Taylor Serisi Hesap Makinesi

Q: Taylor serisi Maclaurin serisinden nasıl farklıdır?

Maclaurin serisi, merkezi 0 olan Taylor serisidir. Maclaurin polinomu elde etmek için a = 0 girin; başka herhangi bir merkez, (x − a)'nın kuvvetlerine göre genel bir Taylor polinomu verir.

Q: Hangi dereceyi seçmeliyim?

Probleminizdeki dereceyi alın. Aksi hâlde 2 ile 4 arası düşük dereceler fikri gösterir, daha yüksek dereceler ise merkez civarında daha fazla doğruluk sağlar. Hesap makinesi 0 ile 12 arasındaki dereceleri kabul eder.

Q: Polinomumda neden bazı kuvvetler eksik?

Katsayıları sıfırdır. 0 civarında sin x gibi tek fonksiyonlar yalnızca tek kuvvetleri, cos x gibi çift fonksiyonlar yalnızca çift kuvvetleri içerir. Katsayısı sıfır olan terimler sonuç polinomunda gösterilmez.

Q: Doğal logaritma nasıl girilir?

log(x) yazın; hesap makinesi log'u doğal logaritma ln olarak anlar. ln x'in 0 civarında açılamayacağını unutmayın; bu yüzden a = 1 gibi bir merkez kullanın.

Q: Hata değeri neyi gösterir?

Seçtiğiniz x noktasında fonksiyonun kesin değeriyle polinomun değeri arasındaki farkı. Küçük bir hata, polinomun o noktada fonksiyonun yerini iyi tuttuğu anlamına gelir.

Q: Hesap makinesi bazı fonksiyonları neden reddediyor?

Taylor polinomu, fonksiyonun ve türevlerinin açılım merkezinde var olmasını gerektirir. Bunlardan biri tanımsızsa, örneğin 0'da |x| veya √x için olduğu gibi, hesap makinesi soruna yol açan türevi belirtir ve başka bir merkez önerir.

Q: Açılım merkezi π/4 gibi irrasyonel bir sayı olabilir mi?

Evet. pi/4 veya benzeri bir değer girin. Katsayılar √2 gibi sabitlerin basit katlarıysa kesin olarak, değilse ≈ işaretli bir ondalık sayı olarak gösterilir.

Q: 1. dereceden Taylor polinomu teğet midir?

Evet. T₁(x) = f(a) + f′(a)(x − a), x = a'daki teğetin ta kendisidir; buna f'nin doğrusal yaklaşımı ya da doğrusallaştırması da denir.

Q: Taylor polinomu Taylor serisinden nasıl farklıdır?

Taylor polinomu sonlu sayıda terimden sonra kesilir ve bir yaklaşımdır. Taylor serisi sonsuza dek sürer ve yakınsaklık aralığında fonksiyona tam olarak eşittir. Bu hesap makinesi seçtiğiniz dereceden polinomu oluşturur.

Taylor serisi hesap makinesi hakkında

Taylor polinomu karmaşık bir fonksiyonun yerine, seçilen bir noktanın yakınında ona çok benzeyen basit bir polinom koyar. Hesap makineleri $\sin x$ ve $e^x$ 'i hesaplamak için bu fikri kullanır, fizikçiler «küçük açılar için $\sin\theta \approx \theta$ » dedikleri her seferde ona başvurur, mühendisler de onun yardımıyla aksi hâlde incelenemeyecek sistemleri doğrusallaştırır. Bu, tüm analizin en kullanışlı fikirlerinden biridir.

Hesap makinesi polinomu tam olarak formülün öngördüğü şekilde oluşturur. Fonksiyonunuzun türevini sembolik türev modülüyle tekrar tekrar alır, her türevi açılım merkezinde hesaplar, ilgili faktöriyele böler ve terimleri bir araya getirir. Katsayılar rasyonel olduğu ya da $\sqrt2$ , $\pi$ veya $e$ gibi sabitlerin basit katları olduğu sürece kesin kalır: $0.1666667x^3$ değil, $\frac{x^3}{6}$ görürsünüz.

Bir x değeri girerseniz hesap makinesi polinomu o noktada hesaplar, fonksiyonun kesin değeriyle karşılaştırır ve hatayı verir; böylece yaklaşımın ne kadar iyi olduğu görülür. Polinom, hatasının Taylor formülünün öngördüğü hızda azaldığı kontrol edilerek doğrulanır; seçilen merkezde açılamayan fonksiyonlar ise bir açıklamayla reddedilir.

Taylor serisi nedir?

Bir $f$ fonksiyonunun $x = a$ noktası civarındaki Taylor serisi $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k$ sonsuz toplamıdır. Her terim, $f$ 'nin tek bir $a$ noktasındaki türevinden oluşturulur. $a = 0$ olduğunda, bu özel durumu sıkça kullanan Colin Maclaurin'in adıyla genellikle Maclaurin serisi denir.

Toplamı $(x - a)^n$ içeren terimden sonra keserseniz $T_n(x)$ ile gösterilen $n$ . dereceden Taylor polinomu elde edilir. Bu, $a$ noktasındaki değeri ve ilk $n$ türevi $f$ 'nin değeri ve türevleriyle çakışan, derecesi en fazla $n$ olan tek polinomdur. Ne kadar çok türev çakışırsa eğrinin biçimi o kadar iyi tekrarlanır; bu yüzden daha yüksek dereceler merkez civarında genellikle daha iyi yaklaşımlar verir.

Birçok fonksiyon için tam seri, $a$ çevresindeki bir aralıkta fonksiyona eşittir. $e^x$ , $\sin x$ ve $\cos x$ serileri tüm gerçel $x$ değerleri için yakınsar; $\ln x$ 'in 1 civarındaki serisi ise yalnızca $0 < x \le 2$ için yakınsar. Bu aralığın dışında polinom yine vardır, ama yeni terimler artık işe yaramaz ve yaklaşım iyileşmek yerine ciddi biçimde kötüleşebilir. Bu yüzden serinin nerede yakınsadığını bilmek, katsayılarını bilmek kadar önemlidir.

Taylor serisi hesap makinesi nasıl kullanılır?

Fonksiyonu x cinsinden yazın; örneğin e^x, sin(x), doğal logaritma için log(x) veya sqrt(x).
Açılım merkezi a'yı girin. Maclaurin polinomu için 0 yazın; 1, 4 veya pi/4 gibi değerler de kullanılabilir.
0 ile 12 arasında bir tam sayı olan n derecesini seçin.
İsterseniz polinomun yaklaşımını kesin değerle karşılaştırmak için bir x değeri girin.
Türev tablosunu, katsayıları ve sonuç polinomunu görmek için «Taylor polinomunu bul» düğmesine basın.

Formüller

n. dereceden Taylor polinomu

T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k

Lagrange biçiminde kalan terim

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}\ \text{burada } c \text{ şu ikisi arasındadır: } a \text{ ve } x

Üstel fonksiyon

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

Sinüs ve kosinüs

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots,\quad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

Geometrik seri

\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,\quad |x| < 1

Çözümlü örnek: 0 civarında eˣ, mertebe 4, x = 1'de

Örnek, $e^x$ için $a = 0$ civarında 4. dereceye kadar gerçek zamanlı hesaplanır ve ardından $x = 1$ 'deki yaklaşım bulunur. $e^x$ 'in tüm türevleri $e^x$ 'e eşittir ve $e^0 = 1$ 'dir; bu yüzden katsayılar basitçe $\frac{1}{k!}$ 'dir. Polinom $T_4(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}$ biçimindedir.

$x = 1$ 'de $T_4(1) \approx 2.708333333$ elde edilir; kesin değer ise $e \approx 2.718281828$ 'dir, yani hata yaklaşık 0,00995'tir. Bir sonraki terim $\frac{1}{120}$ yaklaşık 0,0083'tür ve bu, hatanın büyüklüğünü açıklar: kalanı ilk atılan terim belirler.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

T_{4}(x) = 1+ x+\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{x}^{3}}{6}+\frac{{x}^{4}}{24}

Probleminizi nasıl okuduk

Şu fonksiyon için 4. mertebeden Taylor polinomunu bulalım: f(x) = e^x; merkez: x = 0.

f(x) = {e}^{x},\ a = 0,\ n = 4

Adım adım çözüm

4. mertebeden Taylor polinomu, merkez: x = 0 (Maclaurin polinomu)
$T_{4}(x) = \sum_{k=0}^{4} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}(x - 0)^k$
Türevleri alıp merkezdeki değerleri hesaplayalım
$f^{(0)}(x) = {e}^{x} \Rightarrow f^{(0)}(0) = 1 \\ f^{(1)}(x) = {e}^{x} \Rightarrow f^{(1)}(0) = 1 \\ f^{(2)}(x) = {e}^{x} \Rightarrow f^{(2)}(0) = 1$
Türev almaya devam edelim
$f^{(3)}(x) = {e}^{x} \Rightarrow f^{(3)}(0) = 1 \\ f^{(4)}(x) = {e}^{x} \Rightarrow f^{(4)}(0) = 1$
Her değeri k! ile bölüp polinomu oluşturalım
$T_{4}(x) = 1+ x+\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{x}^{3}}{6}+\frac{{x}^{4}}{24}$
Polinomla şu değere yaklaşalım: f(1)
$T_{4}(1) \approx 2.708333333,\quad f(1) \approx 2.718281828,\quad |\text{hata}| \approx 0.00995$

Kullanılan formüller

Taylor polinomu
$T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$

Her katsayı, merkezdeki k-th türevin k! ile bölümüdür; bu yüzden polinom x = 0 noktasında f fonksiyonu ve onun ilk 4 türeviyle örtüşür. Merkezin yakınında f fonksiyonuna (x − a)^5 mertebesinde bir hatayla yaklaşır.

Doğrulama

Kontrol edildi: f(a + h) − Tₙ(a + h) hatası şu hızla küçülür: h^5 (h = 0.1 → 8.47e-8, h = 0.05 → 2.63e-9).

Ayrıntılı açıklama

Katsayılar nereden gelir?

$c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$ polinomunun $a$ noktasında $f$ ile çakışması gereksin. $x = a$ koymak $c_0$ dışındaki tüm terimleri yok eder; bu yüzden $c_0 = f(a)$ 'dır. Bir kez türev alıp $x = a$ koymak $c_1 = f'(a)$ 'yı bırakır. İki kez türev almak $2c_2 = f''(a)$ 'yı bırakır ve genel olarak $k!\,c_k = f^{(k)}(a)$ 'dır.

İspatın tamamı budur ve faktöriyelleri açıklar: $(x - a)^k$ 'nin $k$ kez türevi alınırken biriken sabitleri dengelerler. Hesap makinesi bunu her $k$ için $f^{(k)}(a)$ ve $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ değerlerini içeren bir tabloyla gösterir — elle hazırlayacağınız tablonun aynısıyla.

En sık kullanılan serilerdeki örüntüler

$\sin x$ için 0 civarında türevler $\sin, \cos, -\sin, -\cos$ döngüsünü izler ve bu döngü 0'da $0, 1, 0, -1$ değerlerini verir. Çift kuvvetlerin tüm katsayıları sıfırdır ve 7. dereceden polinom $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040}$ 'tür. Kosinüs ise tersine çift kuvvetler verir: 4. dereceye kadar $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ 'e eşittir.

$\ln x$ için 1 civarında $k$ . mertebeden türev $(-1)^{k+1}(k-1)!/x^k$ 'dir; bu yüzden katsayılar $\pm\frac1k$ 'dir ve seri $(x - 1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots$ biçimindedir. Bu örüntüleri tanıyan biri birçok seriyi tek bir türev almadan yazabilir ve onlarda yerine koyma yapabilir; örneğin $e^x$ serisinde $x$ yerine $-x^2$ koyabilir.

Yaklaşım ne kadar doğru?

Taylor formülü hatayı sınırlar. $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ kalan terimi, $a$ ile $x$ arasındaki bir $c$ için $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ 'e eşittir. Onu iki şey küçük yapar: $(x - a)^{n+1}$ 'in çok küçük olması için açılım merkezine yakınlık ve er geç her kuvveti geride bırakan paydadaki faktöriyel.

Karekök örneği ilk etkiyi gösterir. $\sqrt{x}$ için 4 civarındaki 3. dereceden polinom $2 + \frac{x-4}{4} - \frac{(x-4)^2}{64} + \frac{(x-4)^3}{512}$ 'dir. $x = 4.1$ 'de kesin değer olan 2,024845673'e karşılık yaklaşık 2,024845703 verir; yani hata yaklaşık $3\times10^{-8}$ 'dir, çünkü $0.1^4$ zaten çok küçüktür.

Merkezden uzakta durum farklıdır. $\frac{1}{1-x}$ için polinomlar $x = 0.1$ 'de iyi yaklaşır, ama $x = 2$ 'de işe yaramaz, çünkü seri yalnızca $|x| < 1$ için yakınsar. $x = 2$ 'de 5. dereceden polinom 63 değerini verir, fonksiyon ise $-1$ 'e eşittir: hata 64'tür ve her yeni terimle büyür. Hesap makinesindeki hata değeri bunu görünür kılar: aynı fonksiyonu aynı derecede yakın ve uzak bir noktada deneyip karşılaştırın.

Açılım merkezini seçmek

Fonksiyonun ve türevlerinin kolayca hesaplandığı ve yaklaşımın gerektiği yere yakın bir merkez seçin. $\sqrt{x}$ 'i 4 civarında açmak doğaldır, çünkü $\sqrt4 = 2$ kesindir. $\ln x$ 'i 0 civarında açmak imkânsızdır, çünkü fonksiyon orada tanımlı değildir; $|x|$ 'in 0 civarında açılımı da başarısız olur, çünkü orada türevlenebilir değildir. Hesap makinesi bu tür durumlarda anlamsız bir polinom vermek yerine nedenini açıklar.

Uygulamada Taylor polinomları

Küçük açı yaklaşımı $\sin\theta \approx \theta$ , sinüsün 1. dereceden Maclaurin polinomundan ibarettir ve hatası yaklaşık 14 dereceye kadarki açılar için %1'in altında kalır. Sarkacın salınım periyodu formülü, optikteki paraksiyel yaklaşım ve yaylar için Hooke yasası, Taylor açılımının yalnızca ilk terimi ya da ilk iki terimi tutularak elde edilir.

Taylor polinomları zor problemleri de kolaylaştırır. $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ gibi bir limit, $\cos x$ yerine $1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$ konur konmaz apaçık hâle gelir; $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ gibi elemanter ilkel fonksiyonu olmayan bir integral ise polinomun terim terim integrali alınarak yaklaşık hesaplanabilir.

Sık yapılan hatalar

Her türevi $k!$ 'ye bölmeyi unutmak.
Açılım merkezi sıfır değilken $(x - a)$ 'nın kuvvetleri yerine $x$ 'in kuvvetlerini yazmak.
Türevleri açılım merkezi $a$ yerine $x$ noktasında hesaplamak.
Yakınsaklık aralığının dışında bile daha fazla terimin yaklaşımı her zaman iyileştirdiğini sanmak.
Dereceyi sıfırdan farklı terimlerin sayısıyla karıştırmak; $\sin x$ 'in 7. dereceye kadar yalnızca dört terimi vardır.
Trigonometrik serilerde derece kullanmak; bu seriler yalnızca radyan cinsinden açılar için geçerlidir.

İpuçları

Açılım merkezini sizi ilgilendiren x değerlerinin yakınında seçin.
$e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ ve $\frac{1}{1-x}$ serilerini ezberleyin; diğer pek çoğu bunlardan yerine koymayla elde edilir.
Alterne serilerde hatayı ilk atılan terimle tahmin edin.
Polinomu hızlıca kontrol etmek için $T_n(a) = f(a)$ eşitliğini doğrulayın.
En basit doğrusal yaklaşım olan teğeti elde etmek için 1. dereceyi kullanın.
Aynı x için iki dereceyi karşılaştırın; sonuç neredeyse değişmiyorsa yaklaşım kararlı hâle gelmiştir.
Uyumun tam olarak nerede zayıfladığını görmek için fonksiyonun ve polinomunun grafiğini birlikte çizin.

Sıkça sorulan sorular

Taylor serisi Maclaurin serisinden nasıl farklıdır?