Tam Kareye Tamamlama Hesap Makinesi — Adım Adım Tepe Noktası Biçimi

Tam kareye tamamlama hesap makinesi hakkında

Tam kareye tamamlama, $2x^2 - 8x + 3$ gibi bir ifadeyi $2(x - 2)^2 - 5$ ifadesine dönüştürür. İkinci biçim çok daha fazlasını anlatır: parabolün en alçak noktasının $(2, -5)$ olduğu, kollarının yukarı açıldığı ve ne kadar dar olduğu bir bakışta görülür. Kök formülü de tam bu dönüşümle elde edilir; çember ve elips denklemleri de standart biçime böyle getirilir.

Hesap makinesi, $0.5x^2 + 3x - 1$ örneğindeki gibi kesirler ve ondalık sayılar dahil her başkatsayıyı kabul eder. Bir ifade için tepe noktası biçimini ve tepe noktasını verir; $= 0$ veya başka bir değere eşitlenmiş bir denklem için çözümü tam köklere kadar götürür ya da parabol ekseni kesmiyorsa neden gerçek kök olmadığını açıklar.

Tam kareye tamamlanmış biçim nedir?

Tam kare, bir iki terimlinin karesine eşit olan üç terimlidir, örneğin $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ . Sabit terimi her zaman $x$ 'in katsayısının yarısının karesidir. Tam kareye tamamlarken ifadenin bir kısmının tam kare olması, yani toplamın veya farkın karesi formülüyle toparlanabilmesi için tam olarak bu sayı eklenip çıkarılır.

Böylece $a(x - h)^2 + k$ biçimi elde edilir. Bir kare hiçbir zaman negatif olmadığından $k$ , ifadenin en küçük ( $a > 0$ ise) veya en büyük ( $a < 0$ ise) değeridir ve $x = h$ noktasında alınır.

Tam kareye tamamlama hesap makinesi nasıl kullanılır?

2x^2 - 8x + 3 gibi ikinci dereceden bir üç terimli veya x^2 - 4x - 1 = 0 gibi bir denklem girin.
Katsayılar tam sayı, kesir veya ondalık sayı olabilir.
«Tam kareye tamamla» düğmesine basın. Hesap makinesi a, b ve c katsayılarını belirler, a katsayısını x'li terimlerden parantez dışına alır, ardından x'in katsayısının yarısının karesini ekleyip çıkarır.
Tepe noktası biçimini ve tepe noktasını okuyun. Bir denklem için karekök alma adımını tam çözümlere kadar izleyin.

Formüller

Tam kare

x^2 + bx + \left(\tfrac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2

Genel tepe noktası biçimi

ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}

Tepe noktası

(h, k) = \left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

Çözümlü örnek: 2x² − 8x + 3

Örnekte $2x^2 - 8x + 3$ tam kareye tamamlanır. $a = 2$ olduğundan hesap makinesi önce 2 katsayısını $x$ 'li terimlerden parantez dışına alır: $2(x^2 - 4x) + 3$ . $-4$ sayısının yarısı $-2$ , karesi ise 4'tür.

Parantez içinde 4 eklenip çıkarılınca $2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3 = 2(x - 2)^2 - 8 + 3$ elde edilir: tepe noktası biçimi $2(x - 2)^2 - 5$ , tepe noktası ise $(2, -5)$ olur.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

2(x - 2)^{2} - 5

Probleminizi nasıl okuduk

Tam kareye tamamlayarak ikinci dereceden ifadeyi tepe noktası biçiminde yazın.

Adım adım çözüm

a, b ve c katsayılarını belirleyin
a = 2, b = -8, c = 3
$2x^{2} - 8x + 3$
x'li terimlerden a = 2 katsayısını parantez dışına alın
$2\left(x^2 - 4x\right) + 3$
Doğrusal katsayının yarısını alıp karesini alın
-4 sayısının yarısı -2; karesi 4.
$\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$
Bu kareyi parantez içinde ekleyip çıkarın
4 eklemek tam kare bir üç terimli oluşturur; aynı sayıyı çıkarmak değeri değiştirmez (çıkarılan kısım parantezden çıkarken a = 2 ile çarpılır).
$2\left(x^2 -4x + 4\right) - 8 + 3$
Tam kareyi yazın ve sabitleri toplayın
$2(x - 2)^{2} - 5$
Tepe noktasını okuyun
a(x − h)² + k biçiminde tepe noktası (h, k) = (2, -5); simetri ekseni x = 2. a > 0 olduğundan parabolün kolları yukarı açılır ve k en küçük değerdir.

Kullanılan formüller

Tam kareye tamamlama
$ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$
Tepe noktası
$h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a}$

Tepe noktası biçimi: 2(x - 2)^2 - 5. Tepe noktası: (2, -5).

Doğrulama

2(x - 2)^2 - 5 açıldığında yeniden 2x^2 - 8x + 3 elde edilir.

Ayrıntılı açıklama

Neden katsayının yarısının karesi?

$(x + p)^2$ açılırsa $x^2 + 2px + p^2$ elde edilir. $x^2 + bx$ ile karşılaştırınca ortadaki terimlerin $2p = b$ , yani $p = b/2$ olduğunda eşleştiği, eksik sabit terimin de $p^2 = (b/2)^2$ olduğu görülür. Geometrik olarak $x^2 + bx$ , kenarı $x$ olan bir kare ve iki tane $x \times b/2$ dikdörtgendir; alanı $(b/2)^2$ olan küçük köşe karesi şekli büyük bir kareye tamamlar; adı da buradan gelir.

Başkatsayı 1 olmadığında

$a$ katsayısını yalnızca $x^2$ ve $x$ terimlerinden parantez dışına alın, sabit terimi dışarıda bırakın. Parantez içinde tam kareye tamamlayın ve çıkarılan kareyi parantezden dışarı alırken $a$ ile çarpın. Bu çarpmayı unutmak en sık yapılan hatadır: örnekte parantez içindeki $-4$ , dışarıda $-8$ olur.

$a$ negatifse parabolün kolları aşağı açılır ve tepe noktası bir maksimum noktasıdır. Hesap makinesi negatif katsayıyı da aynı şekilde dışarı alır; bu yüzden parantez içindeki işaretler değişir.

Tam kareye tamamlayarak denklem çözme

$x^2 - 4x - 1 = 0$ için tam kareye tamamlama $(x - 2)^2 = 5$ verir. İki tarafın karekökü iki işaretle de alınınca $x - 2 = \pm\sqrt5$ , yani $x = 2 \pm \sqrt5$ elde edilir. Aynı adımlar sayılar yerine harflerle tekrarlanırsa kök formülü ortaya çıkar.

$x^2 + 6x + 13 = 0$ denkleminden elde edilen $(x + 3)^2 = -4$ örneğindeki gibi sağ taraf negatifse gerçek kök yoktur. Hesap makinesi bunu bildirir ve $\sqrt{-4} = 2i$ kullanılarak bulunan $-3 \pm 2i$ karmaşık çiftini de gösterir.

Tepe noktası biçiminden grafik nasıl okunur?

Tepe noktası biçimi parabolü $y = x^2$ grafiğinin bir ötelemesi olarak anlatır. $h$ değeri eğriyi sağa (veya $h$ negatifse sola), $k$ yukarı veya aşağı kaydırır; $a$ ise onu dikey olarak uzatır ve negatifse yansıtır. Simetri ekseni $x = h$ dikey doğrusudur: $h$ değerinin iki yanında eşit uzaklıktaki noktaların y değerleri aynıdır.

Bu, kabataslak çizimi çok hızlandırır. $2(x - 2)^2 - 5$ için $(2, -5)$ tepe noktasını işaretleyin ve her iki yana bir birim gidin: y değeri $a \cdot 1^2 = 2$ artar ve $(1, -3)$ ile $(3, -3)$ noktaları elde edilir. Görüntü kümesi doğrudan okunur, $y \ge -5$ ; bu yüzden tepe noktası biçimi tanım ve görüntü kümesi sorularının doğal başlangıç noktasıdır.

Sık yapılan hatalar

$(b/2)^2$ değerini ekleyip sonra çıkarmamak; bu yüzden ifade değişir.
$b/2$ yerine $b$ sayısının karesini almak.
$a \ne 1$ olduğunda çıkarılan kareyi $a$ ile çarpmayı unutmak.
Denklem çözerken yalnızca pozitif kökü hesaba katmak.
$a(x + 3)^2 + k$ ifadesinin tepe noktasının $x = 3$ olduğunu sanmak; aslında $x = -3$ noktasındadır.

İpuçları

$x - h$ ifadesini açıkça yazın: $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ , dolayısıyla $h = -3$ olur.
Tepe noktası biçimini, parantezleri açıp genel biçime dönerek kontrol edin.
$b$ tekse ondalık sayılarla değil kesirlerle çalışın; 5 sayısının yarısı $\tfrac52$ olur.
Hızlı bir kontrol için bulduğunuz tepe noktasını $h = -b/(2a)$ ile karşılaştırın.

Sıkça sorulan sorular

Tepe noktası biçimi nedir?

İkinci dereceden bir üç terimlinin a çarpı (x eksi h) kare artı k biçiminde yazılışıdır. (h, k) noktası parabolün tepe noktasıdır; a ise kolların yönünü ve uzamayı belirler.

a, 1'e eşit değilse tam kareye nasıl tamamlanır?

a katsayısını x kare ve x terimlerinden parantez dışına alın, parantez içinde tam kareye tamamlayın ve çıkarılan sabiti parantezden dışarı alırken a ile çarpın.

Hangisi daha iyi: tam kareye tamamlama mı, kök formülü mü?

İkisi de aynı kökleri verir. Tam kareye tamamlama ayrıca grafik çizmeye yardımcı olan tepe noktasını da verir; kök formülü de tam olarak bu yöntemle kanıtlanır.

x'in katsayısı tekse ne yapmalı?

Kesirlerle çalışın. x kare artı 5x için 25/4 ekleyip çıkarın ve (x artı 5/2) kare eksi 25/4 ifadesini elde edin.

Tam kareye tamamlama karmaşık köklere götürebilir mi?

Evet. Kare negatif bir sayıya eşitse gerçek kök yoktur. Hesap makinesi bunu bildirir ve a artı eksi bi biçiminde karmaşık eşlenik bir kök çiftini de gösterir.

Bu yöntem çemberlere nasıl uygulanır?

x ve y için ayrı ayrı tam kareye tamamlanırsa x kare artı y kare eksi 4x artı 6y eşittir 3 gibi bir denklem, merkezin ve yarıçapın görüldüğü standart çember denklemine dönüşür.

Tam kareye tamamlama hesap makinesini deneyin

İkinci dereceden bir üç terimli girin; tepe noktası biçimini, tepe noktasını ve tam kökleri alın.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun