $f$ bir sayıyı iki katına çıkarıp üç ekliyorsa tersi üç çıkarır ve ikiye böler. Elle yapılırken girdi ile çıktının rolleri değiştirilir ve denklem çözülür: doğrusal fonksiyonlar için bu rutin bir iştir, ama kesirler, kökler ve üstel fonksiyonlarla iş hızla karışır.

Hesap makinesi $f^{-1}(x)$ fonksiyonunu doğrusal, rasyonel, kuvvet, köklü, üstel ve logaritmik fonksiyonlar ile temel trigonometrik fonksiyonlar için bulur. Yer değiştirme ve değişkeni yalnız bırakma adımlarını gösterir, ters fonksiyonun tanım kümesini belirtir; $f$ birebir değilse standart dalı seçer ve bunu bildirir. Her sonuç sayısal olarak kontrol edilir: kontrol noktalarında $f$ ile $f^{-1}$ bileşkesi alınır.

Ters fonksiyon nedir?

$f$ 'nin ters fonksiyonu, $f$ 'nin tanım kümesindeki her $x$ için $f^{-1}(f(x)) = x$ ve $f$ 'nin görüntü kümesindeki her $y$ için $f(f^{-1}(y)) = y$ olan $f^{-1}$ fonksiyonudur. $f^{-1}$ gösterimi ters fonksiyonu belirtir, $\frac{1}{f}$ çarpmaya göre tersini değil.

Yalnızca birebir fonksiyonlar tersinirdir, çünkü her çıktı tam olarak bir girdiden gelmelidir. Grafikte bu, yatay doğru testiyle kontrol edilir: hiçbir yatay doğru eğriyi iki kez kesmemelidir. $f^{-1}$ 'in grafiği, $f$ 'nin grafiğinin $y = x$ doğrusuna göre yansımasıdır; tanım kümesi ile görüntü kümesi de rollerini değiştirir.

Ters fonksiyon hesap makinesi nasıl kullanılır?

$x$ değişkenli bir fonksiyon girin; örneğin (2x + 3)/(x - 1), x^3 + 1 veya e^x.
«Tersini bul» düğmesine basın.
Adımları okuyun: f(x) yerine y yazılır, x ile y'nin yeri değiştirilir, ardından y yalnız bırakılır.
f⁻¹'in tanım kümesine ve hesap makinesi yaptıysa bir dala kısıtlamaya dikkat edin.
Kontrol satırları yardımıyla f ile f⁻¹'in birbirini götürdüğünden emin olun.

Formüller

Tanımlayıcı özellik

f^{-1}(f(x)) = x,\quad f(f^{-1}(x)) = x

Yer değiştir ve yalnız bırak

y = f(x) \;\to\; x = f(y) \;\to\; y = f^{-1}(x)

Tanım ve görüntü kümesinin yer değiştirmesi

\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Ran}(f)

Doğrusal kesirli fonksiyonun tersi

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{a - cx}

Çözümlü örnek: (2x + 3)/(x − 1)

Örnekte $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ fonksiyonunun tersi alınır. Yer değiştirmeden sonra $x = \frac{2y + 3}{y - 1}$ denkleminde paydadan kurtulunur, $y$ içeren tüm terimler bir tarafa toplanır ve $y$ ortak paranteze alınır.

Sonuç $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ olur. Tanım kümesi 2'yi içermez, çünkü $f$ hiçbir zaman 2 değerini almaz: $x$ büyüdükçe $f(x)$ değeri $y = 2$ yatay asimptotuna yaklaşır ama ona ulaşmaz.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}

Probleminizi nasıl okuduk

f⁻¹ fonksiyonunu, yani şu fonksiyonun etkisini geri alan fonksiyonu bulun: f(x) = (2 x + 3) / (x - 1).

f(x) = \frac{2x+3}{x-1}

Adım adım çözüm

Yerine yazın: f(x) yerine y
$y = \frac{2x+3}{x-1}$
İki tarafı paydayla çarpın
$y(1x+-1) = 2x+3$
x'li terimleri bir tarafa toplayın ve ortak çarpanı dışarı alın: x
$x(1y-2) = 3--1y$
Yalnız bırakmak için bölün: x
$x = \frac{y+3}{y-2}$
Yalnız bırakıldı: x
$x = \frac{y+3}{y-2}$
Ters fonksiyonu adlandırmak için yer değiştirin: x ve y
$f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$
f⁻¹ fonksiyonunun tanım kümesi, şu fonksiyonun görüntü kümesidir: f
$\text{Tanım kümesi } f^{-1}:\ (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

Kullanılan formüller

Ters fonksiyon
$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$

Bir fonksiyonun tersini bulmak için y = f(x) yazın, işlemlerini ters sırayla geri alarak x değişkenini yalnız bırakın, ardından harflerin yerini değiştirin.

Doğrulama

Kontrol edildi: f(f⁻¹(y)) = y, 12 örnek noktada.
Kontrol edildi: f⁻¹(f(x)) = x, 12 örnek noktada.

Ayrıntılı açıklama

«Yer değiştir ve yalnız bırak» yöntemi neden işe yarar?

$y = f(x)$ denklemi grafiğin tüm $(x, y)$ noktalarını belirler. Harflerin yerini değiştirdiğinizde yansıtılmış noktaların kümesini, yani tam olarak ters fonksiyonun grafiğini tanımlarsınız. Yeni denklemde $y$ 'yi yalnız bıraktığınızda bu nokta kümesini yeniden bir fonksiyon formülüne dönüştürürsünüz. Yöntem yalnızca yalnız bırakma birden fazla çözüm verdiğinde işe yaramaz; bu da $f$ 'nin birebir olmadığı anlamına gelir.

Her fonksiyon türünün bir ters işlemi vardır: çıkarma toplamayı, bölme çarpmayı, küpkök küp almayı, $\ln$ ise $e^x$ 'i geri alır; $\log_2$ de $2^x$ 'i geri alır. $x^3 + 1$ fonksiyonunun tersini almak için bu işlemleri ters sırayla geri alın: önce 1 çıkarın, sonra küpkök alın; $\sqrt[3]{x - 1}$ elde edilir.

Tanım kümesini kısıtlama

$x^2$ gibi bir fonksiyon yatay doğru testini geçemez: hem $2$ hem de $-2$ , 4 değerini verir. Onu tersinir yapmak için tanım kümesinin yalnızca bir kısmı ele alınır. Hesap makinesi, $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ veren alışılmış $x \geq 0$ dalını kullanır ve kısıtlamayı cevapta belirtir. $x^2 + 1$ için aynı dal, tanım kümesi $[1, \infty)$ olan $\sqrt{x - 1}$ fonksiyonunu verir.

Trigonometrik fonksiyonlar da standart biçimde kısıtlanır. $\sin x$ için hesap makinesi $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ aralığını kullanır; bu, $[-1, 1]$ üzerinde $\arcsin x$ fonksiyonunu verir.

Sonuç nasıl kontrol edilir?

Bir ters fonksiyon adayı bulduktan sonra algoritma, $f$ 'nin görüntü kümesinden alınan kontrol $y$ değerleri için $f(f^{-1}(y))$ değerini hesaplar ve yeniden $y$ elde edilmesini şart koşar; aksi halde ters fonksiyon verilmez. Ayrıca $f^{-1}(f(x))$ değerini hesaplar: $x$ yalnızca bazı girdiler için geri dönüyorsa $f$ birebir değildir ve cevapta kullanılan dal belirtilir. Böylece yalnızca cebirsel işlemlerde kolayca gözden kaçabilecek işaret hataları ve yanlış dallar yakalanır.

Sık yapılan hatalar

$f^{-1}(x)$ ifadesini $\frac{1}{f(x)}$ olarak anlamak; buradaki üs çarpmaya göre tersi değil, ters fonksiyonu gösterir.
$x$ ile $y$ 'nin yerini değiştirmeyi unutup $y = f(x)$ denkleminden yalnızca $x$ 'i çekmek; bu durumda cevap $y$ 'ye bağlı olur.
$x^2$ 'nin ters fonksiyonunun $\pm\sqrt x$ olduğunu söylemek; bir fonksiyon yalnızca bir değer verir, bu yüzden bir dal seçmek gerekir.
Başlangıçtaki fonksiyonun görüntü kümesiyle aynı olan ters fonksiyonun tanım kümesini belirtmemek.
İşlemleri ters sırayla değil, başlangıçtaki sırayla geri almak.

İpuçları

Bir değeri kontrol edin: $f(2) = 7$ ise $f^{-1}(7)$ değeri 2 olmalıdır.
Tersini almadan önce $f$ 'nin grafiğini grafik çizicide çizin ve yatay doğru testiyle kontrol edin.
Doğrusal ifadelerin oranı için paydadan kurtulun, $y$ içeren terimleri toplayın ve $y$ 'yi ortak paranteze alın.
$f$ 'nin görüntü kümesini tanım ve görüntü kümesi hesap makinesiyle bulun; ters fonksiyonun tanım kümesi tam olarak budur.
Fonksiyon bileşkesi hesap makinesiyle $f(f^{-1}(x))$ ifadesinin $x$ 'e sadeleştiğini kontrol edin.

Sıkça sorulan sorular

Bir fonksiyonun tersi nasıl bulunur?

f(x) yerine y yazın, x ile y'nin yerini değiştirin, yeni denklemde y'yi yalnız bırakın ve sonucu f⁻¹(x) olarak yazın. Ardından tanım kümesini belirtin: bu, başlangıçtaki fonksiyonun görüntü kümesiyle aynıdır.

Her fonksiyonun tersi var mıdır?

Hayır, yalnızca birebir fonksiyonların. x² veya sin x gibi yatay doğru testini geçemeyen fonksiyonların tersinir olması için kısıtlanması gerekir.

Hesap makinesi x² için hangi dalı seçer?

x ≥ 0 dalını kullanır; bu yüzden ters fonksiyon kareköktür. Hangi dalın kullanıldığını bilmeniz için kısıtlama cevapta belirtilir.

f⁻¹(x), 1/f(x) ile aynı mıdır?

Hayır. −1 üssü ters fonksiyonu gösterir. Çarpmaya göre ters olan 1/f(x) başka bir fonksiyondur ve genellikle kesir olarak ya da (f(x))⁻¹ biçiminde yazılır.

e^x'in ters fonksiyonu nedir?

x > 0 için tanımlı olan doğal logaritma ln x. Benzer şekilde 2^x'in ters fonksiyonu, x'in 2 tabanında logaritmasıdır.

f ile f⁻¹'in grafikleri nasıl ilişkilidir?

y = x doğrusuna göre simetriktirler: birinin grafiğindeki (a, b) noktasına diğerinin grafiğindeki (b, a) noktası karşılık gelir.

Hesap makinesi ters fonksiyonu nasıl kontrol eder?

Birkaç kontrol noktasında f(f⁻¹(y)) değerini hesaplar ve ters fonksiyonu yalnızca tüm değerler değişmeden geri dönerse verir. Bir dala kısıtlamanın gerektiği durumları tanımak için bileşkeyi diğer sırayla da hesaplar.

Ters fonksiyon hesap makinesini deneyin

Bir fonksiyon girin; tersini, f⁻¹'in tanım kümesini ve kontrolü adım adım alın.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun