Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Рівняння вищих степенівАлгебраСтарша школа≈ 1:57

Розв’яжіть x⁵ - x = 0

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: x = -1, x = 0, x = 1; комплексний: ±i.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.8 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    x5−x=0{ x}^{5}- x = 0
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. x5−x=0{ x}^{5}- x = 0
      Записуємо початкове рівняння
    2. x5−x=0x^{5} - x = 0
      Переносимо всі члени в одну частину
    3. x4−1=0x^{4} - 1 = 0
      Перевіряємо кандидатів за теоремою про раціональні корені: x = 0 — корінь
    4. x3−x2+x−1=0x^{3} - x^{2} + x - 1 = 0
      Перевіряємо кандидатів за теоремою про раціональні корені: x = -1 — корінь
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. x2+1=0x^{2} + 1 = 0
      Перевіряємо кандидатів за теоремою про раціональні корені: x = 1 — корінь
    2. x2+1=0x^{2} + 1 = 0
      Розв'яжіть квадратне рівняння, що залишилося
    3. Δ=b2−4ac=02−4⋅1⋅1=−4\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4
      Обчислюємо дискримінант
    4. Δ < 0, тому дійсних коренів немає; два корені комплексно спряжені
  4. 4. Кроки, частина 3
    1. x=0±−42=0±2 i2x = \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{0 \pm 2\,i}{2}
      Застосовуємо формулу коренів квадратного рівняння при √(−1) = i
    2. x=±ix = \pm i
      Скорочуємо
    3. x=−1,x=0,x=1x = -1,\quad x = 0,\quad x = 1
      Виписуємо дійсні розв'язки
  5. 5. На графіку
    -4-3-2-11234-60-40-20204060x = -1x = 0x = 1
    Кожен розв'язок — це точка, де графік перетинає нуль.
  6. 6. Відповідь
    x=−1, x=0, x=1x = -1,\ x = 0,\ x = 1

    x = -1, x = 0, x = 1

  7. 7. Перевірка
    • x = -1: ліва частина = 0, права частина = 0 ✓
    • x = 0: ліва частина = 0, права частина = 0 ✓
    • x = 1: ліва частина = 0, права частина = 0 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: x у степені 5 мінус x дорівнює 0. Рівняння 5-го степеня відносно x.

Кроки, частина 1. Записуємо початкове рівняння. Переносимо всі члени в одну частину. Перевіряємо кандидатів за теоремою про раціональні корені: x дорівнює 0 — корінь. Ділення за схемою Горнера на (x мінус 0) дає многочлен степеня 4. Перевіряємо кандидатів за теоремою про раціональні корені: x дорівнює мінус 1 — корінь. Ділення за схемою Горнера на (x плюс 1) дає многочлен степеня 3.

Кроки, частина 2. Перевіряємо кандидатів за теоремою про раціональні корені: x дорівнює 1 — корінь. Ділення за схемою Горнера на (x мінус 1) дає многочлен степеня 2. Розв штрих яжіть квадратне рівняння, що залишилося. Обчислюємо дискримінант. дельта менше ніж 0, тому дійсних коренів немає; два корені комплексно спряжені.

Кроки, частина 3. Застосовуємо формулу коренів квадратного рівняння при квадратний корінь з мінус 1 дорівнює i. Скорочуємо. Виписуємо дійсні розв штрих язки.

На графіку. Тепер подивіться на графік лівої частини мінус правої частини. Він перетинає нуль саме в знайдених розв'язках.

Відповідь. Отже, відповідь: x дорівнює мінус 1, x дорівнює 0, x дорівнює 1; комплексний: плюс-мінус i. Многочлен 5-го степеня має рівно 5 коренів з урахуванням кратності (деякі можуть бути комплексними). Спочатку знаходяться точні раціональні корені, потім решта розв штрих язуються точно або наближено.

Перевірка. x дорівнює мінус 1: ліва частина дорівнює 0, права частина дорівнює 0, що правильно. x дорівнює 0: ліва частина дорівнює 0, права частина дорівнює 0, що правильно. x дорівнює 1: ліва частина дорівнює 0, права частина дорівнює 0, що правильно.

Схожі уроки

Розв’яжіть x⁵ - x = 0 — покроковий відеоурок