Logaritmalar: Tanım, Özellikler ve Denklem Çözme

Logaritma nedir?

Kuvvetler ve logaritmalar aynı ilişkiyi anlatmanın iki yoludur. $2^3 = 8$ eşitliği, 2'yi 3. kuvvete yükseltince 8 elde edildiğini söyler. Logaritma soruyu tersine çevirir: 8 elde etmek için 2 hangi kuvvete yükseltilmelidir? Cevap 3'tür ve $\log_2 8 = 3$ yazılır.

$b$ sayısı taban, $x$ logaritmanın argümanı, $y$ ise aranan üs, yani logaritmanın kendisidir. Koşullar önemlidir. Taban pozitif olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır, çünkü 1'in bütün kuvvetleri 1'e eşittir, negatif bir sayının kuvvetleri ise her gerçek üs için tanımlı değildir. Argüman pozitif olmalıdır, çünkü pozitif bir tabanın her gerçek kuvveti her zaman pozitif bir sonuç verir.

• $10^3 = 1000$ olduğundan $\log_{10} 1000 = 3$.
• $5^{-2} = \frac{1}{25}$ olduğundan $\log_5 \frac{1}{25} = -2$.
• $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$ olduğundan $\log_9 3 = \frac{1}{2}$.
• $b^0 = 1$ olduğundan her geçerli taban için $\log_7 1 = 0$; $b^1 = b$ olduğundan da $\log_b b = 1$.

İki taban için özel gösterimler vardır. $\log x$ ondalık logaritmasının tabanı 10'dur ve onun kuvvetleriyle ifade edilen büyüklükler için kullanışlıdır. $\ln x$ doğal logaritmasının tabanı $e \approx 2.71828$'dir; bu taban büyüme, bozunma ve analizde kendiliğinden ortaya çıkar. Bazı kitaplarda ve programlama dillerinde $\log$ doğal logaritmayı gösterir; bu yüzden dersinizde hangi geleneğin kullanıldığını netleştirin.

Logaritmanın üç özelliği

Logaritmalar üs olduğundan kuvvetlerin özellikleri doğrudan logaritma özelliklerine dönüşür. Pozitif $M$ ve $N$ ile her geçerli taban için:

Çarpımın logaritması özelliği $b^m b^n = b^{m+n}$'den gelir: sayıları çarpmak, üslerini, yani logaritmalarını toplamak demektir. Bölümün logaritması özelliği kuvvetlerin bölünmesinden, kuvvetin logaritması özelliği ise $(b^m)^k = b^{mk}$'den gelir. Hesap makineleri ortaya çıkmadan önce logaritma tablolarının kullanılmasının nedeni de budur: zor bir çarpmayı toplamaya dönüştürürlerdi.

• $\log_2(32 \cdot 4) = \log_2 32 + \log_2 4 = 5 + 2 = 7$ ve gerçekten $128 = 2^7$.
• $\log 50 + \log 2 = \log 100 = 2$.
• $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$.
• $\ln(e^5) = 5\ln e = 5$.

İfadeleri açmak ve toplamak

Açmak, özellikler yardımıyla bir logaritmayı daha basit parçalara ayırmak; toplamak ise birkaç logaritmayı tek bir logaritmada birleştirmek demektir. İki görev de sınavlarda sık çıkar ve ikisi de denklem çözerken işe yarar.

Toplamadan önce katsayılar üs hâline gelmelidir. $2\ln x + \ln y$, $\ln(2xy)$'ye değil, $\ln(x^2 y)$'ye eşittir.

Taban değiştirme

Hesap makinelerinde genellikle yalnızca $\log$ ve $\ln$ tuşları bulunur. Başka her tabanı, her yeni $c$ tabanı için geçerli olan taban değiştirme formülü halleder:

Örneğin $\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx \frac{2.302585}{0.693147} \approx 3.3219$. Bir tahmin yardımcı olur: $2^3 = 8$ ve $2^4 = 16$ olduğundan sonuç 3 ile 4 arasında olmalıdır. Formül ayrıca $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$ olduğunu gösterir; yani $\log_2 8 = 3$ olduğundan $\log_8 2 = \frac{1}{3}$'tür.

Üstel denklemleri çözmek

Bilinmeyen üsteyse kuvveti yalnız bırakın ve iki tarafın logaritmasını alın; böylece kuvvetin logaritması özelliği üssü «aşağı indirir».

Örnek 2'de sık yapılan bir hata, 5'e bölmeden önce logaritma almaktır. Bu yanlış değildir, ama $\ln 5 + (x - 1)\ln 2 = \ln 40$'a götürür ve daha çok iş gerektirir. Önce kuvvet yalnız bırakılırsa çözüm kısa kalır.

Logaritmik denklemleri çözmek

Bilinmeyen logaritmanın içindeyse logaritmaları tek bir logaritmada toplayın ve denklemi üstel biçimde yeniden yazın. Sıfırın ve negatif sayıların logaritması olmadığından her olası çözüm asıl denklemde kontrol edilmelidir.

Örnek 3'ün çözümü ikinci dereceden bir denkleme indirgendi. Nasıl çözüldüğünü tekrar etmek için ikinci dereceden denklem çözme rehberini okuyun.

Logaritma fonksiyonunun grafiği

$y = \log_b x$ fonksiyonu $y = b^x$'in tersidir; bu yüzden grafiği, üstel fonksiyonun grafiğinin $y = x$ doğrusuna göre ayna görüntüsüdür. $b > 1$ için $(1, 0)$ ve $(b, 1)$ noktalarından geçer, yavaş ama sınırsızca artar ve düşey asimptot görevi gören y eksenine yaklaşır. Tanım kümesi $(0, \infty)$, görüntü kümesi ise tüm gerçek sayılardır; bu, üstel fonksiyonun tam tersidir.

Kaydırmalar tanım kümesini değiştirir. $y = \ln(x - 3)$ için argüman pozitif olmalıdır: tanım kümesi $(3, \infty)$'dur ve asimptot $x = 3$'e kayar. Bu kümelerin nasıl bulunduğunu tanım ve görüntü kümesi rehberi açıklar; üstel fonksiyonlarla ilişkiyi ise ters fonksiyonlar yazısı daha ayrıntılı ele alır. Birkaç tabanı aynı anda grafik çizicide çizebilirsiniz.

Logaritmalar nerelerde kullanılır?

• Bileşik faiz: yılda %5 büyüyen bir tutar $1.05^t = 2$ olduğunda, yani $t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx 14.21$ yıl sonra ikiye katlanır.
• Kimya: pH değeri $-\log[\mathrm{H}^+]$'ya eşittir; litrede $10^{-3}$ mol hidrojen iyonu derişimi pH 3 verir ve pH'nin her birimi on katlık bir çarpana karşılık gelir.
• Akustik: desibel cinsinden ses düzeyi $10\log_{10}\frac{I}{I_0}$'a eşittir; 100 kat daha yoğun bir ses 20 desibel daha yüksek algılanır.
• Bilgisayar bilimi: $n$ eleman arasında ikili arama yaklaşık $\log_2 n$ adım gerektirir; bu yüzden bir milyon elemana yalnızca 20 kadar adım yeter.

Dört durumun ortak noktası şudur: logaritmalar pek çok büyüklük mertebesine yayılan nicelikleri kullanışlı bir ölçeğe sıkıştırır ve çarpımsal değişimleri toplamsal değişimlere dönüştürür.

Sık yapılan hatalar

• $\log(a + b) = \log a + \log b$ yazmak. Özellik çarpımlar içindir; toplamın logaritması için bir kural yoktur.
• $\frac{\log a}{\log b} = \log\frac{a}{b}$ yazmak. Sol taraf taban değiştirmedir, yani $\log_b a$'dır.
• $(\log x)^2$'yi $\log x^2 = 2\log x$ ile karıştırmak.
• Logaritmik denklemlerin çözümlerini kontrol etmemek ve argümanı negatif yapan bir cevabı gözden kaçırmak.
• Hesap makinesinde $\log$ ve $\ln$ tuşlarını karıştırmak.

Logaritma hesap makinesi her tabanda hesap yapar ve taban değiştirme adımını gösterir; böylece yukarıdaki örnekleri hızla kontrol edebilirsiniz.

Logaritma çalışma planı

Logaritmalar çoğunlukla gösterim basit bir soruyu gizlediği için soyut görünür. Kendinizi güvende hissetmek için iki yönde çeviriyi otomatik hâle gelene kadar çalışın. Zaten bildiğiniz on kuvvet alın, örneğin $2^5 = 32$ ya da $10^{-2} = 0.01$, ve her birini logaritma olarak yazın. Ardından on logaritma alın ve her birini kuvvet olarak yazın. Kısa bir alıştırmadan sonra $\log_3 81$ ya da $\log_{10} 0.001$ bir bilmece değil, zihinden işlem olur.

Ardından özellikleri değişkenlere uygulamadan önce sayılar üzerinde çalışın. İki tarafı da hesaplayarak $\log_2 8 + \log_2 4$'ün $\log_2 32$'ye eşit olduğunu görürseniz çarpım özelliği ikna edici hâle gelir ve önceki bölümdeki yanlış kuralları tanımayı öğrenirsiniz. Ancak bundan sonra cebirsel ifadeleri açmaya ve toplamaya geçin.

Son olarak iki türden de denklem çözün: bilinmeyenin üste olduğu denklemler ve logaritmanın içinde olduğu denklemler. Birinci tür logaritma alınarak, ikincisi ise üstel biçime geçilerek çözülür. Problemin türünü tanımak işin yarısıdır; sonda koşulları kontrol etmek ise doğru cevapları neredeyse doğru olanlardan ayıran ikinci alışkanlıktır.

Sıkça sorulan sorular