Розв'язання квадратних рівнянь — формула коренів, дискримінант і корені

Q: Який вигляд має формула коренів квадратного рівняння?

Для ax^2 + bx + c = 0 корені дорівнюють x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a). Формула підходить для будь-якого квадратного рівняння, зокрема для тих, що не розкладаються на множники.

Q: Про що свідчить дискримінант?

Якщо b^2 - 4ac > 0, коренів два й вони різні; якщо він дорівнює 0, корінь один кратності два; якщо він від'ємний, корені комплексні і їх два.

Q: Чи видає калькулятор комплексні корені?

Так. За від'ємного дискримінанта корені записуються як p ± qi; для x^2 + 2x + 5 = 0 це -1 ± 2i.

Q: Як знайти вершину параболи?

Вершина розташована при x = -b/(2a); підставте це значення, щоб отримати ординату. Калькулятор показує обидві координати.

Q: Чому в квадратному рівнянні a не може дорівнювати нулю?

При a = 0 член з x^2 зникає, і рівняння стає лінійним, bx + c = 0, з не більш ніж одним розв'язком. До того ж формула потребувала б ділення на нуль, тому калькулятор вимагає ненульового a.

Про калькулятор квадратних рівнянь

Квадратне рівняння має вигляд $ax^2 + bx + c = 0$ , де $a \neq 0$ . Його графік — парабола, а корені — це точки, у яких вона перетинає вісь x.

Дискримінант $\Delta = b^2 - 4ac$ показує, яких коренів очікувати: двох дійсних, якщо він додатний, одного кореня кратності два, якщо він дорівнює нулю, і двох комплексно спряжених, якщо він від'ємний. Калькулятор залишає корені в точному вигляді: $2x^2 + 4x - 3 = 0$ дає $x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ .

Що таке квадратне рівняння?

Квадратне рівняння — це алгебраїчне рівняння другого степеня: найвищий степінь невідомого дорівнює $x^2$ . У стандартному вигляді його записують як $ax^2 + bx + c = 0$ , де $a$ , $b$ і $c$ — числа, причому $a$ не дорівнює нулю. Коефіцієнт $a$ визначає, наскільки широко розкрита парабола й куди напрямлені її вітки, угору чи вниз, $b$ зсуває її вбік, а $c$ — точка, у якій вона перетинає вісь y.

Оскільки графік $y = ax^2 + bx + c$ — парабола, він може перетнути вісь x двічі, торкнутися її один раз у вершині або зовсім її не досягти. Ці три випадки відповідають двом дійсним кореням, одному кореню кратності два й відсутності дійсних коренів, а дискримінант показує, який випадок перед нами, ще до обчислення коренів.

Як користуватися калькулятором квадратних рівнянь

Перетворіть рівняння так, щоб одна його частина дорівнювала 0.
Введіть коефіцієнти a, b і c. Допускаються звичайні й десяткові дроби.
Натисніть «Розв'язати», щоб побачити дискримінант, обидва корені, розкладання на множники й вершину параболи.

Формули

Формула коренів квадратного рівняння

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Дискримінант

\Delta = b^2 - 4ac

Вершина параболи

\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

Теорема Вієта

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Розв'язаний приклад: x² − 3x − 10 = 0

У розв'язаному прикладі розв'язується $x^2 - 3x - 10 = 0$ , тобто $a = 1$ , $b = -3$ і $c = -10$ . Дискримінант дорівнює $(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$ — додатний повний квадрат, тому коренів два й обидва раціональні. Формула дає $\frac{3 \pm 7}{2}$ , тобто $x = -2$ і $x = 5$ . Калькулятор також знаходить вершину $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ і розкладання $(x + 2)(x - 5)$ та за теоремою Вієта підтверджує, що сума коренів дорівнює 3, а їхній добуток −10.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

x_1 = -2,\quad x_2 = 5

Як ми зрозуміли вашу задачу

Розв'язуємо квадратне рівняння в стандартному вигляді за формулою коренів.

x^2 - 3x - 10 = 0

Покроковий розв'язок

Визначаємо коефіцієнти ax² + bx + c = 0
$x^2 - 3x - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 1,\ b = -3,\ c = -10$
Обчислюємо дискримінант
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$
Δ > 0, тому рівняння має два різні дійсні корені
Застосовуємо формулу коренів квадратного рівняння
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$
Спрощуємо кожен корінь
$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
Знаходимо вершину параболи
Вітки параболи напрямлені вгору, тому вершина — точка мінімуму.
$h = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2},\quad k = c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{49}{4}$
Розкладання на множники
$x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)$

Використані формули

Формула коренів квадратного рівняння
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Дискримінант
$\Delta = b^2 - 4ac$
Вершина
$\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)$

Дискримінант додатний, тому парабола перетинає вісь x у двох точках.

Перевірка

Підставляємо x = -2: 1·(-2)² + (-3)·(-2) + (-10) = 0
Підставляємо x = 5: 1·5² + (-3)·5 + (-10) = 0
Теорема Вієта: сума коренів = 3 = −b/a = 3; добуток = -10 = c/a = -10

Докладне пояснення

Три випадки дискримінанта

Якщо $\Delta > 0$ , квадратний корінь — дійсне число, і $\pm$ дає два різні корені. Якщо $\Delta$ до того ж повний квадрат, як 49 у прикладі, корені раціональні, і тричлен розкладається на множники з цілими коефіцієнтами; інакше в коренях залишається радикал, як у $2x^2 + 4x - 3 = 0$ з коренями $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ . Якщо $\Delta = 0$ , обидва корені збігаються: у $x^2 - 6x + 9 = 0$ один корінь $x = 3$ кратності два, і парабола лише торкається осі. Якщо $\Delta < 0$ , дійсних коренів немає, і калькулятор видає пару комплексних коренів, наприклад $-1 \pm 2i$ для $x^2 + 2x + 5 = 0$ .

Звідки береться формула

Формулу коренів отримують, виділяючи повний квадрат у загальному рівнянні. Поділивши на $a$ і перенісши $c$ в іншу частину, отримуємо $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$ ; додавши до обох частин $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ , перетворюємо ліву частину на повний квадрат: $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ . Добуваючи корінь і віднімаючи $\frac{b}{2a}$ , доходимо до формули. Це виведення пояснює й положення вершини: парабола симетрична відносно прямої $x = -\frac{b}{2a}$ , рівно посередині між двома коренями.

Як читати вершину й графік

Вершина — точка, у якій парабола змінює напрям. Її абсциса дорівнює $-\frac{b}{2a}$ , а підставивши це значення в рівняння, отримуємо ординату, яка при $a > 0$ є найменшим значенням, а при $a < 0$ — найбільшим. У прикладі вершина розташована в точці $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ , тому вираз $x^2 - 3x - 10$ ніколи не буває меншим за $-12.25$ . Саме тому квадратичні функції такі корисні в задачах на оптимізацію, наприклад щоб знайти найвищу точку польоту кинутого м'яча або ціну, за якої виторг максимальний.

Запис у вигляді $a(x - h)^2 + k$ дає ту саму інформацію безпосередньо: вершина розташована в точці $(h, k)$ .

Типові помилки

Використовувати $-b^2$ замість $b^2$ , коли $b$ від'ємне: $(-3)^2 = 9$ .
Ділити на $2a$ лише $-b$ , а не весь чисельник.
Вводити коефіцієнти, не перенісши попередньо всі члени в одну частину.
Забувати про ± і вказувати лише один корінь.
Вказувати комплексні корені, коли потрібні лише дійсні, або навпаки; уважно читайте умову.

Поради

Якщо $b$ парне, формула спрощується до $x = \frac{-b/2 \pm \sqrt{(b/2)^2 - ac}}{a}$ .
Перевіряйте корені за теоремою Вієта: їхня сума має дорівнювати $-\frac{b}{a}$ .
Якщо $\Delta$ — повний квадрат, тричлен розкладається на множники з цілими коефіцієнтами.
Спершу поділіть усі три коефіцієнти на спільний множник: корені не зміняться, а обчислення стануть простішими.
Вершина лежить рівно посередині між двома коренями, і це дає змогу швидко перевірити обидва.

Поширені запитання

Який вигляд має формула коренів квадратного рівняння?

Для $ax^2 + bx + c = 0$ корені дорівнюють $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ . Формула підходить для будь-якого квадратного рівняння, зокрема для тих, що не розкладаються на множники.

Про що свідчить дискримінант?

Якщо $b^2 - 4ac > 0$ , коренів два й вони різні; якщо він дорівнює 0, корінь один кратності два; якщо він від'ємний, корені комплексні і їх два.

Чи видає калькулятор комплексні корені?

Так. За від'ємного дискримінанта корені записуються як $p \pm qi$ ; для $x^2 + 2x + 5 = 0$ це $-1 \pm 2i$ .

Що буде при a = 0?

Тоді рівняння лінійне, а не квадратне. Скористайтеся калькулятором рівнянь або калькулятором розв'язання відносно x.

Як знайти вершину параболи?

Вершина розташована при $x = -\frac{b}{2a}$ ; підставте це значення, щоб отримати ординату. Калькулятор показує обидві координати.

Чому корені записано з радикалами, а не десятковими дробами?

Точні радикали зберігають повну точність і показують структуру відповіді. Заокруглений десятковий дріб наводиться поруч для орієнтиру.

Що означає корінь кратності два?

Дискримінант дорівнює нулю, і обидва корені — те саме число. Парабола торкається осі x у вершині, не перетинаючи її, як у $x^2 - 6x + 9 = 0$ з коренем $x = 3$ кратності два.

Коли розкладання на множники зручніше за формулу?

Розкладайте на множники, коли дискримінант — повний квадрат, а числа невеликі: тоді корені раціональні. Формула працює завжди, застосовуйте її, коли розкладання неочевидне.

Чому в квадратному рівнянні a не може дорівнювати нулю?

При $a = 0$ член з $x^2$ зникає, і рівняння стає лінійним, $bx + c = 0$ , з не більш ніж одним розв'язком. До того ж формула потребувала б ділення на нуль, тому калькулятор вимагає ненульового $a$ .

Спробуйте калькулятор квадратних рівнянь

Введіть a, b і c та отримайте дискримінант, точні корені, вершину параболи й розкладання на множники.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач

Калькулятор квадратних рівнянь