Belirli İntegral Hesap Makinesi

F(b) − F(a) neden alanı verir?

$f$'nin altında $a$'dan hareketli bir $t$ noktasına kadar olan alana eşit bir $A(t)$ alan fonksiyonu düşünün. $t$'yi küçük bir $h$ kadar kaydırırsanız yaklaşık $f(t)$ yüksekliğinde ve $h$ genişliğinde dar bir şerit eklenir; bu yüzden $A(t+h) - A(t) \approx f(t)\,h$ olur. $h$'ye bölüp onu sıfıra götürünce $A'(t) = f(t)$ olduğunu görürüz: alan fonksiyonu $f$'nin bir ilkel fonksiyonudur.

İki ilkel fonksiyon yalnızca bir sabit kadar farklıdır; bu yüzden bulunan $F$ ilkel fonksiyonu için $A(t) = F(t) + C$ olur. $A(a) = 0$ olduğundan sabit $-F(a)$'ya eşittir ve alanın tamamı $A(b) = F(b) - F(a)$'dır. İntegral sabitinin belirli integralde hiç görünmemesinin nedeni budur: çıkarma sırasında sadeleşir.

İşaretli alan ve geometrik alan

Eğri eksenin altından geçiyorsa integral o kısmı çıkarır. $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$'te pozitif ve negatif kemerler birbirini tam olarak dengeler ve sonuç 0'dır. Bu, integralin doğru değeridir; ama çizimde tarayacağınız alan bu değildir.

Toplam alanı bulmak için fonksiyonun aralıktaki sıfırlarını belirleyin, her parça üzerinde integral alın ve sonuçların mutlak değerlerini toplayın. Hesap makinesi abs()'yi tanır: 0'dan 2'ye kadar abs(x-1) girerseniz iki üçgenin alanlarının toplamı olan 1'i verir, oysa aynı aralıkta x-1 0 verir.

Genelleştirilmiş integraller: sonsuz sınırlar ve düşey asimptotlar

İntegral sınırlarından biri sonsuzsa ya da fonksiyon aralığın bir yerinde sınırsızsa integrale genelleştirilmiş integral denir. Bu durumda değeri bir limit olarak tanımlanır. $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$ için hesap makinesi $F(x) = -\frac1x$'i bulur, $x \to \infty$ için 0'a eşit olan limiti hesaplar, $F(1) = -1$'i çıkarır ve integralin 1'e yakınsadığını bildirir.

Asimptotlarda da fikir aynıdır. $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ 2'ye yakınsar, çünkü $2\sqrt{x}$'in 0 noktasında sonlu bir limiti vardır; $\int_0^1 \frac1x\,dx$ ise ıraksar, çünkü $\ln x$, $-\infty$'a gider. İki fonksiyon da sıfırın yakınında sınırsızca büyür; sonucu ne kadar hızlı büyüdükleri belirler. Tekil nokta aralığın içindeyse integral o noktada bölünmeli ve her yarı kendi başına yakınsamalıdır.

Tüm sayı doğrusunda iki integral sınırı için de limit gerekir. Hesap makinesi $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$'i $-\frac{\pi}{2}$'den $\frac{\pi}{2}$'ye $\arctan x$ olarak hesaplar ve tam olarak $\pi$ bulur.

Formül olmadığında: sayısal integrasyon

Gayet sıradan bazı fonksiyonların ilkel fonksiyonları elemanter fonksiyonlarla ifade edilemez. Klasik örnekler çan eğrisi $e^{-x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ ve $\sqrt{1 + x^3}$'tür. Yine de belirli integralleri vardır; yalnızca sayısal olarak hesaplanmaları gerekir.

Bu durumda hesap makinesi uyarlamalı Simpson yöntemini kullanır: eğrinin küçük parçalarına paraboller yaklaştırır ve tahminin henüz yeterince doğru olmadığı parçaları $10^{-10}$'dan küçük bir hataya ulaşana dek bölmeyi sürdürür. $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ için yaklaşık 0,7468241328 verir ve kesin değerle asla karıştırılmaması için bunu sayısal yaklaşım olarak işaretler.

Zaman kazandıran yararlı özellikler

Sınırların yeri değiştirilince işaret değişir: $\int_1^0 x^2\,dx = -\frac13$. Sıfır uzunluklu bir aralıktaki integral sıfırdır. $x^3$ veya $\sin x$ gibi tek bir fonksiyon için simetrik bir $[-a, a]$ aralığındaki integral sıfırdır; çift bir fonksiyon içinse 0'dan $a$'ya kadar olan integralin iki katıdır. Simetriyi hesaplamadan önce fark etmek, çoğu zaman uğraştırıcı bir problemi tek satırlık bir cevaba dönüştürür.

Ayrıca integral doğrusaldır: sabitler dışarı alınır, toplam ayrı integrallere ayrılır. Aralığa göre toplamsallıkla birlikte bu, karmaşık bir bölgeyi kullanışlı parçalara ayırmayı sağlar.