Belirli mi, Belirsiz mi İntegral?

Bir bakışta fark

• Yazım: belirsiz $\int f(x)\,dx$; belirli $\int_a^b f(x)\,dx$, alt sınır $a$ ve üst sınır $b$ ile.
• Sonuç: belirsiz integral bir fonksiyon artı sabit verir; belirli integral bir sayı verir.
• Anlam: belirsiz integral «hangi fonksiyonların türevi budur?» sorusunu yanıtlar; belirli integral ise «$a$ ile $b$ arasında ne kadar birikir?» sorusunu.
• Sabit: belirsiz integral $+ C$ gerektirir; belirli integralde sabit sadeleşir.
• Kontrol: integrandı elde etmek için belirsiz integralin sonucunun türevini alın; belirli integrali grafikle ya da dikdörtgenlerle tahmin edin.

İntegraller sizin için yeniyse iki fikrin de sıfırdan kurulduğu integral nedir makalesiyle başlayın.

Belirsiz integraller: ilkel fonksiyon aileleri

$f$ fonksiyonunun belirsiz integrali, türevi $f$'ye eşit olan tüm fonksiyonların kümesidir. Bir sabit eklemek türevi değiştirmediğinden sonuç her zaman birbirine göre düşey doğrultuda kaydırılmış bir eğriler ailesidir:

Aileden tek bir eğri seçmek için ek bilgi, genellikle bilinen bir değer gerekir. Bu tür probleme başlangıç değer problemi denir.

Fizik bunu sürekli kullanır. İvme sabit ve $-9.8$ m/s²'ye eşitse ilk integral hızı, $v(t) = -9.8t + v_0$, ikincisi ise yüksekliği, $h(t) = -4.9t^2 + v_0 t + h_0$, verir. İki sabit, başlangıç hızı ve başlangıç yüksekliğidir.

Belirli integraller: toplamların limiti olarak sayılar

Belirli integral, Riemann toplamlarının limiti olarak tanımlanır ve $a$'dan $b$'ye kadar grafik ile yatay eksen arasındaki işaretli alanı ifade eder. Analizin temel teoremi onu hesaplamanın kısa yolunu verir:

$F$ yerine $F + C$ alınırsa hiçbir şey değişmez, çünkü $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. Bu yüzden sabit yazılmaz.

Belirli integrallerin özellikleri

Toplamlar ve sabit çarpanlar, türevlerde olduğu gibi, integral işaretinin dışına çıkarılabilir. Simetri çok iş kazandırabilir: $f$ tek fonksiyonsa, yani $f(-x) = -f(x)$ ise $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$'dır. Örneğin $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$'dır, çünkü negatif ve pozitif yarılar birbirini götürür. $f$ çift fonksiyonsa $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$'tir; bu yüzden $\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

$f$'nin $[a, b]$ üzerindeki ortalama değeri $\frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx$'tir. $[0, 3]$ üzerinde $x^2$ için bu $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$'tür: yüksekliği 3 ve genişliği 3 olan dikdörtgen, parabolün altındaki bölgeyle aynı alana sahiptir.

Değişken değiştirme farklı işler

Belirsiz integralde değişken değiştirir, integral alır, sonra başlangıçtaki değişkene geri dönersiniz. Belirli integralde ise sınırları yeni değişken için yeniden hesaplayabilir ve geri dönüşümü hiç yapmayabilirsiniz.

Sık yapılan bir hata, $x$'e göre eski sınırları koruyarak $u$'ya geçmektir. Ya sınırları yeniden hesaplayın ya da yerine koymadan önce $x$'e geri dönün, ama iki yolu asla karıştırmayın.

Nerede karşımıza çıkarlar: üst sınırı değişken integral

Üst sınırı değişken olan belirli integral bir fonksiyondur: $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$. Bu, $f$'nin belirli bir ilkel fonksiyonudur, yani $x = a$'da 0 değerini alan ilkel fonksiyon. Örneğin $\int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}$.

Temel teoremin birinci kısmı $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$ olduğunu söyler. Böylece, bu integralin elementer fonksiyonlarla bir formülü olmasa da $\frac{d}{dx}\int_1^x \cos(t^2)\,dt = \cos(x^2)$'dir. Üst sınırın kendisi bir fonksiyonsa zincir kuralı gereği bir çarpan ortaya çıkar: $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt = 2x\sin(x^2)$. Türev kuralları açıklamalı türev kuralları makalesinde toplanmıştır.

Genelleştirilmiş integraller

Sonsuz bir aralık üzerindeki ya da aralığın içinde sonsuza giden bir fonksiyonun belirli integraline genelleştirilmiş (has olmayan) integral denir ve bir limit olarak tanımlanır. Örneğin:

Böylece sonsuz uzunlukta bir bölgenin alanı sonlu olabilir. Buna karşılık $\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty}\ln b$ sınırsızca büyür: integral ıraksar. Bu karşılaştırma, serilerin yakınsaklık testleri makalesinde anlatılan integral testinin temelinde yatar.

Problemde ikisinden hangisi gerekir?

İntegral işaretinin sınırları olup olmadığına bakın ya da «…'dan …'ya», «arasında», «toplam», «alan» veya «ne kadar» gibi ifadeler arayın. Bunlar belirli integrale ve cevapta bir sayıya işaret eder. «Fonksiyonu bulun», «genel çözüm» ya da «ilkel fonksiyon» gibi ifadeler $+ C$'li belirsiz integrale işaret eder. $f(0) = 2$ gibi bir başlangıç değerinin verildiği problem, belirsiz integral ve ardından $C$'nin bulunmasını gerektirir.

Belirsiz integralleri adım adım hesaplamak için integral hesap makinesini, genelleştirilmiş integraller dahil bir aralık üzerinde hesaplamak için de belirli integral hesap makinesini kullanın.

Tek bir fonksiyon üzerinde ayrıntılı karşılaştırma

İki integral türünü aynı fonksiyon üzerinde incelerseniz karşıtlık somutlaşır. Bir depoya dakikada kaç litre su girdiğini gösteren bir fonksiyon alalım ve $t$ dakika sonra bunun $4t + 2$'ye eşit olduğunu varsayalım.

Belirsiz integral, $2t^2 + 2t + C$, depodaki su miktarını her an betimler, ama yalnızca bilinmeyen başlangıç miktarına kadar. Başlangıçta depoda 10 litre varsa $C = 10$'dur ve $t$ dakika sonraki hacim $2t^2 + 2t + 10$ litredir. Bu, herhangi bir zaman anı için hesaplanabilen bir fonksiyondur.

$t = 0$'dan $t = 5$'e kadar belirli integral ise başka bir soruyu yanıtlar: bu beş dakikada ne kadar su girdi? Cevap, başlangıçta depoda ne kadar su olduğundan bağımsız olarak $(50 + 10) - 0 = 60$ litredir. İlk cevap bir durum formülüdür; ikincisi bir değişim için tek bir sayı. Somut problemlerin çoğu iki türden birine açıkça aittir; yeter ki kendinize problemde bir andaki büyüklüğün mü yoksa bir aralıktaki toplamın mı gerektiğini sorun.

İki türde de sık yapılan hatalar

Belirsiz integrallerde en sık yapılan hata sabiti unutmaktır. Bu küçük bir ayrıntı gibi görünebilir, ama başlangıç değer probleminde bu yüzden tam da bulunması gereken şey kaybolur, diferansiyel denklemlerde ise koca bir çözüm ailesi ortadan kalkar. Bir başka hata, değişken değiştirdikten sonra sonucu yeniden başlangıçtaki değişkenle yazmamaktır.

Belirli integrallerde tipik hatalar yanlış sırayla çıkarmak, değişken değiştirdikten sonra eski ve yeni sınırları karıştırmak ve işaretli alanı toplam alan sanmaktır. Bir başka tuzak da fonksiyonun tanımsız olduğu bir noktanın üzerinden tek hamlede integral almaktır; örneğin $-1$'den 1'e kadar $\frac{1}{x^2}$. Formülü körü körüne uygulamak $-2$ verir; bu pozitif bir fonksiyon için imkânsızdır; aslında integral ıraksar, çünkü fonksiyon 0'da sonsuza gider. Temel teoremi uygulamadan önce integrandın tüm aralıkta sürekli olduğunu her zaman kontrol edin.

İki fikir nasıl bir araya gelir?

Belirsiz integrali bir araç, belirli integrali ise bir iş olarak düşünmek yararlıdır. İlkel fonksiyonu bulmak zor ve yaratıcı adımdır; bulunduğunda bu fonksiyonun herhangi bir aralıktaki her belirli integrali tek bir çıkarmayla elde edilir. Ders kitaplarının integral yöntemlerine bu kadar zaman ayırmasının nedeni budur; isabetle bulunmuş tek bir ilkel fonksiyonun alanlar, yollar ve birikim hakkındaki bir dizi soruyu birden yanıtlayabilmesinin nedeni de.

Sıkça sorulan sorular