Türev Nedir? Anlaşılır Bir Giriş

Ortalama değişim hızından anlık değişim hızına

Bir otomobil 2 saatte 120 km yol alırsa ortalama hızı saatte 60 km'dir. Bu sayı, hız göstergesinin belirli bir anda ne gösterdiği hakkında hiçbir şey söylemez: kırmızı ışıkta 0, otoyolda 100 olabilir. Türev, hız göstergesindeki değerin matematiksel karşılığıdır: bir aralıktaki değil, tek bir andaki değişim hızı.

Herhangi bir $f$ fonksiyonu için $x$ ile $x + h$ arasındaki ortalama değişim hızı, grafiğin bu iki noktasından geçen doğrunun, yani kesenin eğimidir. Bu kesre fark bölümü de denir:

Anlık hızı elde etmek için aralık daraltılır. $h$ 0'a giderken kesen döner ve teğete, yani grafiğe noktada yalnızca dokunan doğruya dönüşür. Kesenlerin eğimlerinin limiti türevin ta kendisidir.

Kesin tanım

$f$ fonksiyonunun $x$ noktasındaki türevi, şu limittir

— elbette var olması koşuluyla. O zaman $f$'nin $x$ noktasında türevlenebilir olduğu söylenir. Kesirde doğrudan $h = 0$ koyamazsınız: $\frac{0}{0}$ elde edilir. Bunun yerine ifade, $h$ paydadan kaybolana kadar dönüştürülür ve ancak ondan sonra limite geçilir. Limitler sizin için yeniyse limitler rehberimiz önce fikrin kendisini açıklar.

Gösterimler

Birkaç gösterim yan yana kullanılır ve hepsi aynı anlama gelir. Lagrange'ın üssüz gösteriminde $f'(x)$ yazılır. Leibniz gösteriminde $\frac{dy}{dx}$ ya da $\frac{d}{dx}f(x)$ yazılır: türevin küçük değişimlerin oranı olduğunu hatırlatır ve zincir kuralını doğal kılar. Fizikte zamana göre türev çoğu zaman bir noktayla gösterilir: $\dot{x}$.

İki kez türev almak ikinci türevi verir; $f''(x)$ ya da $\frac{d^2y}{dx^2}$ ile gösterilir. $s(t)$ konumsa $s'(t)$ hız, $s''(t)$ ise ivmedir.

Türev grafik hakkında ne söyler?

• $f'(x) > 0$ olan yerde fonksiyon artandır.
• $f'(x) < 0$ olan yerde azalandır.
• $f'(x) = 0$ olan yerde teğet yataydır; yerel maksimumlar ve minimumlar bu tür noktalarda (ya da $f'$'nin var olmadığı yerlerde) bulunur.
• $f''(x) > 0$ olan yerde grafik bir fincan gibi yukarı doğru açık, yani dış bükeydir; $f''(x) < 0$ olan yerde aşağı doğru açıktır.

Burada kullanılan kuvvet kuralı dahil, bu işi hızlandıran kurallar açıklamalı türev kuralları makalesinde toplanmıştır.

Fizikten bir örnek: düşen taş

Durgun hâlden bırakılan bir taş, hava direnci ihmal edilirse $t$ saniyede $s(t) = 4.9t^2$ metre düşer. $t = 1$ ile $t = 3$ arasında 4,9 m'den 44,1 m'ye kadar yol alır; bu yüzden ortalama hızı $\frac{44.1 - 4.9}{2} = 19.6$ m/s'dir.

Anlık hızı türevdir: $s'(t) = 9.8t$ m/s. $t = 2$'de 19,6 m/s'dir; bu, 1 ile 3 saniye arasındaki aralıktaki ortalama hıza tam olarak eşittir: ikinci dereceden bir fonksiyonda bir aralıktaki ortalama hız her zaman aralığın ortasındaki anlık hıza eşittir. İkinci türev $s''(t) = 9.8$ m/s², serbest düşmenin sabit ivmesidir.

Birimler her türevin iyi bir kontrolüdür. Metre cinsinden bir büyüklüğün saniye cinsinden zamana göre türevi saniyede metre ile ölçülür. Ekonomide toplam maliyetin lira cinsinden üretim miktarına göre türevi marjinal maliyettir ve birim ürün başına lira ile ölçülür.

Türev ne zaman yoktur?

Fark bölümünün limiti bir noktada yoksa fonksiyon orada türevlenemez. Grafikte bu dört biçimde ortaya çıkar:

• Köşe: $|x|$'in 0 noktasındaki gibi; soldaki eğim $-1$, sağdaki $+1$'dir.
• Sivri uç: $x^{2/3}$'ün 0 noktasındaki gibi; eğim zıt yönlerde sonsuz dikleşir.
• Düşey teğet: $\sqrt[3]{x}$'in 0 noktasındaki gibi; eğim sonsuzdur.
• Süreksizlik: örneğin bir sıçrama ya da bir delik.

Türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir: $f'(a)$ varsa $f$, $a$ noktasında süreklidir. Tersi doğru değildir; bunu $|x|$ gösterir: fonksiyon her yerde süreklidir ama 0'da bir köşesi vardır.

Türevin sayısal tahmini

Bir formül olmadığında, örneğin ölçüm verilerinde, türev küçük bir adımla tahmin edilebilir. Merkezî fark genellikle tek taraflı farktan daha doğrudur:

$f(x) = \sin x$ için $x = 0$ noktasında $h = 0.01$ ile $\frac{\sin 0.01 - \sin(-0.01)}{0.02} \approx 0.99998$ elde edilir; bu, kesin değer $\cos 0 = 1$'e çok yakındır. Grafik hesap makineleri ve elektronik tablolar bu tür tahminler kullanır. Türev hesap makinesi ise tersine sembolik olarak türev alır ve uygulanan her kuralı gösterir; limit hesap makinesi de limiti doğrudan tanımdan hesaplar.

Türevler neden gerekir?

«Ne kadar hızlı» ya da «en iyi değer hangisi» biçimindeki her soru bir türev sorusudur. Mühendisler en az malzeme harcayan ambalajın boyutlarını, yüzey alanının türevini sıfıra eşitleyerek bulur. Ekonomistler kârı en büyük yapan üretim miktarını, marjinal gelirin marjinal maliyete eşit olduğu noktada bulur. Tıpta bir ilacın kandaki derişiminin zamanla nasıl değiştiği modellenir ve türev onun ne zaman en yüksek değerine ulaştığını gösterir.

Makine öğrenmesi türevlere devasa ölçekte dayanır. Bir modeli eğitmek, bir hata ölçüsü azalacak şekilde milyonlarca parametreyi ayarlamak demektir; her parametrenin hangi yönde kaydırılacağını türev belirler ve bu yönteme gradyan inişi denir. Fizik neredeyse tamamen türevlerin diliyle ifade edilir: Newton'un ikinci yasası, kuvvetin kütle ile konumun ikinci türevinin çarpımına eşit olduğunu söyler.

Biraz tarih

Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz, on yedinci yüzyılın ikinci yarısında diferansiyel hesabı birbirinden bağımsız olarak geliştirdi. Newton zamanla akan büyüklükler üzerine düşünüyordu; Leibniz ise sonsuz küçük farklarla çalıştı ve onun $\frac{dy}{dx}$ gösterimi bugün çoğu ders kitabında kullanılır. İkisinin yöntemleri de mükemmel işliyordu, ama sonsuz küçükler hakkındaki belirsiz fikirlere dayanıyordu. Bu makalenin kullandığı limitlerle kesin tanım, on dokuzuncu yüzyılda, başta Augustin-Louis Cauchy ve Karl Weierstrass sayesinde ortaya çıktı ve sonunda bu alana sağlam bir temel kazandırdı.

Sıkça sorulan sorular