Побудова графіків функцій онлайн — функції, нерівності й точки

Q: Чи можна розв'язувати рівняння за допомогою графіка?

Так, наближено: побудуйте кожну частину й знайдіть абсциси точок, у яких криві перетинаються. Для точних відповідей використовуйте розв'язувач рівнянь.

Q: Чи працює вона на телефоні?

Так. Графік підлаштовується під розмір екрана, і його можна зсувати пальцем.

Q: Як знайти точку перетину двох кривих?

Введіть кожну функцію в окремому рядку й збільште масштаб біля точки перетину. Її абсциса розв'язує рівняння, отримане прирівнюванням двох функцій, а ордината — їхнє спільне значення в цій точці.

Про побудову графіків

Графік перетворює формулу на картинку: нулі функції стають точками перетину з віссю x, максимуми й мінімуми — вершинами й западинами, а асимптоти видно там, де крива йде в нескінченність.

Нерівності на зразок $y > 2x + 1$ зображуються зафарбованою областю: суцільна межа показує, що точки на прямій входять до розв'язку ( $\le$ , $\ge$ ), а пунктирна — що не входять ( $<$ , $>$ ). Точки на зразок $(3, 0)$ позначаються підписаними маркерами, що дуже зручно для перевірки нулів і точок перетину з осями.

Введіть до п'яти рядків одночасно, щоб порівняти їх. Програма дуже щільно обчислює кожну криву, розриває її в точках, де функція не визначена, і на вертикальних асимптотах, замість того щоб малювати хибні сполучні лінії, і миттєво перемальовує все під час масштабування чи зсуву.

Що таке побудова графіків?

Програма побудови графіків зображує множину точок, що задовольняють співвідношення. Для функції $y = f(x)$ вона обчислює $y$ для безлічі близько розташованих значень $x$ у всьому видимому вікні й сполучає їх у криву. Для нерівності вона зафарбовує всі точки площини, у яких вона правильна, а для списку точок просто позначає кожну пару координат.

Картинка відповідає на запитання, які важко розв'язати самою алгеброю: скільки розв'язків має рівняння, де вони приблизно розташовані, зростає функція чи спадає і як вона поводиться за дуже великих чи дуже малих $x$ . Програма працює повністю у вашому браузері: нічого з того, що ви вводите, нікуди не надсилається.

Як користуватися побудовою графіків

Введіть функцію від x, наприклад x^2 - 2x - 3 або sin(x). Можна почати з y = або f(x) =.
Нерівність розв'яжіть відносно y, наприклад y >= x^2 - 4 або y < 3 - x. Для вертикальної межі напишіть x < 2 або x >= -1.
Щоб позначити точки, запишіть їх у дужках через кому, наприклад (1, 2), (-3, 0.5).
Кнопкою «Додати рядок» додавайте нові рядки, щоб порівняти графіки різних кольорів.
Перетягуйте графік, щоб зсунути його, масштабуйте коліщатком миші або кнопками + і −, а кнопка «Скинути вигляд» поверне початковий вигляд.

Формули

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

y = mx + b

Рівняння параболи через вершину

y = a(x - h)^2 + k

Синусоїда

y = A\sin(Bx + C) + D

Розв'язаний приклад

Введіть, наприклад, $y = x^2 - 2x - 3$ . Крива — парабола з вітками вгору, бо коефіцієнт при $x^2$ додатний. Вона перетинає вісь x у точках $x = -1$ і $x = 3$ , нулях функції, оскільки $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$ . Вісь y вона перетинає в точці $-3$ , що дорівнює вільному члену, а її найнижча точка, вершина, розташована в $(1, -4)$ , рівно посередині між нулями. Додайте другий рядок $y < x^2 - 2x - 3$ : область під кривою зафарбується, а межа буде пунктирною.

Докладне пояснення

Як читати головні особливості кривої

Точки перетину $y = f(x)$ з віссю x відповідають дійсним розв'язкам $f(x) = 0$ , а точка перетину з віссю y — це $f(0)$ . Вершини й западини — локальні максимуми й мінімуми, у яких похідна перетворюється на нуль. Чи зростає крива необмежено далеко ліворуч і праворуч, чи наближається до горизонтальної прямої, показує її поведінка на нескінченності. Вертикальні асимптоти з'являються там, де знаменник дробово-раціональної функції перетворюється на нуль, наприклад $x = 2$ для $y = \frac{1}{x - 2}$ ; програма розриває там криву, а не малює хибну вертикальну лінію через розрив.

Перетворення графіків

Побудувати функцію поруч із її зміненою версією — найшвидший спосіб зрозуміти перетворення. Якщо додати $k$ ззовні, тобто $f(x) + k$ , крива зсунеться на $k$ одиниць угору. Якщо замінити $x$ на $x - h$ , вона зсунеться на $h$ одиниць праворуч. Множення на $a$ розтягує її по вертикалі, а від'ємне $a$ до того ж відбиває її відносно осі x. Спробуйте $y = x^2$ , $y = (x - 2)^2$ і $y = -x^2 + 3$ у трьох рядках, щоб побачити всі три ефекти одночасно.

Графічне розв'язування рівнянь і систем

Щоб розв'язати рівняння на зразок $2^x = x + 3$ , побудуйте кожну його частину в окремому рядку й знайдіть точки перетину; їхні абсциси і є розв'язками. Так само розв'язується система двох рівнянь із двома невідомими. Графік дає наближені значення: використовуйте його, щоб побачити, скільки розв'язків і де вони приблизно розташовані, а потім підтвердьте їх розв'язувачем рівнянь або калькулятором систем рівнянь, щоб отримати точні відповіді.

Типові помилки

Писати sin x без дужок; використовуйте sin(x).
Очікувати побачити $\sqrt{x}$ або $\ln x$ за від'ємних x; вони визначені лише за $x \ge 0$ і $x > 0$ відповідно.
Пропускати особливості через надто маленьке вікно; спочатку зменште масштаб, щоб побачити загальну форму.
Сприймати приблизну точку перетину, зчитану з графіка, як точну відповідь.

Поради

Будуйте дві частини рівняння як дві окремі функції; точки перетину — це розв'язки.
Порівнюйте $f(x)$ з $f(x) + k$ або з $f(x - h)$ , щоб наочно побачити зсуви.
Паралельно використовуйте калькулятор похідних, щоб перевірити, де крива зростає.
Збільшуйте масштаб біля точки перетину з осями чи двох кривих, щоб точніше зчитати її координати.
Позначайте поруч із кривою відому точку, щоб перевірити, чи справді крива через неї проходить.

Поширені запитання

Що можна побудувати?

Будь-яку функцію від x, складену з чисел, + − × ÷, степенів, коренів, показникових функцій, логарифмів, модуля, а також тригонометричних, обернених тригонометричних і гіперболічних функцій.

Скільки функцій можна побудувати одночасно?

До п'яти рядків. Кожен рядок — функція, нерівність або список точок, і малюється своїм кольором.

Як побудувати нерівність?

Запишіть її так, щоб y стояв сам в одній частині, наприклад y > 2x + 1 або y <= x^2. Область розв'язків зафарбовується; пунктирна межа до розв'язку не входить, а суцільна входить. Для вертикальної межі напишіть x < 3 або x >= -2.

Чи можна позначати точки?

Так. Введіть одну чи кілька точок у дужках, наприклад (2, 3) або (0, 0), (1, 1), (2, 4). Кожна точка малюється підписаним маркером, до 50 у рядку.

Як масштабувати й зсувати вигляд?

Масштабуйте коліщатком миші відносно вказівника або кнопками + і −, а перетягуйте, щоб зсунути вигляд. Кнопка «Скинути вигляд» повертає вікно від −10 до 10.

Чому крива має розриви?

Розриви з'являються там, де функція не визначена, наприклад $\sqrt{x}$ за $x < 0$ , або на вертикальних асимптотах, наприклад $x = 0$ для $\frac1x$ .

Чи можна розв'язувати рівняння за допомогою графіка?