Trigonometri

Belirsiz Durum Dâhil Sinüs Teoremi

Q: Sinüs teoremi dik üçgenlerde işe yarar mı?

Evet. C = 90^circ için sin C = 1 olur; dolayısıyla a/(sin A) = c elde edilir ve bu, olağan sin A = a/c tanımına dönüşür. Dik üçgende temel tanımlar genellikle daha hızlıdır, ama sinüs teoremi aynı sonuçları verir.

Q: KKA durumu neden bazen iki üçgen verir?

0 < k < 1 için sin B = k denklemi bir dar açı ve aynı sinüse sahip bütünler geniş açıyı verir. Bilinen açı ile geniş aday açının toplamı 180^circ'den küçük kalıyorsa iki üçgen de vardır.

Q: Sinüs teoremindeki 2R ne anlama gelir?

Her a/(sin A) oranı, üç köşeden geçen çemberin çapına eşittir. Örneğin a = 10 ve A = 30^circ olan bir üçgen 10/0.5 = 20 verir; bu yüzden çevrel çemberinin yarıçapı 10'dur.

Q: Sinüs teoremiyle bir açı bulunabilir mi?

Evet, sin B = (bsin A)/a eşitliğini çözüp ardından arksinüs uygulayarak. Arksinüsün yalnızca dar açılar verdiğini unutmayın; bu yüzden bütünler geniş açının da uygun olup olmadığını kontrol edin.

Q: Problemimin hangi durum olduğunu nasıl anlarım?

Bilinen üç öğeyi üçgenin çevresi boyunca sıralandıkları düzende yazın. İki açı ve herhangi bir kenar AAK ya da AKA'dır ve sinüs teoremi problemi doğrudan çözer. İki kenar ve aralarındaki açı KAK, üç kenar ise KKK'dir; iki durum da önce kosinüs teoremini gerektirir. İki kenar ve aralarında olmayan açı KKA'dır; bu, sıfır, bir ya da iki üçgen olup olmadığını kontrol etmeniz gereken belirsiz durumdur.

Yazar MathSolver Pro Editorial Team · Yayımlanma 25 Ekim 2026

Sinüs teoremi, her üçgende her kenarın karşısındaki açının sinüsüne bölümünün aynı sayıyı verdiğini söyler. Onunla, iki açı ve bir kenar bilindiğinde ve biraz dikkatle iki kenar ile bunlardan birinin karşısındaki açı bilindiğinde üçgen çözülür.

Formül ve gösterimler

Üçgenin açılarını $A$ , $B$ ve $C$ , bunların karşısındaki kenarları ise $a$ , $b$ ve $c$ ile gösterin. Bir açının karşısındaki kenar, o açıya değmeyen kenardır. Bu gösterimlerle sinüs teoremi şöyle yazılır:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

Burada $R$ , üç köşeden geçen çemberin, yani çevrel çemberin yarıçapıdır. Üç kesirden aynı anda hiçbir zaman ikiden fazlası kullanılmaz: uygulamada teorem, bir kenar, onun karşısındaki açı, başka bir kenar ve onun karşısındaki açı arasındaki bir orantıdır. Teorem ters çevrilmiş biçimde, $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$ , olarak da yazılabilir; bu, bir açı arandığında daha kullanışlıdır.

Teorem yalnızca dik üçgenler için değil, her üçgen için geçerlidir ve genel üçgen trigonometrisine aittir. $C = 90^\circ$ olan bir dik üçgende, $\sin 90^\circ = 1$ olduğundan tanıdık $\sin A = \frac{a}{c}$ bağıntısına indirgenir.

Sinüs teoremi neden doğrudur?

$C$ köşesinden $c$ kenarına bir yükseklik indirin ve uzunluğunu $h$ ile gösterin. Üçgen iki dik üçgene ayrılır. $A$ açısını içerende hipotenüs $b$ 'dir; bu yüzden $h = b\sin A$ olur. $B$ açısını içerende hipotenüs $a$ 'dır; bu yüzden $h = a\sin B$ olur.

İki ifade de aynı yüksekliği anlatır; demek ki $b\sin A = a\sin B$ . İki tarafı $\sin A\sin B$ 'ye bölerek $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ elde ederiz. Akıl yürütmeyi başka bir köşeden inen yükseklikle tekrarlayarak $c$ kenarını da ekleriz. $A$ açısı genişse yüksekliğin ayağı üçgenin dışına düşer, ama aynı eşitlikler doğru kalır, çünkü $\sin(180^\circ - A) = \sin A$ .

Aynı yükseklik bir alan formülü verir. Alan, taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır; yani $c$ tabanı ve $b\sin A$ yüksekliği için:

\text{Alan} = \tfrac{1}{2}bc\sin A = \tfrac{1}{2}ac\sin B = \tfrac{1}{2}ab\sin C

Örneğin uzunlukları 8 ve 11 olan iki kenarın $50^\circ$ 'lik bir açı oluşturduğu bir üçgenin alanı $\frac{1}{2}(8)(11)\sin 50^\circ \approx 33.71$ birim karedir.

Ne zaman uygulanır: AAK ve AKA durumları

Sinüs teoremi en az bir tam çifte ihtiyaç duyar: bir kenar ve onun karşısındaki açı. İki açıyı biliyorsanız üçüncüsünü de bilirsiniz, çünkü üçgenin açılarının toplamı $180^\circ$ 'dir. Bu yüzden iki açı ve bir kenar içeren her problem sinüs teoremiyle çözülebilir. Bu durumlar AAK (açı, açı, kenar) ve AKA (açı, kenar, açı) diye gösterilir.

Örnek 1 (AAK): $A = 40^\circ$ , $B = 60^\circ$ , $a = 10$

Üçüncü açı: $C = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$ .
$b$ 'yi bulun: $\frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin 40^\circ}$ , yani $b = \frac{10\sin 60^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 13.47$ .
$c$ 'yi bulun: $c = \frac{10\sin 80^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 15.32$ .
Makullük kontrolü: en büyük açı olan $80^\circ$ , en büyük kenar olan 15,32'nin karşısındadır.

Örnek 2 (AKA): $A = 35^\circ$ , $C = 75^\circ$ , $b = 20$

Bilinen kenar, bilinen iki açının arasındadır. Önce $B = 180^\circ - 35^\circ - 75^\circ = 70^\circ$ açısını bulun; bu, $b$ , $B$ çiftini tamamlar.
$a = \frac{20\sin 35^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 12.21$ .
$c = \frac{20\sin 75^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 20.56$ .

Hesabı her zaman, hesaplayıp yuvarladığınız kenarla değil, verilen kenarla yapın. Böylece yuvarlama hataları birikmez.

Belirsiz durum (KKA)

İki kenar ve bunlardan birinin karşısındaki açı bilindiğinde veriler hiçbir üçgeni anlatmayabilir, tam olarak bir üçgeni ya da iki farklı üçgeni anlatabilir. Bunun nedeni, bir dar açının ve onun bütünlerinin aynı sinüse sahip olmasıdır; bu yüzden $\sin B = k$ iki aday verir, $B$ ve $180^\circ - B$ , ve ikisi de uygun olabilir.

$A$ açısı dar, $a$ onun karşısındaki kenar, $b$ ise bilinen diğer kenar olsun. $h = b\sin A$ yüksekliğini hesaplayın. O zaman:

$a < h$ ise kenar tabana ulaşamayacak kadar kısadır: üçgen yoktur.
$a = h$ ise tabana ancak değer: bir dik üçgen vardır.
$h < a < b$ ise iki konumda durabilir: iki üçgen vardır.
$a \ge b$ ise yalnızca tek bir konum uygundur: bir üçgen vardır.

$A$ geniş açıysa üçgen $a > b$ olduğunda vardır, aksi hâlde yoktur; çünkü geniş açının karşısındaki kenar en büyük kenar olmalıdır.

Örnek 3: $A = 30^\circ$ , $a = 6$ , $b = 10$ için iki üçgen

Yükseklik: $h = 10\sin 30^\circ = 5$ . $5 < 6 < 10$ olduğundan iki üçgen beklenmelidir.
$\sin B = \frac{10\sin 30^\circ}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.8333$ , yani $B \approx 56.44^\circ$ ya da $B \approx 123.56^\circ$ .
Birinci üçgen: $C \approx 93.56^\circ$ ve $c = \frac{6\sin C}{\sin 30^\circ} \approx 11.98$ .
İkinci üçgen: $C \approx 26.44^\circ$ ve $c \approx 5.34$ .

Örnek 4: önce hiç üçgen yok, sonra tam olarak bir tane

$A = 30^\circ$ , $a = 4$ , $b = 10$ için: $\sin B = \frac{10(0.5)}{4} = 1.25$ . Sinüs 1'den büyük olamaz; bu yüzden üçgen yoktur.
$A = 30^\circ$ , $a = 12$ , $b = 10$ için: $\sin B = \frac{5}{12}$ , yani $B \approx 24.62^\circ$ ya da $155.38^\circ$ .
$30^\circ + 155.38^\circ > 180^\circ$ olduğundan ikinci seçenek elenir. Bir üçgen: $C \approx 125.38^\circ$ , $c \approx 19.57$ .

Bir arazi ölçümü problemi

Haritacılar, yürüyerek ölçülemeyen uzaklıkları bulmak için sinüs teoremini kullanır. Bir nehrin kıyısındaki $P$ ve $Q$ noktaları birbirinden 100 m uzaktadır. Karşı kıyıda bir $T$ ağacı vardır. $P$ 'de kıyı ile ağaca bakış doğrusu arasındaki açı $52^\circ$ , $Q$ 'da ise $71^\circ$ 'dir.

Örnek 5: nehrin genişliği

Ağaçtaki açı: $180^\circ - 52^\circ - 71^\circ = 57^\circ$ ; 100 m uzunluğundaki bilinen tabanın karşısında.
$52^\circ$ açısının karşısındaki, $Q$ 'dan ağaca olan uzaklık: $QT = \frac{100\sin 52^\circ}{\sin 57^\circ} \approx 93.96$ m.
$P$ 'den ağaca olan uzaklık: $PT = \frac{100\sin 71^\circ}{\sin 57^\circ} \approx 112.74$ m.
Genişlik, yani ağaçtan kıyıya dik uzaklık: $QT\sin 71^\circ \approx 88.84$ m. $PT\sin 52^\circ$ ile de aynı değer elde edilir; bu da bir kontroldür.

Devasa üçgen ağlarında tekrarlanan aynı nirengi fikri, uydu konumlamasından çok önce koca ülkelerin haritalarının çıkarılmasını sağladı ve bugün de uydu navigasyon alıcılarının ve mobil iletişim ağlarının konumu açılardan ve uzaklıklardan nasıl tahmin ettiğinin temelinde yatıyor.

Sinüs teoremi mi, kosinüs teoremi mi?

Verilere bakın. Bir kenarınız, onun karşısındaki açınız ve bir öğeniz daha varsa sinüs teoremini kullanın. İki kenarınız ve aralarındaki açınız (KAK) ya da üç kenarınızın hepsi (KKK) varsa tam bir çift yoktur; bu yüzden kosinüs teoremi ile başlayın. Kosinüs teoremi bir kez uygulandıktan sonra genellikle bir çift ortaya çıkar ve gerisini sinüs teoremi tamamlayabilir; ama arksinüsün belirsizliğinden kaçınmak için en büyük açıyı önce kosinüs teoremiyle bulmak daha güvenlidir.

Durum durum eksiksiz seçim yöntemini üçgen çözme rehberimizde bulabilirsiniz. Açı değerlerine gelince, birim çember neden $\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta)$ olduğunu açıklar ve belirsiz durum tam da buradan doğar.

Sık yapılan hatalar

Bir kenarı karşısında olmadığı bir açıyla eşleştirmek. Önce etiketli bir şekil çizin.
KKA durumunda ikinci çözümü, $180^\circ - B$ 'yi unutmak.
Açılarının toplamı $180^\circ$ 'yi aşan ikinci bir çözümü kabul etmek.
Açılar derece cinsindeyken hesap makinesini radyan modunda kullanmak.
Ara açıları fazla yuvarlamak; bu, kenarların nihai değerlerini belirgin biçimde değiştirebilir.

Hızlı bir makullük kontrolü hataların çoğunu ortaya çıkarır: en büyük kenar en büyük açının, en küçük kenar ise en küçük açının karşısında olmalıdır. Kosinüs teoremi hesap makinesi her üçgeni üç veriden çözer ve belirsiz durumda iki çözümü de gösterir; böylece kendi hesaplarınızı kontrol edebilirsiniz.

Sıkça sorulan sorular

Sinüs teoremi dik üçgenlerde işe yarar mı?

Evet. $C = 90^\circ$ için $\sin C = 1$ olur; dolayısıyla $\frac{a}{\sin A} = c$ elde edilir ve bu, olağan $\sin A = \frac{a}{c}$ tanımına dönüşür. Dik üçgende temel tanımlar genellikle daha hızlıdır, ama sinüs teoremi aynı sonuçları verir.

KKA durumu neden bazen iki üçgen verir?

$0 < k < 1$ için $\sin B = k$ denklemi bir dar açı ve aynı sinüse sahip bütünler geniş açıyı verir. Bilinen açı ile geniş aday açının toplamı $180^\circ$ 'den küçük kalıyorsa iki üçgen de vardır.

Sinüs teoremindeki 2R ne anlama gelir?

Her $\frac{a}{\sin A}$ oranı, üç köşeden geçen çemberin çapına eşittir. Örneğin $a = 10$ ve $A = 30^\circ$ olan bir üçgen $\frac{10}{0.5} = 20$ verir; bu yüzden çevrel çemberinin yarıçapı 10'dur.

Sinüs teoremiyle bir açı bulunabilir mi?

Evet, $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$ eşitliğini çözüp ardından arksinüs uygulayarak. Arksinüsün yalnızca dar açılar verdiğini unutmayın; bu yüzden bütünler geniş açının da uygun olup olmadığını kontrol edin.

Problemimin hangi durum olduğunu nasıl anlarım?

Bilinen üç öğeyi üçgenin çevresi boyunca sıralandıkları düzende yazın. İki açı ve herhangi bir kenar AAK ya da AKA'dır ve sinüs teoremi problemi doğrudan çözer. İki kenar ve aralarındaki açı KAK, üç kenar ise KKK'dir; iki durum da önce kosinüs teoremini gerektirir. İki kenar ve aralarında olmayan açı KKA'dır; bu, sıfır, bir ya da iki üçgen olup olmadığını kontrol etmeniz gereken belirsiz durumdur.

MathSolver Pro Editorial Team

Editörlük ve matematiksel denetim

Editör ekibimiz her rehberi yalnızca cevabı değil, her yöntemin ardındaki akıl yürütmeyi de açıklayacak şekilde yazar. Her çözümlü örnek yayımlanmadan önce sitenin çözüm motorları ve otomatik testlerle kontrol edilir; bir yöntem ya da sınav biçimi değiştiğinde makaleler hemen güncellenir.