Adım Adım Kapalı Türev

Açık ve kapalı denklemler

Açık bir denklem $y$'yi doğrudan $x$'e bağlı bir formülle verir, örneğin $y = x^2 + 1$. Ancak birçok önemli eğri kapalı olarak, yani $x$ ile $y$'yi birbirine bağlayan bir denklemle betimlenir. $x^2 + y^2 = 25$ çemberi tanıdık bir örnektir. $y$'yi yalnız bırakırsanız iki fonksiyon elde edersiniz: üst yarı için $y = \sqrt{25 - x^2}$, alt yarı için $y = -\sqrt{25 - x^2}$; her birinin türevini ayrı ayrı almak ise yorucudur.

Başka eğrilerde, örneğin $x^3 + y^3 = 6xy$ ya da $e^y + xy = e$ için, $y$ elementer dönüşümlerle hiç yalnız bırakılamaz. Yine de grafiklerinin hemen her yerde bir teğeti vardır ve kapalı türev bu eğimleri bulmanın aracıdır. Yöntem tamamen zincir kurala dayanır: bu kural size henüz tam olarak oturmadıysa açıklamalı türev kurallarını gözden geçirin.

Dört adımlı yöntem

1. Denklemin iki tarafının da $x$'e göre türevini alın.
2. $y$ içeren bir terimin türevini her aldığınızda $\frac{dy}{dx}$ ile çarpın, çünkü $y$, $x$'in bir fonksiyonudur ve zincir kuralı geçerlidir.
3. $\frac{dy}{dx}$ içeren tüm terimleri bir tarafa, geri kalan her şeyi diğer tarafa taşıyın.
4. $\frac{dy}{dx}$'i ortak çarpan parantezine alın ve yalnız bırakmak için bölün.

Adım 2'nin özü, zincir kuralından gelen şu özdeşliktir; burada $f$ türevlenebilir herhangi bir fonksiyondur:

Bu yüzden $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\,\frac{dy}{dx}$ ve $\frac{d}{dx}e^y = e^y\frac{dy}{dx}$. $xy$ gibi çarpımlar ayrıca çarpım kuralını gerektirir: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$.

Örnek: çember

Kapalı sonucun iki yarı için de aynı anda geçerli olduğuna dikkat edin: $(3, -4)$ noktasında eğim $+\frac{3}{4}$'tür. Formül ayrıca teğetlerin nerede yatay olduğunu — $x = 0$ iken $(0, 5)$ ve $(0, -5)$ noktalarında — ve nerede düşey olduğunu — $y = 0$ iken $(5, 0)$ ve $(-5, 0)$ noktalarında — gösterir. Sonuç yalnızca $x$'i değil $y$'yi de içerir ve kapalı türev için bu normaldir: bir sayı elde etmek için yalnızca bir $x$ değeri değil, eğri üzerinde bir nokta gerekir.

y'nin yalnız bırakılamadığı örnekler

İkinci türevler

$\frac{d^2y}{dx^2}$'yi elde etmek için birinci türevin kapalı türevini bir kez daha alın, sonra sonuca birinci türevin kendisini yerleştirin. Çember için $y' = -\frac{x}{y}$ ile başlayın ve bölüm kuralını uygulayın:

Son adım ifadeyi başlangıçtaki $x^2 + y^2 = 25$ denklemi yardımıyla sadeleştirir; bu sık işe yarayan bir yöntemdir. Sonuç $y > 0$ olan üst yarıda negatiftir, yani eğri orada aşağı doğru açıktır; alt yarıda ise pozitiftir, orada yukarı doğru açıktır; bu da çemberin şekliyle uyumludur.

Ters fonksiyonların türevleri

Kapalı türev, ters fonksiyonların türevlerinin nereden geldiğini açıklar. $y = \arctan x$ olsun. O hâlde $\tan y = x$. Türev almak $\sec^2 y\,\frac{dy}{dx} = 1$ verir; demek ki $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$.

Aynı yöntem $e^y = x$ olarak yeniden yazılan $y = \ln x$ için $e^y\frac{dy}{dx} = 1$ verir; buradan $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. Genel olarak ters fonksiyonun eğimi, ters fonksiyonlar makalemizin açıkladığı gibi, başlangıçtaki fonksiyonun karşılık gelen noktadaki eğiminin tersidir.

İlişkili hızlar

Değişkenler zamana bağlıysa aynı fikir $x$ yerine $t$'ye göre türev alındığında da işler. Her değişkenin kendi değişim hızı vardır.

Sık yapılan hatalar

• $y$ içeren bir terimin türevini alırken $\frac{dy}{dx}$ çarpanını unutmak.
• Çarpım kuralını uygulamak yerine $xy$'yi tek bir değişken saymak.
• Sağ taraftaki sabitin türevini, sanki değişkenmiş gibi almak; sabitin türevi 0'dır.
• Değişken büyüklükleri «dondurarak» türev almadan önce sayıları yerine koymak.
• Eğrinin üzerinde hiç bulunmayan bir nokta kullanmak. Noktayı her zaman önce kontrol edin.

Kapalı türev hesap makinesi tüm adımları uygular, türev içeren terimleri gruplar ve bir noktadaki eğimi hesaplayabilir. Açık fonksiyonlar için türev hesap makinesini kullanın.

Yöntem neden işe yarar?

Kapalı türev, ele alınan noktanın yakınında eğrinin, yazılamasa bile, gerçekten türevlenebilir bir $y(x)$ fonksiyonunun grafiği olduğunu varsayar. Bu fonksiyonu denkleme yerleştirirseniz denklem, noktanın yakınındaki tüm $x$'ler için doğru olan, $x$'e göre bir özdeşliğe dönüşür. Tüm $x$'ler için eşit olan iki ifadenin türevleri de eşittir: iki tarafın türevini alabilmemizin nedeni budur.

Varsayım yalnızca özel noktalarda, örneğin teğetin düşey olduğu ya da eğrinin kendisini kestiği yerlerde bozulur. Descartes yaprağı kendisini başlangıç noktasında keser ve türev formülü orada $\frac{0}{0}$ verir. Bu tür noktalarda eğri yerel olarak tek bir fonksiyonun grafiği değildir; bu yüzden tek anlamlı bir eğimi yoktur. Çok değişkenli fonksiyonların analizinde incelenen kapalı fonksiyon teoremi, varsayımın ne zaman kesinlikle sağlandığını tam olarak söyler.

Kısmi türevlerle kısa yol

Eğri $F(x, y) = 0$ olarak yazılabiliyorsa aynı akıl yürütmeden çıkan, eğim için kompakt bir formül vardır:

Burada $F_x$ ve $F_y$, bir değişkene göre türev alıp diğerini sabit sayarak elde edilen kısmi türevlerdir. Çember için $F = x^2 + y^2 - 25$, $F_x = 2x$ ve $F_y = 2y$ verir; böylece eğim önceden olduğu gibi $-\frac{x}{y}$'dir. Kısmi türev hesap makinesi $F_x$ ve $F_y$'yi sizin için hesaplar.

Çözümlü alıştırmalar

1. $x^2 - y^2 = 9$. Cevap: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
2. $xy = 12$, $(3, 4)$ noktasındaki eğim. Cevap: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$; orada $-\frac{4}{3}$'e eşittir.
3. $y^3 + y = x$. Cevap: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2 + 1}$; her zaman pozitiftir, yani eğri her yerde artandır.
4. $\cos y = x$. Cevap: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$; bu, arkkosinüsün türevine götürür.

Her sonucu kontrol edin: eğri üzerinde bir nokta seçin, eğimi komşu bir nokta yardımıyla sayısal olarak tahmin edin ve karşılaştırın.

Kapalı eğriler nerede karşımıza çıkar?

Kapalı denklemler uygulamada sık görülür. Elips ve hiperbol gibi konik kesitler doğal olarak kapalı biçimde yazılır. Ekonomide farksızlık eğrisi, tüketiciye aynı faydayı sağlayan iki malın miktarlarını birbirine bağlar; kapalı olarak bulunan eğimi ise marjinal ikame oranıdır, yani tüketicinin bir malı diğeriyle hangi oranda değiştirmeye hazır olduğu. Termodinamikte hâl denklemleri basıncı, hacmi ve sıcaklığı birbirine bağlar ve kapalı türev, biri değiştiğinde diğerinin nasıl değiştiğini gösterir. İki büyüklük bir formülle değil de bir bağıntıyla bağlı olduğunda bu yöntem birinin diğerine göre değişim hızını verir.

Sıkça sorulan sorular