Kapalı Türev Hesap Makinesi

Kapalı türev hesap makinesi hakkında

Birçok eğriyi $y = f(x)$ biçiminde yazmak zahmetlidir. $x^2 + y^2 = 25$ gibi bir çember düşey doğru testini geçemez; Descartes yaprağı $x^3 + y^3 = 6xy$ gibi bir eğrinin ise $y$ için kullanışlı bir formülü yoktur. Yine de teğetlerinin eğimleri neredeyse her noktada vardır ve kapalı türev alma, önce $y$ 'yi yalnız bırakmadan bu eğimleri bulan tekniktir.

Hesap makinesi yöntemi derslerde anlatıldığı gibi uygular. $y$ 'yi $x$ 'in bilinmeyen bir fonksiyonu olarak kabul eder, denkleminizin iki tarafının $x$ 'e göre türevini alır ve zincir kuralına göre $y$ içeren her terime bir $y'$ çarpanı ekler. Ardından $y'$ içeren terimleri bir tarafta toplar, $y'$ 'yü ortak paranteze alır ve böler; böylece $x$ ve $y$ cinsinden bir $\frac{dy}{dx}$ formülü elde eder.

Eğri üzerinde bir nokta verirseniz hesap makinesi onu yerine koyar, eğimi sayı olarak verir ve o noktadaki teğetin denklemini yazar. Hazır formül, kısmi türevlerin öngördüğü sonuç olan $-\frac{F_x}{F_y}$ ile bağımsız olarak karşılaştırılır; böylece cevabı deftere geçirmeden önce ona güvenebilirsiniz.

Kapalı türev alma nedir?

$x^2 + y^2 = 25$ gibi bir denklem $y$ 'yi kapalı olarak tanımlar: $y$ 'yi doğrudan ifade etmez, $x$ ile $y$ arasındaki bir bağıntıyı tanımlar. Eğrinin çoğu noktasının yakınında $y$ , bu fonksiyon yazılamasa bile yine de $x$ 'in bir fonksiyonu gibi davranır. Kapalı türev alma, onun türevini bağıntının kendisinden bulur.

Anahtar zincir kuralıdır. $y$ , $x$ 'e bağlıysa $y^2$ 'nin $x$ 'e göre türevi $2y$ değil, $2y \cdot \frac{dy}{dx}$ 'tir. Aynısı $\sin y$ , $e^y$ ve $y$ içeren diğer her terim için de geçerlidir: türev her zamanki gibi alınır ve $y'$ ile çarpılır. Yalnızca $x$ içeren terimlerin türevi olağan şekilde alınır, sabitler ise kaybolur.

Sonuç genellikle hem $x$ 'i hem de $y$ 'yi içerir; $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ 'deki gibi. Bu normal ve doğrudur. Tek bir $x$ değerine eğrinin farklı eğimli birkaç noktası karşılık gelebilir; bu yüzden formülün hangi noktanın kastedildiğini anlamak için $y$ koordinatına ihtiyacı vardır.

Kapalı türev hesap makinesi nasıl kullanılır?

x ve y içeren denklemi tam olarak bir eşittir işaretiyle yazın; örneğin x^2 + y^2 = 25 veya x^3 + y^3 = 6 x y.
Harfleri çarpmak için boşluk veya * kullanın: x y ya da x*y, x ile y'nin çarpımı anlamına gelir.
İsterseniz o noktadaki eğimi ve teğeti almak için eğri üzerinde bir nokta girin; örneğin x = 3, y = 4.
Türevi alınmış tarafları, toplanmış y′ terimlerini ve hazır formülü görmek için «dy/dx bul» düğmesine basın.
Bir nokta verdiyseniz eğim ve teğet denklemi son adımlarda yer alır.

Formüller

y içeren terim için zincir kuralı

\frac{d}{dx}\big[g(y)\big] = g'(y)\,\frac{dy}{dx}

y ile çarpım kuralı

\frac{d}{dx}\big[xy\big] = y + x\,\frac{dy}{dx}

Kısmi türevlerle kısa yol

F(x,y) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

(x₀, y₀) noktasındaki teğet

y - y_0 = m\,(x - x_0),\quad m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0,\,y_0)}

Çözümlü örnek: (3, 4) noktasında x² + y² = 25

Örnek, $(3, 4)$ noktasındaki $x^2 + y^2 = 25$ çemberi için gerçek zamanlı olarak hesaplanır. İki tarafın türevini almak $2x + 2y\,y' = 0$ verir; $2y\,y'$ terimi zincir kuralından gelir. $2x$ 'i diğer tarafa geçirip $2y$ 'ye bölünce $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ elde edilir.

$(3, 4)$ noktasında eğim $-\frac34 = -0.75$ 'tir; bu yüzden teğetin denklemi $y - 4 = -0.75(x - 3)$ 'tür. Geometri bunu doğrular: $(3, 4)$ noktasına çizilen yarıçapın eğimi $\frac43$ 'tür ve çemberin teğeti yarıçapa diktir; bu yüzden onun eğimi bu sayının ters işaretli çarpmaya göre tersi, yani $-\frac34$ olmalıdır.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},\quad \text{noktadaki eğim} = -0.75

Probleminizi nasıl okuduk

Kapalı olarak tanımlanmış bir eğri için dy/dx türevini bulalım; y ifadesini x değişkeninin türevlenebilir bir fonksiyonu kabul edelim.

{x}^{2}+{y}^{2} = 25

Adım adım çözüm

y ifadesini x değişkeninin fonksiyonu kabul edip iki tarafın türevini x değişkenine göre alalım
y içeren her terim için zincir kuralı gerekir: d/dx[g(y)] = g′(y)·y′.
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+{y}^{2}\right] = \frac{d}{dx}\left[25\right]$
İki tarafın türevini almanın sonucu
$2x + \left(2y\right) y' = 0$
y′ içeren terimleri bir tarafta toplayalım
y′ içeren tüm terimleri sola, geri kalan her şeyi sağa taşıyalım, ardından y′ ortak çarpan parantezine alalım.
$\left(2y\right) y' = -\left(2x\right)$
y′ yalnız bırakmak için bölelim
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
Yerine koyun: x = 3, y = 4
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,\,4)} = -0.75$
Noktadaki teğet doğrusu
$y - 4 = -0.75\,(x - 3)$

Kullanılan formüller

y için zincir kuralı
$\frac{d}{dx}\,g(y) = g'(y)\,\frac{dy}{dx}$
Kapalı fonksiyonun türevi formülü
$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y},\quad F(x,y) = 0$

İki tarafın türevi alındığında eşitlik korunur; y, x değişkenine bağlı olduğundan y içeren her terim bir y′ çarpanı verir ve ardından denklem y′ için cebirsel olarak çözülür. Sonuç genellikle hem x hem de y içerir.

Doğrulama

Birkaç kontrol noktasında bağımsız bir sembolik türev sisteminin verdiği sonuçla örtüşüyor: −F_x / F_y ✓
(3, 4) eğrinin üzerindedir ✓

Ayrıntılı açıklama

Dört adımlı yöntem

Birinci: iki taraftaki tüm terimlerin $x$ 'e göre türevini alın. İkinci: terim $y$ içeriyorsa türevini $y'$ ile çarpın; $x$ ile $y$ çarpılmışsa çarpım kuralını kullanın. Üçüncü: $y'$ içeren tüm terimleri bir tarafa, kalanları diğer tarafa taşıyın. Dördüncü: $y'$ 'yü ortak paranteze alın ve geriye kalana bölün.

$x^3 + y^3 = 6xy$ için ilk iki adım $3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$ verir, çünkü sağ taraf bir çarpımdır. Terimler gruplandıktan sonra $(3y^2 - 6x)\,y' = 6y - 3x^2$ , yani $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$ kalır. Hesap makinesi tam olarak bu adım dizisini gösterir.

Zincir kuralı neden y′ verir?

$y$ 'yi görünmeyen bir fonksiyon olan $y(x)$ olarak düşünün. O zaman $y^3$ aslında bir bileşke fonksiyondur, $y(x)$ 'in küpüdür ve zincir kuralına göre türevi $3y(x)^2 \cdot y'(x)$ 'tir. Kapalı türev alma, formülü bilinmeyen bir iç fonksiyona uygulanan alışılmış zincir kuralından ibarettir.

Aynı nedenle $\frac{d}{dx}[\sin y] = \cos y \cdot y'$ ve $\frac{d}{dx}[e^y] = e^y\,y'$ 'dir. $\sin y = x$ denkleminde türev almak $\cos y\,y' = 1$ , yani $y' = \frac{1}{\cos y}$ verir. Esas dalda bu eğri $y = \arcsin x$ olduğundan, $\cos y$ 'yi $\sqrt{1 - x^2}$ olarak yazınca arksinüsün türevi böyle hızla elde edilir.

Eğimler, teğetler ve özel noktalar

Noktayı formülde yerine koyunca o noktadaki eğimi elde edersiniz; ama yalnızca nokta gerçekten eğri üzerindeyse. Bu yüzden önce başlangıçtaki denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edin. $m$ eğimi ve $(x_0, y_0)$ noktasıyla teğetin denklemi $y - y_0 = m(x - x_0)$ 'dır.

Formül özel noktaları bulmaya da yardımcı olur. Yatay teğetler, $\frac{dy}{dx}$ 'in payının sıfır olup paydasının sıfır olmadığı yerlerdedir. Düşey teğetler ise paydanın sıfır olup payın sıfır olmadığı yerlerdedir; çemberde bu, $y = 0$ olan $(\pm 5, 0)$ noktalarında olur. Descartes yaprağının orijindeki durumu gibi pay ve payda aynı anda sıfırsa eğri kendini kesebilir ve eğimin ayrıca incelenmesi gerekir.

Kısmi türevlerle kısa yol

Her şey bir tarafa taşınırsa eğri $F(x, y) = 0$ olarak yazılır. Çok değişkenli fonksiyonların analizi bu durumda $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ formülünü verir; burada $F_x$ ve $F_y$ kısmi türevlerdir. $x^2 + xy + y^2 = 7$ için $F_x = 2x + y$ ve $F_y = x + 2y$ 'dir; dolayısıyla $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$ olur ve bu, $(1, 2)$ noktasında $-0.8$ 'e eşittir.

Hesap makinesi bu formülü adım adım sonucun bağımsız bir kontrolü olarak kullanır. Siz de aynısını yapabilirsiniz: elle çözümünüz ve kısa yol uyuşuyorsa sonuca güvenebilirsiniz.

Bundan sonra nerede işe yarar: ilişkili hızlar

Kapalı türev alma, ilişkili değişim hızları problemlerinin motorudur. Bir merdiven duvardan kayıyorsa alt ve üst uçları her an $x^2 + y^2 = L^2$ 'yi sağlar ve iki koordinat da zamana bağlıdır. $x$ 'e değil $t$ 'ye göre türev alınca alt ucun hızını üst ucun hızına bağlayan $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ elde edilir.

İşlem sırası bu sayfadakiyle aynıdır: bağıntının türevini alın, değişen her büyüklüğe zincir kuralını uygulayın ve aranan hızı yalnız bırakın. Logaritmik türev alma da buna dayanır: $y = x^x$ 'in iki tarafının $\ln$ 'i alınır ve $\ln y = x \ln x$ 'in kapalı türevi alınarak $y' = x^x(\ln x + 1)$ elde edilir.

Sık yapılan hatalar

$y'$ çarpanını unutarak $y^2$ 'nin türevini $2y$ olarak yazmak.
Karma terimlerde çarpım kuralını unutmak; böylece $\frac{d}{dx}[xy]$ yalnızca $y'$ ya da $xy'$ olur.
Sağ taraftaki sabitin 0 vermesi gerekirken onun türevini bir değişkeninki gibi almak.
İncelenen noktada sıfıra eşit olan bir ifadeye bölmek ve böylece düşey teğeti gözden kaçırmak.
Başlangıçtaki denklemi sağlamayan bir noktayı yerine koymak.
Gereksiz yere $y$ 'yi önceden yalnız bırakmak; bu çoğu zaman işareti belirsiz karekökler doğurur.

İpuçları

Terimleri gruplarken hiçbiri kaybolmasın diye yazarken her $y'$ 'yü daire içine alın veya vurgulayın.
Çarpım kuralı gerektiren terim sayısını azaltıyorsa çarpımları türev almadan önce açın.
Sonucu hızlıca kontrol etmek için $-\frac{F_x}{F_y}$ 'yi kullanın.
Son kesri 2 veya 3 gibi ortak çarpanları sadeleştirerek basitleştirin.
Teğeti aramadan önce noktanızın eğri üzerinde olup olmadığını kontrol edin.
İkinci türev için $y'$ 'nün bir kez daha kapalı türevini alın ve birinci türevin formülünü yerine koyun.

Sıkça sorulan sorular

Kapalı türev alma ne zaman kullanılır?

y'nin x'e, x³ + y³ = 6xy gibi y için çözülmesi zor veya imkânsız bir denklemle bağlı olduğu her durumda ya da y'yi yalnız bırakmanın, çember ve elipslerdeki gibi eğriyi birkaç dala ayıracağı durumlarda.

dy/dx neden yalnızca x'i değil y'yi de içeriyor?

Tek bir x değerine kapalı eğrinin birkaç noktası karşılık gelebilir ve her birinin kendi eğimi vardır. Formüldeki y harfi hangi noktanın kastedildiğini gösterir. Çember için −x/y, (3, 4) noktasında −0,75'e, (3, −4) noktasında ise +0,75'e eşittir.

Eğim için nokta nasıl girilir?

İki koordinatı isteğe bağlı alana yazın; örneğin x = 3, y = 4. Hesap makinesi onları dy/dx'te yerine koyar ve teğetin denklemini nokta ve eğim üzerinden yazar.

sin y veya e^y içeren denklemlerin türevini alabilir mi?

Evet. x ve y içeren türevlenebilir her ifade kabul edilir. sin y veya e^y gibi terimler zincir kuralına göre y′ çarpanı alır; böylece sin y = x'ten dy/dx = 1/cos y elde edilir.

dy/dx'in paydası sıfırsa bu ne anlama gelir?

Pay da sıfır olmadıkça o noktada teğet düşeydir. x² + y² = 25 için bu, (5, 0) ve (−5, 0) noktalarında olur.

Kapalı türev alma, kısmi türev kullanmakla aynı şey midir?

İki yol da aynı sonucu verir. Adım adım yöntem doğrudan zincir kuralını, dy/dx = −F_x/F_y formülü ise F(x, y)'nin kısmi türevlerini kullanır. Hesap makinesi birinci yolu gösterir ve onu ikinciyle kontrol eder.

Bu hesap makinesiyle d²y/dx² bulunabilir mi?

Hesap makinesi birinci türevi bulur. İkinci türev için, y'nin hâlâ x'e bağlı olduğunu unutmadan dy/dx formülünün bölüm kuralıyla bir kez daha türevini alın, ardından ortaya çıkan her y′ yerine birinci türevin ifadesini koyun.

Denklemde hangi harfler olmalı?

Denklem, y bağımlı değişken olmak üzere x ve y cinsinden yazılmalıdır. Başka harfler kabul edilmez ve hesap makinesi rollerini tahmin etmek yerine bunu bildirir.

Türev almadan önce y'yi yalnız bırakmak gerekir mi?

Hayır ve genellikle bunu yapmamak daha iyidir. x² + y² = 25'ten y'yi yalnız bırakırsanız ±√(25 − x²) elde edilir: uğraştırıcı kareköklü iki farklı fonksiyon. Başlangıçtaki denklemin türevini alarak çemberin iki yarısıyla aynı anda çalışırsınız.

Kapalı türev hesap makinesini deneyin

x ve y içeren bir denklem girin; tüm adımlarla birlikte dy/dx'i ve seçtiğiniz noktadaki eğimi ve teğeti alın.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun

Kapalı türev hesap makinesi hakkında

Kapalı türev alma nedir?

Kapalı türev hesap makinesi nasıl kullanılır?

Formüller

y içeren terim için zincir kuralı

y ile çarpım kuralı

Kısmi türevlerle kısa yol

(x₀, y₀) noktasındaki teğet

Çözümlü örnek: (3, 4) noktasında x² + y² = 25

Sonuç

Probleminizi nasıl okuduk

Adım adım çözüm

Kullanılan formüller

Doğrulama

Ayrıntılı açıklama

Dört adımlı yöntem

Zincir kuralı neden y′ verir?

Eğimler, teğetler ve özel noktalar

Kısmi türevlerle kısa yol

Bundan sonra nerede işe yarar: ilişkili hızlar

Sık yapılan hatalar

İpuçları

Sıkça sorulan sorular

Kapalı türev alma ne zaman kullanılır?

dy/dx neden yalnızca x'i değil y'yi de içeriyor?

Eğim için nokta nasıl girilir?

sin y veya e^y içeren denklemlerin türevini alabilir mi?

dy/dx'in paydası sıfırsa bu ne anlama gelir?

Kapalı türev alma, kısmi türev kullanmakla aynı şey midir?

Bu hesap makinesiyle d²y/dx² bulunabilir mi?

Denklemde hangi harfler olmalı?

Türev almadan önce y'yi yalnız bırakmak gerekir mi?

Kapalı türev hesap makinesini deneyin

Diğer matematik hesap makineleri