Eşitsizlikleri Çözmek ve Cevabı Aralık Gösterimiyle Yazmak

Eşitsizlik işaretleri ve cevabın biçimi

Bir eşitsizlik iki ifadeyi dört işaretten biriyle karşılaştırır: $<$ (küçüktür), $>$ (büyüktür), $\le$ (küçük veya eşittir) ve $\ge$ (büyük veya eşittir). Çözümü genellikle sonsuz bir sayı kümesidir: bir eşitsizlikle yazılır, sayı doğrusunda gösterilir ya da aralık olarak yazılır.

• $x < 5$, $(-\infty, 5)$ aralığına karşılık gelir; normal parantez 5'in dahil olmadığını gösterir, sayı doğrusunda da nokta içi boş bir daireyle işaretlenir.
• $x \le 3$, $(-\infty, 3]$'e karşılık gelir; köşeli parantez 3'ün dahil olduğunu gösterir ve nokta içi dolu bir daireyle işaretlenir.
• $-2 \le x < 4$, $[-2, 4)$'e karşılık gelir.
• Sonsuz her zaman normal parantezle yazılır, çünkü dahil edilebilecek bir sayı değildir. Bazı ders kitaplarında aralığın uçları virgül yerine noktalı virgülle ayrılır; iki yazım da aynı kümeyi gösterir.

Denklemlerden farklı olan tek kural

Her iki tarafa herhangi bir sayı ekleyebilir ya da çıkarabilir, iki tarafı pozitif bir sayıyla çarpabilir ya da bölebilirsiniz; tıpkı bir denklemdeki gibi. Ama iki tarafı negatif bir sayıyla çarpar ya da bölerseniz eşitsizlik işaretinin yönü değişir.

Nedenini görmek için doğru olan $-2 < 3$ eşitsizliğini alın ve iki tarafı $-1$ ile çarpın. $2$ ve $-3$ elde edilir ve $2 > -3$'tür. Negatif bir sayıyla çarpmak sayı doğrusunu yansıtır; bu yüzden hangi tarafın büyük olduğu değişir. Eşitsizliğin taraflarını yer değiştirdiğinizde de aynısı olur: $5 > x$, $x < 5$ ile aynı anlama gelir.

Doğrusal eşitsizlikler

Sınır noktasının iki yanından birer değer denemek on saniye sürer ve unutulmuş bir yön değişikliğini kesinlikle yakalar.

İki taraflı eşitsizlikler: "ve" ile "veya"

$-3 \le 2x + 1 < 9$ gibi iki taraflı bir eşitsizlik, iki koşulun da sağlandığı anlamına gelir. Aynı işlem üç kısma birden uygulanarak çözülür.

Çözüm, iki koşulun ortak kısmı olan $[-2, 4)$'tür. $x < -1$ veya $x \ge 3$ gibi "veya" içeren bir koşul iki parçanın birleşimidir ve $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$ olarak yazılır.

Mutlak değerli eşitsizlikler

$|A|$ mutlak değeri, $A$'nın sıfıra olan uzaklığıdır. Uzaklığın $k$'den küçük olması sıfıra yakın olmak demektir ve tek bir aralık verir; $k$'den büyük olması uzak olmak demektir ve iki parça verir. $k > 0$ için:

$k$ negatifse $|A| < k$'nin çözümü yoktur, $|A| > k$ ise bütün gerçek sayılar için doğrudur, çünkü mutlak değer asla negatif olmaz.

İkinci dereceden eşitsizlikler ve işaret tablosu

Bir eşitsizlikte karekök almaya çalışmayın. Bunun yerine her şeyi bir tarafa toplayın, ifadenin nerede sıfır olduğunu bulun ve bu noktaların arasında işaretini inceleyin.

Grafikte $y = x^2 - x - 6$, kollarının yukarı baktığı bir paraboldür ve köklerinin dışında x ekseninin üstünde kalır; bu da işaret tablosuyla uyuşur. Kökleri çarpanlara ayırarak bulmak zorsa ikinci dereceden denklem hesap makinesi onları bulur.

Rasyonel eşitsizlikler

Bilinmeyen paydadaysa iki tarafı asla bu paydayla çarpmayın: pozitif mi negatif mi olduğunu bilmiyorsunuz. Bunun yerine payın ve paydanın sıfırlarını içeren bir işaret tablosu kullanın.

İki bilinmeyenli eşitsizlikler

$y > 2x + 1$ gibi bir eşitsizlik düzlemde bir bölge belirtir. $y = 2x + 1$ sınır doğrusunu kesin eşitsizlik için kesikli, $\le$ ya da $\ge$ için düz çizgiyle çizin, ardından eşitsizliği sağlayan yarı düzlemi tarayın. En hızlı deneme orijindir: $0 > 1$ yanlış olduğu için $(0, 0)$'ı içermeyen tarafı tarayın. Grafik çizici bu tür eşitsizlikleri doğrudan çizer.

Sık yapılan hatalar

• Negatif bir sayıyla çarptıktan ya da böldükten sonra işaretin yönünü değiştirmeyi unutmak.
• İşareti bilinmeyen, bilinmeyen içeren bir ifadeyle çarpmak.
• $|x - 4| < 3$'ü yalnızca $x - 4 < 3$ olarak yazıp alt sınırı kaybetmek.
• Sonsuzun yanına köşeli parantez koymak ya da sınır noktasında yanlış parantezi kullanmak.
• Paydayı sıfır yapan değeri çözüme dahil etmek.

Eşitsizlik hesap makinesi her adımı ve aralık gösterimini verir. Burada sürekli gereken denklem çözme adımları doğrusal denklemler nasıl çözülür yazısında anlatılıyor.

Eşitsizlikli bir uygulama problemi

Bir durumda bir sınır, bir alt limit ya da bir bütçe olduğunda eşitsizlikler ortaya çıkar. "En az", "en fazla", "en çok" ve "-den fazla" gibi ifadeler doğru işareti ele verir: "en az" $\ge$, "en fazla" ve "en çok" $\le$, "-den fazla" ya da "-den büyük" ise $>$ anlamına gelir.

Problemin koşulu, cebirin tek başına vermediği bir kısıt ekledi. Gerçek problemler çoğu zaman $t \ge 0$ ya da tam sayı olma koşulu ister; bu yüzden son aralığı yazmadan önce hangi değerlerin anlamlı olduğunu her zaman kendinize sorun.

Aralıkla yazılmış bir cevabı kontrol etmek

Bir eşitsizliğin çözümünde hataların sızabileceği üç bileşen vardır: sınır değerleri, her sınır noktasının dahil olup olmadığı ve çözümün sınır noktasının hangi tarafında bulunduğu. Bunları bu sırayla kontrol edin. Her sınır noktasını asıl eşitsizlikte yerine koyarak eşitlik olup olmadığına bakın; bu, noktanın çözüme dahil olup olmadığını gösterir. Ardından çözümünüzün her aralığından bir değer ve dışından bir değer deneyin.

Kesirli örnekte $x = 1$, $\frac{0}{3} = 0$ verir ve $0 \le 0$ doğrudur; yani 1 çözüme dahildir. $x = -2$'de ifade tanımsızdır; bu yüzden eşitsizlik eşitliğe izin verse bile $-2$ dışarıda kalır. Bu iki kontrol $(-2, 1]$'deki parantezleri doğrular.

Sıkça sorulan sorular