Kısmi Türev Hesap Makinesi

Kısmi türev hesap makinesi hakkında

Doğa bilimlerinde ve ekonomide büyüklüklerin çoğu birden fazla değişkene bağlıdır. Bir silindirin hacmi yarıçapa ve yüksekliğe, bir şirketin kârı fiyata ve reklam harcamalarına, bir odadaki sıcaklık ise üç koordinatın hepsine bağlıdır. Kısmi türev böyle bir fonksiyon hakkında kesin bir soruyu yanıtlar: diğer tüm değişkenler sabit tutulup yalnızca biri değişirse sonuç ne kadar hızlı değişir?

Hesap makinesi bu değişim hızlarını kesin olarak bulur. $x^2 y + \sin(xy)$ gibi bir fonksiyon yazın, bir değişken seçin; hesap makinesi diğer her harfi sabit kabul ederek toplam, sabit çarpan, kuvvet, çarpım ve zincir kurallarıyla terim terim türev alır. Her kural ayrı bir adım olarak gösterilir; böylece $y$ 'nin neden $\cos(xy)$ 'nin önünde kaldığını ve $4y$ gibi bir terimin $x$ 'e göre türev alınınca neden kaybolduğunu görürsünüz.

Yüksek mertebeden türevler de aynı şekilde bulunur. $x$ 'e göre ikinci kısmi türev için xx, önce $x$ 'e sonra $y$ 'ye göre alınan karma türev için xy yazın. Sonucu bir noktada hesaplamak için x = 1, y = 2 gibi bir nokta ekleyin. Her sonuç gösterilmeden önce bağımsız olarak kontrol edilir.

Kısmi türev nedir?

Bir $f(x, y)$ fonksiyonu için $\frac{\partial f}{\partial x}$ veya $f_x$ ile gösterilen $x$ 'e göre kısmi türev, $y$ sabit bir sayı kabul edildiğinde elde edilen olağan türevdir. Biçimsel olarak $f_x(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$ 'dir. Yuvarlak $\partial$ sembolü başka değişkenlerin de olduğunu ve onların sabit kabul edildiğini gösterir.

Geometrik olarak $f(x, y)$ 'nin grafiği bir yüzeydir. Onu $y =$ sabit düzlemiyle keserseniz bir eğri elde edilir ve $f_x$ bu eğrinin eğimidir. Benzer şekilde $f_y$ , $y$ yönündeki kesitin eğimidir. Birinci kısmi türevler birlikte, en hızlı artış yönünü gösteren $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ gradyanını oluşturur.

Kısmi türevler optimizasyonda (kritik noktalar, tüm birinci kısmi türevlerin sıfır olduğu noktalardır), fizikte (ısı denklemi, dalga denklemi ve Laplace denklemi onlarla yazılır), ekonomide (marjinal maliyet ve marjinal fayda) ve gradyanların her sinir ağının eğitimini yönlendirdiği makine öğrenmesinde karşımıza çıkar.

Kısmi türev hesap makinesi nasıl kullanılır?

Değişken olarak herhangi bir harfi kullanarak fonksiyonu yazın; örneğin x^2 y + sin(x y) veya x^3 y^2 + 4y. Harfler arasındaki boşluk veya * çarpma anlamına gelir.
İkinci alana türevin alınacağı değişkeni girin; örneğin x veya y.
Yüksek mertebeler için her türev alma işlemine sırayla bir harf yazın: f_xx için xx, f_xy için xy (önce x, sonra y) ve böyle devam edin.
İsterseniz türevi o noktada hesaplamak için her değişkenin değerini verin; örneğin x = 1, y = 2.
«Türev al» düğmesine basın ve her biri uygulanan kuralla etiketlenmiş adımları izleyin.

Formüller

Tanım

f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}

Karma türevlerin gösterimi

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}

Schwarz (Clairaut) teoremi

f_{xy} = f_{yx}\quad\text{ikisi de sürekliyse}

Gradyan vektörü

\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

Kısmi türevde zincir kuralı

\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot y

Çözümlü örnek: x²y + sin(xy) için ∂/∂x

Örnek, $x$ 'e göre türev alınırken $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$ için gerçek zamanlı olarak hesaplanır. $y$ sabitken birinci terim $x^2$ ile çarpılmış bir sabittir; bu yüzden $2xy$ 'ye dönüşür. İkinci terim için zincir kuralı gerekir: $\sin u$ 'nun türevi $\frac{\partial u}{\partial x}$ ile çarpılmış $\cos u$ 'dur ve $u = xy$ için bu iç türev $y$ 'dir.

Parçaları toplayınca $2xy + y\cos(xy)$ elde edilir ve hesap makinesi ortak çarpanı dışarı alır: $f_x = y(2x + \cos(xy))$ . Dikkat edin: $y$ 'nin hiçbir zaman türevi alınmaz; onun yerindeki 5 sayısının davranacağı gibi davranır.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

\frac{\partial f}{\partial x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)

Probleminizi nasıl okuduk

Şu fonksiyonun f_x birinci kısmi türevini bulalım: f(x, y).

\frac{\partial f}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right]

Adım adım çözüm

Fonksiyonu ve türev alma sırasını belirleyelim
Türevi x değişkenine göre alalım; diğer tüm değişkenler (y) sabit kabul edilir.
$f = {x}^{2} y+\sin\left( x y\right)$
Toplam kuralı: her terimin türevini ayrı alın
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right] = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$
Zincir kuralı — d/dx[sin u] = cos u · u′
$\frac{\partial}{\partial x}\left[\sin\left( x y\right)\right] = \cos\left( x y\right) y$
Sabitle çarpım kuralı
$\frac{\partial}{\partial x}\left[ x y\right] = y$
Sabitle çarpım kuralı
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y\right] = 2y x$
Kuvvet kuralı: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
Sadeleştirelim: f_x
$f_{x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$

Kullanılan formüller

Tanım
$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$
Karışık kısmi türevler (Clairaut teoremi)
$f_{xy} = f_{yx}\ \text{ikisi de sürekliyse}$

Kısmi türev, yalnızca bir değişken değiştiğinde f ifadesinin nasıl değiştiğini gösterir: diğer değişkenler tam olarak sayı gibi ele alınır, bu yüzden alışılmış türev kuralları geçerlidir.

Doğrulama

Birkaç kontrol noktasında bağımsız bir sembolik türev sistemiyle karşılaştırıldı ✓

Ayrıntılı açıklama

Diğer değişkenleri sabit kabul ederiz

Her kısmi türevin tek fikri, türevi alınmayan değişkenlerin dondurulmuş olmasıdır. Bu alışılmadık geliyorsa önce onları belirli bir sayıyla değiştirin. $x = 2$ iken $x^3 y^2 + 4y$ 'nin $y$ 'ye göre türevini almak, $8y^2 + 4y$ 'nin türevini almaktır: sonuç $2 \cdot 8y + 4$ biçimindedir ve 8 yerine yeniden $x^3$ koyunca $f_y = 2x^3 y + 4$ elde edilir.

Hangi terimlerin kaybolduğunu da bu açıklar. Yalnızca dondurulmuş değişkenleri içeren bir terim sabittir; bu yüzden kısmi türevi sıfırdır. $f = x^2 + 3xy$ için $y$ 'ye göre kısmi türev $x^2$ 'yi tamamen yok sayar ve $f_y = 3x$ verir.

Bilinen kurallar geçerliliğini korur

Kısmi türev alma, tek değişkenli analizdekiyle tamamen aynı kuralları kullanır: kuvvet, toplam, sabit çarpan, çarpım, bölüm ve zincir kuralları. Değişen yalnızca hesabın takibidir. $x$ içeren iki çarpanın çarpımı, $x$ 'e göre türev alınırken çarpım kuralını gerektirir; çarpan yalnızca $y$ içeriyorsa ise o yalnızca sabit bir çarpandır.

En çok hata zincir kuralında yapılır. Bir fonksiyon $e^{xy}$ veya $\ln(x^2 + y^2)$ 'deki gibi birden fazla değişken içeren bir ifadeye uygulanıyorsa iç türev de kısmidir. Örneğin $\frac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y e^{xy}$ ve $\frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$ 'dir.

İkinci kısmi türevler ve karma türevler

Kısmi türevin bir kez daha türevini alınca ikinci kısmi türev elde edilir. İki değişkenli bir fonksiyonun dört ikinci kısmi türevi vardır: $f_{xx}$ , $f_{yy}$ ve karma türevler $f_{xy}$ ile $f_{yx}$ . Alt indisler soldan sağa okunur: $f_{xy}$ , önce $x$ 'e sonra $y$ 'ye göre türev almak demektir. $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ kesir gösterimi ise sağdan sola okunur ve aynı şeyi gösterir.

$f = x^2 y^3$ için önce $x$ 'e göre türev almak $2xy^3$ , ardından $y$ 'ye göre türev almak $f_{xy} = 6xy^2$ verir; bu, $(1, 2)$ noktasında 24'e eşittir. Ters sırayla önce $3x^2y^2$ , sonra yine $6xy^2$ elde edilir. Bu uyuşma Clairaut teoremi olarak da bilinen Schwarz teoremidir: ikinci kısmi türevleri sürekli olan fonksiyonlarda karma türev almanın sırası önemli değildir. Hesap makinesi bir karma türev hesapladığı her seferde bunu bir kontrol olarak gösterir.

İkinci kısmi türevlerin gayet somut uygulamaları vardır. $f(x, y)$ 'nin bir kritik noktası için ekstremumun yeterli koşulunda, Hessian matrisinin determinantı olan $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ büyüklüğü noktanın yerel maksimum, yerel minimum ya da eyer noktası olduğuna karar verir.

Bir noktadaki değer ve anlamı

Kısmi türevin kendisi tüm değişkenlerin bir fonksiyonudur; bu yüzden değeri nerede bulunduğumuza bağlıdır. $f = x^2 + 3xy$ için $f_x = 2x + 3y$ türevi $(1, 2)$ noktasında 8'e eşittir. Bu şu anlama gelir: bu noktanın yakınında $y = 2$ sabitken $x$ 'teki $\Delta x$ kadar küçük bir artış $f$ 'yi yaklaşık $8\,\Delta x$ kadar artırır.

Ölçü birimleri anlamı somutlaştırır. $V(r, h) = \pi r^2 h$ santimetreküp cinsinden bir silindirin hacmiyse $V_r = 2\pi r h$ , yarıçapın santimetresi başına santimetreküp cinsinden ölçülür ve yükseklik sabitken hacmin yarıçaptaki değişime ne kadar duyarlı olduğunu gösterir.

Sık yapılan hatalar

Sabit kabul edilmesi gereken değişkenin de türevini almak; örneğin $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy + x^2$ yazmak.
$x$ 'e göre türev alırken $4y$ gibi bir terimi bırakmak; bu bir sabittir ve türevi 0'dır.
Zincir kuralında iç kısmi türevi unutmak; örneğin $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)$ için $\cos(xy)$ yazmak.
$f_{xy}$ 'yi yanlış sırayla okumak; alt indislerin sırası türev almanın sırasıdır.
$y$ 'nin kendisi $x$ 'e bağlıyken $\frac{\partial f}{\partial x}$ 'i $\frac{df}{dx}$ tam türeviyle karıştırmak.

İpuçları

Neyin sabit sayıldığını unutursanız dondurulmuş değişkenleri zihninizde sayılarla değiştirin.
Sabitleri türev almadan önce dışarı alın; $x$ 'e göre türev alırken $x^2 y^3$ ifadesi yalnızca $x^2$ ile çarpılmış $y^3$ 'tür.
Schwarz teoremini ücretsiz bir kontrol olarak kullanın: $f_{xy}$ ve $f_{yx}$ 'i hesaplayıp karşılaştırın.
İki birinci kısmi türevi elde eder etmez $\nabla f$ 'yi yazın; uygulamaların çoğu tam gradyana ihtiyaç duyar.
İfadeler yönetilebilir kalsın diye ikinci türevi bulmadan önce birinci türevi sadeleştirin.
Fonksiyonun o yönde artıp artmadığını anlamak için kısmi türevin bir noktadaki işaretine bakın.

Sıkça sorulan sorular

İki değişkenli bir fonksiyon nasıl yazılır?

Değişkenler için harfleri, çarpma için boşluk veya * kullanın; örneğin x^2 y + sin(x y) veya x^2*y + sin(x*y). sin veya log gibi bir fonksiyon adı olmayan her harf değişken kabul edilir.

f_xx gibi bir ikinci kısmi türev nasıl alınır?

«Türevin alınacağı değişken» alanına her türev alma işlemi için değişkeni bir kez yazın: f_xx için xx, f_yy için yy. Hesap makinesi birkaç kez türev alır ve her adımı ayrı ayrı gösterir.

f_xy, f_yx'e eşit midir?

Ders programındaki fonksiyonların neredeyse tamamı için evet. Karma türevler sürekliyse Schwarz teoremi bunu garanti eder. Hesap makinesi uyuştuklarını görmeniz için karşılaştırmayı gösterir.

∂ sembolü ne anlama gelir?

Kısmi türevlerde kullanılan yuvarlak bir d'dir. Fonksiyonun birkaç değişkeni olduğunu ve türev alınırken paydadaki dışında hepsinin sabit kaldığını gösterir.

Kısmi türevi bir noktada hesaplar mı?

Evet. İsteğe bağlı alana tüm değişkenlerin değerlerini girin; örneğin x = 1, y = 2. Hesap makinesi onları hazır türevde yerine koyar ve bir sayı verir; örneğin f_x = 2x + 3y, (1, 2) noktasında 8'e eşittir.

Üç değişkenle çalışır mı?

Evet. x y z veya x^2 + y z gibi bir fonksiyonun türevi harflerinden herhangi birine göre alınabilir. x y z için z'ye göre kısmi türev xy'dir.

Kısmi türev olağan türevden nasıl farklıdır?

Kurallar aynıdır; ama olağan türev tek bir değişkene ilişkindir, kısmi türev ise birkaç değişken arasından birini seçer ve diğerlerini sabit kabul eder. Sonuç tüm değişkenlerin bir fonksiyonu olarak kalır.

Gradyan nedir ve kısmi türevler onu nasıl oluşturur?

Gradyan, ⟨f_x, f_y⟩ gibi tüm birinci kısmi türevlerin oluşturduğu vektördür. Fonksiyonun en hızlı arttığı yönü gösterir ve uzunluğu bu en büyük artış hızına eşittir.

Kısmi türevim neden cevaptakinden farklı görünüyor?

Denk ifadeler farklı biçimlerde yazılabilir. Hesap makinesi bir çarpanı paranteze alabilir; örneğin 2xy + y cos(xy) yerine y(2x + cos(xy)) yazabilir ya da çarpanların yerini değiştirebilir. Uyuştuklarını görmek için iki biçimdeki parantezleri açın ya da onları aynı noktada hesaplayın.

Kısmi türev hesap makinesini deneyin

Çok değişkenli bir fonksiyon girin; her kuralın açıklamasıyla birlikte fx, fy veya herhangi bir karma türevi alın.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun