İntegral Nedir? Yeni Başlayanlar İçin Açıklama

İntegral almak toplamak demektir

Bir otomobil 2 saat boyunca saatte 60 km sabit hızla giderse $60 \times 2 = 120$ km yol alır. Hız-zaman grafiğinde bu yol, yüksekliği 60 ve genişliği 2 olan dikdörtgenin alanıdır. Hız değişirse eğrinin altındaki alan artık bir dikdörtgen değildir, ama yol yine hız grafiğinin altındaki alana eşittir. Bu alanı bulmak integralin işidir.

Genel olarak: bir büyüklük, bir hız ile bir miktarın çarpımına eşit olduğunda, örneğin hız çarpı zaman, yoğunluk çarpı hacim ya da kuvvet çarpı yer değiştirme, ve bu hız değiştiğinde toplam büyüklük bir integraldir. Türev toplam büyüklüğü hızlara ayırır; integral ise toplam büyüklüğü hızlardan yeniden kurar.

Riemann toplamları: dikdörtgenlerle yaklaşım

$f(x) = x^2$'nin $x = 0$'dan $x = 2$'ye kadar altındaki alanı bulmak için aralığı genişliği $0.5$ olan 4 şeride bölün. Her şeridin yüksekliğini sağ kenarından alırsanız yükseklikleri $f(0.5)$, $f(1)$, $f(1.5)$ ve $f(2)$ olan dikdörtgenler elde edersiniz:

Sol kenarlarla $0.5\,(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 1.75$ elde edilir. Gerçek alan bu iki değerin arasındadır. Şerit sayısı $n$ arttıkça iki toplam da aynı değere yaklaşır ve bu limit belirli integralin ta kendisidir:

İntegral işareti, Latince «toplam» sözcüğünden gelen uzatılmış bir S harfidir; $f(x)$ yüksekliktir, $dx$ ise sonsuz küçük genişliği gösterir. $[0, 2]$ üzerinde $x^2$ için limit tam olarak $\frac{8}{3} \approx 2.667$'dir. Limitler rehberimizde açıklanan limit kavramı, yaklaşımı kesin bir değere dönüştürür.

İşaretli alan

Grafiğin yatay eksenin altından geçtiği yerde $f(x)$ negatiftir ve dikdörtgenler negatif katkı yapar. Bu yüzden belirli integral işaretli alanı ölçer: eksenin üstündeki alan eksi altındaki alan.

Örneğin $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$'dır, çünkü eksenin üstünde 0'dan $\pi$'ye uzanan kemer, eksenin altında $\pi$'den $2\pi$'ye uzanan parçayı tam olarak dengeler. Her kemerin alanı 2'dir; dolayısıyla toplam geometrik alan 4'tür. Toplam alanı elde etmek için aralığı fonksiyonun işaret değiştirdiği sıfırlarda bölün ve ayrı parçaların mutlak değerlerini toplayın.

İlkel fonksiyonlar ve belirsiz integral

$f$ fonksiyonunun ilkel fonksiyonu, türevi $f$'ye eşit olan bir $F$ fonksiyonudur. $\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$ olduğundan $x^3$ fonksiyonu $3x^2$'nin bir ilkel fonksiyonudur. $x^3 + 7$ ya da $x^3$ artı herhangi bir sabit de öyledir, çünkü bir sabitin türevi sıfırdır. Belirsiz integral hepsini bir araya toplar:

Her temel türev kuralı tersinden okunduğunda bir integral kuralı verir:

Analizin temel teoremi

İntegralin iki anlamını, toplamların limiti olarak alanı ve ilkel fonksiyonlar ailesini, Newton-Leibniz formülü olarak da bilinen analizin temel teoremi birbirine bağlar. Uygulamadaki biçimiyle şunu söyler: $F$, sürekli bir $f$ fonksiyonunun herhangi bir ilkel fonksiyonuysa:

Bu olağanüstüdür: dikdörtgenlerin sonsuz toplamı fonksiyonun iki değerine indirgenir. Teoremin diğer kısmı, üst sınırı değişken olan $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ integralinin türevinin $f(x)$ olduğunu söyler: integral alma ve türev alma birbirinin tersidir.

İki integral türü arasındaki fark belirli ve belirsiz integraller makalesinde daha ayrıntılı ele alınmıştır.

Temel kuralların ötesinde iki yöntem

İntegral almada her durumda mekanik olarak işleyen bir çarpım kuralı ya da zincir kuralı yoktur; bu yüzden bazı yöntemler bu türev kurallarını tersine çevirir.

Uygulamalar

• Hızdan yol: $v(t) = 3t^2$ m/s ise ilk 2 saniyedeki yer değiştirme $\int_0^2 3t^2\,dt = 8$ m'dir.
• İki eğri arasındaki alan: $[0, 1]$ üzerinde $y = x$ ile $y = x^2$ arasındaki alan $\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$'dır.
• Ortalama değer: $f$'nin $[a, b]$ üzerindeki ortalama değeri $\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$'tir.
• Olasılık: yoğunluk eğrisinin altındaki alanlar olasılıklardır; örneğin z-skorlarının dayandığı normal dağılım eğrisinin altındakiler.
• Hacim, değişken bir kuvvetin yaptığı iş, marjinal maliyetten toplam maliyet ve kütle merkezleri: bunların hepsi integraldir.

Sık yapılan hatalar

• Belirsiz integralde $+ C$'yi unutmak.
• Kuvvet kuralını $\frac{1}{x}$'e uygulamak; bu sıfıra bölme anlamına gelirdi; ilkel fonksiyonu $\ln|x|$'tir.
• $\int f g\,dx$'in $\int f\,dx \cdot \int g\,dx$'e eşit olduğunu sanmak.
• Grafiğin bir kısmı eksenin altındayken belirli integrali toplam alan sanmak.
• $F(b) - F(a)$ yerine $F(a) - F(b)$ hesaplamak.

İntegral hesap makinesi ilkel fonksiyonları bulur ve her adımı gösterir; belirli integral hesap makinesi ise bir aralık üzerindeki integralleri hesaplayıp sayısal değeri verir.

Temel teorem neden sezgisel olarak anlaşılırdır?

Otomobile dönelim. $s(t)$ onun konumu, $v(t) = s'(t)$ de hızı olsun. Yolculuk boyunca minicik zaman aralıklarındaki hızları toplarsanız konumdaki toplam değişimi, yani son konum eksi ilk konumu elde edersiniz. Formüllerle: $\int_a^b v(t)\,dt = s(b) - s(a)$; bu da ilkel fonksiyon rolünü $s$'nin oynadığı temel teoremin ta kendisidir.

Bu açıdan bakınca teorem neredeyse apaçıktır: bir büyüklüğün tüm küçük değişimlerini toplarsanız toplam değişimini elde edersiniz. Gücü, bir ilkel fonksiyon bulunabildiğinde zor limit hesaplarını basit bir çıkarmaya dönüştürmesindedir.

Sayısal integral

İlkel fonksiyon yazılamıyorsa ya da fonksiyon yalnızca ölçümlerden biliniyorsa integraller sayısal olarak tahmin edilir. Daha iyi tahminler dikdörtgenlerden daha uygun şekiller kullanır. Yamuk kuralı sol ve sağ toplamların ortalamasını alır; $[0, 2]$ üzerinde $x^2$ için 4 şeritle $\frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$ verir. Orta nokta kuralı yüksekliği her şeridin ortasından alır ve $0.5\,(0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625) = 2.625$ verir. İkisi de kesin değer $2.667$'ye kenar toplamlarının her birinden çok daha yakındır.

Üçer noktalık gruplardan paraboller geçiren Simpson kuralı bu fonksiyon için ve üçüncü dereceye kadar her polinom için kesindir. Yazılımlar bu fikirlerin geliştirilmiş sürümlerini kullanarak integralleri saniyenin kesirlerinde virgülden sonra birçok basamak doğrulukla hesaplar.

Biraz tarih

Alanları ince şeritleri toplayarak hesaplamak eski bir fikirdir. Arşimet iki bin yıldan uzun süre önce bir parabol parçasının alanını limite çok yakın bir yöntemle buldu. Newton'a ve Leibniz'e atfedilen on yedinci yüzyılın büyük atılımı, alanların türev almayı tersine çevirerek elde edilebileceğini gösteren temel teorem oldu. On dokuzuncu yüzyılda Bernhard Riemann toplamlara bugünkü kesin tanımlarını kazandırdı; adları da buradan gelir.

Sıkça sorulan sorular