Калькулятор інтегралів

Вибір методу

Єдиного алгоритму для всіх інтегралів, придатного для ручної роботи, немає: усе мистецтво в тому, щоб розпізнати вигляд виразу. Почніть із лінійності: розбийте суму й винесіть сталі, потім скористайтеся таблицею інтегралів для степенів, показникових функцій, $\frac1x$ і тригонометричних функцій. Якщо одна частина підінтегральної функції — похідна іншої частини, спробуйте заміну змінної. Якщо це добуток двох функцій різного типу, наприклад многочлена й експоненти чи многочлена й синуса, спробуйте інтегрування частинами. Раціональні функції потребують розкладання на найпростіші дроби, а вирази вигляду $\frac{1}{x^2 + 1}$ приводять до обернених тригонометричних функцій.

Калькулятор пробує ці методи приблизно в тому самому порядку й називає той, що спрацював, — тож кроки допомагають обрати метод і наступного разу.

Заміна змінної крок за кроком

Заміна змінної обертає правило диференціювання складеної функції. У $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ внутрішня функція — $x^2$, а її похідна $2x$ стоїть множником, тому покладають $u = x^2$ і $du = 2x\,dx$. Інтеграл перетворюється на $\int \cos u\,du = \sin u$, а після повернення до початкової змінної отримуємо $\sin(x^2) + C$. Калькулятор показує кожен із цих рядків. Якщо похідна внутрішньої функції наявна лише з точністю до сталого множника, як у $x\cos(x^2)$, та сама заміна працює після поправки на $\frac12$.

Інтегрування частинами й табличний спосіб

Інтегрування частинами обертає правило диференціювання добутку: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. Як $u$ беріть множник, який спрощується під час диференціювання, зазвичай многочлен, а як $dv$ — множник, який легко інтегрується. Якщо $u$ — многочлен степеня $n$, після $n$ повторень він перетворюється на нуль, і табличний спосіб розкладає ці повторення у два стовпці. Тому приклад завершується за два рядки: похідна $x$ дорівнює 1, а потім 0.

Визначені інтеграли та межі інтегрування

Заповніть нижню й верхню межі, щоб перетворити задачу на визначений інтеграл. Калькулятор спочатку знаходить первісну, а потім застосовує формулу Ньютона — Лейбніца: для $\int_0^3 x^2\,dx$ він бере $F(x) = \frac{x^3}{3}$ і обчислює $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$. Межі можуть бути виразами на зразок pi/2. Якщо потрібне лише числове значення, калькулятор визначених інтегралів працює й тоді, коли елементарної первісної немає, бо обчислює площу чисельно.

Коли елементарної первісної немає

Первісні деяких простих на вигляд функцій, наприклад $e^{x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ і $\sqrt{1 + x^3}$, не можна записати як скінченну комбінацію многочленів, коренів, показникових функцій, логарифмів і тригонометричних функцій. Це доведений факт, а не невдача методу. Для таких функцій калькулятор повідомляє, що первісну не знайдено, замість того щоб її вигадувати, а визначений інтеграл на заданому відрізку однаково можна обчислити чисельно.

Так, калькулятор визначених інтегралів чисельно знаходить $\int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1.4627$ і зазначає, що результат наближений.

Навіщо потрібна стала інтегрування

Оскільки похідна будь-якої сталої дорівнює нулю, $\frac{x^3}{3}$, $\frac{x^3}{3} + 5$ і $\frac{x^3}{3} - 2$ мають ту саму похідну $x^2$. Їхні графіки відрізняються зсувом угору чи вниз, і $+ C$ описує всю цю сім'ю. Стала визначається, щойно з'являється додаткова умова — початкова. Якщо швидкість $v(t) = 2t$, а координата в момент 0 дорівнює 4, інтегрування дає $s(t) = t^2 + C$, і умова $s(0) = 4$ означає $C = 4$. У визначеному інтегралі стала скорочується в $F(b) - F(a)$, тому в числовій відповіді вона ніколи не з'являється.

Орієнтована й повна площа

Визначений інтеграл вважає площу над віссю x додатною, а під нею — від'ємною. За повний період $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$, хоча крива обмежує цілком додатну площу: дуга над віссю й западина під нею точно компенсують одна одну. Якщо в задачі питають повну площу між кривою та віссю, знайдіть точки зміни знака функції, проінтегруйте кожну частину окремо й додайте модулі. Для $\sin x$ на $[0, 2\pi]$ виходить $2 + 2 = 4$.

Та сама різниця трапляється в задачах про рух. Інтеграл швидкості дає переміщення, тобто підсумкову зміну координати, а інтеграл модуля швидкості — увесь пройдений шлях.

Як читати кроки

Кожен крок показує одне перетворення інтеграла: правило або рядок таблиці — у заголовку, формула — одразу під ним. Кроки, що використовують лінійність, розбивають задачу на менші інтеграли, які розв'язуються окремо й потім знову додаються, тому довга функція дає довший список коротких кроків, а не один великий стрибок. Під час заміни змінної рядок, що вводить $u$, показує й $du$ — саме там видно, чому метод працює. Останній крок для невизначеного інтеграла завжди додає сталу інтегрування, а для визначеного — підставляє межі.