Калькулятор границь онлайн — правило Лопіталя, однобічні границі та границі на нескінченності

Q: Що робить калькулятор границь, якщо підстановка дає 0/0?

Він розпізнає невизначеність і застосовує правило Лопіталя: диференціює чисельник і знаменник окремо, знову підставляє й повторює це, доки невизначеність не буде розкрито або метод не перестане допомагати.

Q: Як знайти однобічну границю?

Оберіть «Справа» для x → a⁺ або «Зліва» для x → a⁻. Однобічні границі важливі біля вертикальних асимптот, на межах області визначення, як у √x у 0, і для кусково заданих функцій або функцій із модулем.

Q: Як ввести границю на нескінченності?

Напишіть inf або -inf для мінус нескінченності в полі «x прямує до». Калькулятор порівняє головні члени, застосує правило Лопіталя й за потреби перейде до показникової форми.

Q: Що тут означає «границя не існує»?

Або лівобічна й правобічна границі різні, і тоді калькулятор називає обидва значення, або значення коливаються й ніколи не встановлюються ні на числі, ні на ±∞.

Q: Нескінченна границя — це те саме, що відсутність границі?

Строго кажучи, нескінченна границя не є дійсним числом, тож у дійсних числах границя не існує. Але сказати, що вона дорівнює +∞, точніше, бо це описує поведінку значень, і калькулятор вказує її саме так.

Q: Навіщо калькулятор перевіряє границі чисельно?

Символьні обчислення в тонких випадках можуть помилятися. Значення функції в послідовності точок, що наближаються до цілі, підтверджують результат, а якщо числа суперечать символьній відповіді, відповідь не виводиться.

Q: Чи розкриває він невизначеності вигляду 1 у степені нескінченність?

Так. Він перетворює степінь на добуток за допомогою логарифма, розкриває отриману невизначеність 0·∞ правилом Лопіталя й повертається до показникової функції; так доводиться, що (1 + 1/x)^x → e.

Q: Чи дорівнює границя значенню функції в цій точці?

Лише якщо функція в ній неперервна. Для (x² − 4)/(x − 2) границя при 2 дорівнює 4, хоча при x = 2 вираз не визначений.

Q: Чи обчислює він границі функцій двох змінних?

Ні. Калькулятор працює з однією змінною, зазвичай x. Границі функцій кількох змінних залежать від шляху наближення й потребують інших методів.

Про калькулятор границь

Границі — фундамент, на якому стоїть увесь математичний аналіз. Похідні — це границі різницевих відношень, інтеграли — границі сум, а збіжність ряду — границя часткових сум. І все ж саме в границях учні вперше зустрічають вирази на зразок $\frac00$ , які здаються безглуздими, і легко заплутатися, який метод підходить.

Калькулятор підходить до границі так, як це зробив би уважний учень. Спочатку він пробує безпосередню підстановку. Якщо виходить невизначеність, він називає її — $\frac00$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0\cdot\infty$ , $\infty - \infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ або $\infty^0$ — і застосовує відповідний метод: правило Лопіталя, запис добутку у вигляді частки, множення на спряжений вираз або логарифмування. Кожен крок показується разом зі знайденими похідними.

Потім кожен символьний результат порівнюється зі справжніми значеннями функції в точках, що дедалі ближче підходять до цілі. Якщо вони не збігаються, результат не виводиться; це захищає від помилок, які символьні прийоми іноді видають з оманливою впевненістю. Крім того, калькулятор знаходить однобічні границі й повідомляє, якщо границя не існує, бо границі зліва й справа різні.

Що таке границя?

Границя $f(x)$ при $x$ , що прямує до $a$ , — це значення, до якого $f(x)$ стає як завгодно близьким, коли $x$ близький до $a$ , але не дорівнює йому. Вона описує поведінку функції поблизу точки, а не її значення в цій точці. Функція навіть не мусить бути визначена в $a$ : $\frac{\sin x}{x}$ не визначена в 0, і проте її границя там дорівнює рівно 1.

Формально $\lim_{x\to a} f(x) = L$ означає: для будь-якого допуску $\varepsilon > 0$ знайдеться відстань $\delta > 0$ , така що $|f(x) - L| < \varepsilon$ щоразу, коли $0 < |x - a| < \delta$ . Інакше кажучи, $f(x)$ можна зробити як завгодно близьким до $L$ , якщо тримати $x$ досить близько до $a$ .

Границя може бути й нескінченною, $\lim f(x) = \infty$ , якщо значення необмежено зростають; крім того, $x$ може прямувати до $\pm\infty$ , що описує поведінку функції на великих відстанях і її горизонтальні асимптоти. Границя існує, лише якщо існують і рівні лівобічна й правобічна границі.

Як користуватися калькулятором границь

Запишіть функцію від x, наприклад sin(x)/x, (x^2-4)/(x-2) або (1+1/x)^x.
Введіть значення, до якого прямує x: число, дріб, pi, inf або -inf.
Оберіть двобічну границю, границю справа (x → a⁺) або зліва (x → a⁻).
Натисніть «Знайти границю», щоб побачити спробу підстановки, невизначеність і кожен крок її розкриття.
Прочитайте останній рядок: у ньому вказано границю, ±∞ або повідомлення, що границя не існує, з поясненням причини.

Формули

Правило Лопіталя

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\quad\text{при } \tfrac00 \text{ або } \tfrac{\infty}{\infty}

Перша чудова границя

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1

Означення числа e

\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac1x\right)^x = e

Невизначеності зі степенями

\lim f^{\,g} = e^{\lim g\,\ln f}

Однобічні границі

\lim_{x\to a} f(x) = L \iff \lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = L

Розв'язаний приклад: sin(x)/x, x → 0

Приклад обчислюється в реальному часі для $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}$ . Підстановка $x = 0$ дає $\frac00$ — невизначеність, тому калькулятор застосовує правило Лопіталя. Похідна чисельника дорівнює $\cos x$ , знаменника — 1. Повторна підстановка дає $\cos 0 = 1$ , отже, границя дорівнює 1.

Таблиця значень це підтверджує. При $x = 0.1$ частка приблизно дорівнює 0,99833, при $x = 0.01$ — приблизно 0,9999833: вона наближається до 1 знизу. Саме ця границя пояснює, чому похідна $\sin x$ дорівнює $\cos x$ , тому її варто впізнавати одразу.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{x} = 1

Як ми зрозуміли вашу задачу

Знайдемо границю sin(x) / x при x → 0.

\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{x}

Покроковий розв'язок

Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки).
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{1}$
Скорочуємо
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} \cos\left( x\right)$
Безпосередня підстановка
Вираз неперервний у точці x = 0, тому границя дорівнює його значенню в цій точці.
$\lim_{x \to 0} \cos\left( x\right) = \cos\left(0\right) = 1$

Використані формули

Правило Лопіталя
$\lim \frac{f}{g} = \lim \frac{f'}{g'}\ \text{при } \tfrac{0}{0} \text{ або } \tfrac{\infty}{\infty}$
Двостороння границя
$\lim_{x\to a} f = L \iff \lim_{x\to a^-} f = \lim_{x\to a^+} f = L$

Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов'язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка

Чисельні значення справа збігаються: f(0.01) = 0.99998333, f(0.001) = 0.99999983, f(0.0001) = 1, f(0.00001) = 1 ✓
Чисельні значення зліва збігаються: f(-0.01) = 0.99998333, f(-0.001) = 0.99999983, f(-0.0001) = 1, f(-0.00001) = 1 ✓

Докладне пояснення

Починайте з безпосередньої підстановки

Якщо функція неперервна в точці, границя — це просто її значення там, тому завжди починають із підстановки. Многочлени, показникові функції, синус і косинус неперервні на всій області визначення, а дробово-раціональні функції неперервні скрізь, де знаменник не перетворюється на нуль. Якщо підстановка дала звичайне число, задачу розв'язано.

Підстановка може виявити й нескінченну границю. Ненульове число, поділене на величину, що прямує до нуля, як $\frac1x$ поблизу 0, необмежено зростає. Знак тоді залежить від боку: калькулятор повідомляє $+\infty$ справа й $-\infty$ зліва, тому границя не існує.

Невизначеності й правило Лопіталя

Вирази на зразок $\frac00$ і $\frac{\infty}{\infty}$ називаються невизначеностями, бо їхній вигляд сам по собі нічого не каже про результат. $\frac{x^2}{x}$ , $\frac{x}{x}$ і $\frac{x}{x^2}$ у нулі дають $\frac00$ , а їхні границі дорівнюють 0, 1 і не існують. Потрібно дивитися, наскільки швидко чисельник і знаменник наближаються до своїх границь.

Саме це робить правило Лопіталя, порівнюючи швидкості зміни. Якщо обидві частини прямують до 0 або обидві до нескінченності, границя частки дорівнює границі частки похідних, якщо ця нова границя існує. Для $\frac{x^2-4}{x-2}$ при $x = 2$ похідні дорівнюють $2x$ і 1, тож границя дорівнює 4. Розкладання на множники й скорочення дають той самий результат, $x + 2 \to 4$ , що слугує перевіркою.

Іноді правило доводиться застосовувати кілька разів. $\frac{1-\cos x}{x^2}$ після першого застосування все ще має вигляд $\frac00$ ; друге дає $\frac{\cos x}{2}$ і границю $\frac12$ . Калькулятор повторює правило автоматично й зупиняється, коли вирази починають ускладнюватися, а не спрощуватися.

Добутки, різниці та степені

Правило Лопіталя застосовується лише до часток, тому інші невизначеності спочатку потрібно перетворити. Добуток $0 \cdot \infty$ стає часткою, якщо перенести один множник у знаменник у вигляді оберненої величини. Різницю $\infty - \infty$ із квадратним коренем, наприклад $\sqrt{x^2 + x} - x$ на нескінченності, множать на спряжений вираз; вона спрощується до границі $\frac12$ .

Невизначеності зі степенями $1^\infty$ , $0^0$ і $\infty^0$ розкривають логарифмуванням. Щоб знайти $\lim (1 + \frac1x)^x$ , візьміть натуральний логарифм: вийде $x \ln(1 + \frac1x)$ , невизначеність вигляду $\infty\cdot 0$ ; запишіть її як частку, застосуйте правило Лопіталя, щоб побачити, що логарифм прямує до 1, і поверніться до показникової функції. Результат — $e^1 = e \approx 2.718281828$ . Той самий метод показує, що $x^x \to 1$ при $x \to 0^+$ .

Границі на нескінченності й горизонтальні асимптоти

При $x \to \pm\infty$ дробово-раціональні функції визначаються старшими членами. Якщо степені чисельника й знаменника рівні, границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів: $\frac{3x^2 + 1}{5x^2 - x} \to \frac35$ . Якщо степінь знаменника більший, границя дорівнює 0; якщо більший степінь чисельника, функція необмежено зростає.

Ці границі точно відповідають горизонтальним асимптотам кривої. Показникові функції зрештою обганяють будь-який степінь, а логарифми зростають повільніше за будь-який додатний степінь: це ієрархія зростання, яку правило Лопіталя дає змогу зробити строгою.

Коли границя не існує

Границя не існує, якщо лівобічна й правобічна границі різні, як у $\frac{|x|}{x}$ у точці 0, де калькулятор повідомляє правобічну границю 1 і лівобічну границю $-1$ . Вона не існує й тоді, коли функція коливається, не заспокоюючись, як $\sin\frac1x$ поблизу 0. У цьому разі калькулятор пояснює, що значення не стабілізуються, а не вигадує число.

Нескінченна границя, строго кажучи, — ще один спосіб не існувати у вигляді дійсного числа, але вона несе більше інформації, тому вказується як $\infty$ або $-\infty$ разом із боком, до якого належить.

Типові помилки

Писати $\frac00 = 0$ або $\frac00 = 1$ ; це невизначеність, яка потребує подальшої роботи.
Застосовувати правило Лопіталя до границі, яка не має ні вигляду $\frac00$ , ні вигляду $\frac{\infty}{\infty}$ , як $\frac{x+1}{x}$ при 0.
Диференціювати весь дріб за правилом частки замість того, щоб диференціювати чисельник і знаменник окремо.
Вважати, що $1^\infty = 1$ ; границя $(1 + \frac1x)^x$ дорівнює $e$ , а не 1.
Робити висновок про існування границі, перевіривши лише один бік.
Обчислювати тригонометричні границі в режимі градусів калькулятора; $\frac{\sin x}{x} \to 1$ правильно лише в радіанах.

Поради

Завжди починайте з підстановки; багатьом границям більше нічого не потрібно.
Перш ніж застосовувати правило Лопіталя, спробуйте розкласти на множники й скоротити; часто це швидше.
У границях на нескінченності діліть кожен доданок на старший степінь x у знаменнику.
Обчисліть функцію в кількох точках поблизу цілі, щоб прикинути результат до обчислень.
Степені, показник яких містить змінну, записуйте у вигляді $e^{g \ln f}$ .
Накидайте або побудуйте графік функції, щоб побачити, чи збігаються обидва боки.

Поширені запитання

Що робить калькулятор границь, якщо підстановка дає 0/0?