Калькулятор алгебраїчних дробів

Про калькулятор алгебраїчних дробів

Алгебраїчні, або раціональні, дроби — це дроби, у яких чисельник і знаменник є многочленами, наприклад $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ . Вони поводяться як звичайні дроби: усе, що ви знаєте про скорочення, зведення до спільного знаменника й ділення на дріб, залишається чинним. Різниця в тому, що тепер треба розкладати многочлени на множники й стежити за значеннями $x$ , за яких знаменник перетворюється на нуль.

Калькулятор виконує п'ять дій з алгебраїчними дробами від однієї змінної: скорочення, додавання, віднімання, множення й ділення. Він розкладає всі чисельники й знаменники на множники над раціональними числами, за потреби знаходить спільний знаменник, скорочує спільні множники й указує недопустимі значення остаточної відповіді, про які часто забувають у розв'язаннях.

Що таке алгебраїчний дріб?

Алгебраїчний дріб — це відношення $\frac{P(x)}{Q(x)}$ двох многочленів, де $Q$ не є нульовим многочленом. При $Q(x) = 0$ він не визначений: його область допустимих значень — усі дійсні числа, крім коренів знаменника.

Два алгебраїчні дроби рівні, якщо збігаються в усіх точках, де обидва визначені. Скоротити дріб — означає замінити його рівним нескоротним дробом, чисельник і знаменник якого не мають спільного множника. Оскільки під час скорочення множник може зникнути зі знаменника, недопустимі значення початкового дробу треба явно зберегти.

Як користуватися калькулятором алгебраїчних дробів

Оберіть скорочення, додавання, віднімання, множення або ділення.
Введіть перший дріб у поле A, узявши чисельник і знаменник у дужки, наприклад (x^2 - 9)/(x^2 + 5x + 6).
Для чотирьох арифметичних дій введіть другий дріб у поле B, наприклад 2/(x + 1).
Натисніть «Обчислити» й стежте за кроками розкладання на множники, зведення до спільного знаменника й скорочення.
Запишіть відповідь разом із її недопустимими значеннями.

Формули

Скорочення

\frac{P\,R}{Q\,R} = \frac{P}{Q},\quad R \neq 0

Додавання за однакових знаменників

\frac{P}{D} + \frac{R}{D} = \frac{P + R}{D}

Множення

\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{PR}{QS}

Ділення

\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R},\quad R \neq 0

Розв'язаний приклад: Скоротити (x² − 9)/(x² + 5x + 6)

У прикладі дріб $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ скорочується до нескоротного. Калькулятор упізнає в чисельнику різницю квадратів, а в знаменнику — квадратний тричлен, що розкладається, і вони мають спільний множник $x + 3$ .

Після скорочення калькулятор указує два недопустимі значення: $-3$ і $-2$ . Значення $-3$ уже не перетворює на нуль скорочений знаменник, але було заборонене в початковому дробі, тому воно залишається виключеним.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

\frac{x - 3}{x + 2}

Як ми зрозуміли вашу задачу

Скорочуємо алгебраїчний дріб до нескоротного.

\frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+5x+6}

Покроковий розв'язок

Записуємо у вигляді одного дробу
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}$
Розкладаємо чисельник і знаменник на множники
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)}$
Скорочуємо спільний множник
Множник x + 3 є і в чисельнику, і в знаменнику. Його скорочення не змінює значення там, де початковий вираз визначений.
$\frac{x - 3}{x + 2}$
Указуємо виключені значення
Початковий вираз не визначений там, де будь-який знаменник (або дільник) дорівнює нулю: x ≠ -3, x ≠ -2. Ці обмеження зберігаються, навіть якщо множник скоротився.

Використані формули

Скорочення
$\frac{a\,c}{b\,c} = \frac{a}{b}\quad (c \neq 0)$

Після повного скорочення результат дорівнює (x - 3)/(x + 2). Виключені значення: x ≠ -3, x ≠ -2.

Перевірка

Спрощений вигляд порівняно з початковим у чотирьох пробних точках, значення збігаються.

Докладне пояснення

Додавання й віднімання

Щоб додати алгебраїчні дроби, їх зводять до спільного знаменника. Найменший спільний знаменник — добуток усіх різних множників знаменників, кожного в найбільшому степені, у якому він трапляється. Для $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$ спільний знаменник дорівнює $(x - 1)(x + 1)$ ; кожен чисельник множиться на додатковий множник, якого бракує його знаменнику, і виходить $\frac{(x + 1) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$ .

Віднімання влаштоване так само, але віднімається весь другий чисельник: візьміть його в дужки, перш ніж розкривати знак мінус. Після зведення подібних розкладіть новий чисельник на множники, щоб побачити, чи не скорочується якийсь множник зі спільним знаменником.

Множення й ділення

Для множення спільний знаменник не потрібен. Спершу розкладіть усе на множники, скоротіть кожен множник, що трапляється і в чисельнику, і в знаменнику, а потім перемножте решту. Скорочення до множення не дає многочленам розростатися.

Щоб поділити, помножте на дріб, обернений до другого. Це додає нове обмеження: чисельник дільника не може дорівнювати нулю, адже після перевертання він стає знаменником. $\frac{x}{x + 2}$ , поділене на $\frac{x - 1}{x + 2}$ , дає $\frac{x}{x - 1}$ з недопустимими значеннями $x \neq -2$ і $x \neq 1$ .

Чому важливі недопустимі значення

Недопустимі значення — не порожня формальність. Графік $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ виглядає як графік $\frac{x - 3}{x + 2}$ , але має виколоту точку при $x = -3$ і вертикальну асимптоту при $x = -2$ . Під час розв'язання дробово-раціональних рівнянь кандидат у розв'язки, що збігається з недопустимим значенням, не є справжнім розв'язком і має бути відкинутий.

Типові помилки

Скорочувати доданки замість множників, наприклад викреслювати $x$ у $\frac{x + 2}{x}$ .
Додавати чисельники й знаменники окремо: $\frac1x + \frac1y$ не дорівнює $\frac{2}{x + y}$ .
Під час віднімання забувати застосувати мінус до всього другого чисельника.
Втрачати недопустимі значення після скорочення спільного множника.
Під час ділення перевертати перший дріб замість другого.

Поради

Насамперед повністю розкладіть на множники всі чисельники й знаменники.
Залишайте спільний знаменник у вигляді добутку; якщо розкрити дужки надто рано, скорочувати стане важче.
До скорочення випишіть недопустимі значення всіх знаменників, зокрема чисельника дільника.
Перевіряйте відповідь, підставивши значення на зразок $x = 5$ у початковий і скорочений дріб.
Скористайтеся калькулятором області визначення й області значень, щоб побачити повну область визначення результату.

Поширені запитання

Як скоротити алгебраїчний дріб?

Повністю розкладіть чисельник і знаменник на множники, скоротіть спільні множники й укажіть значення x, що перетворюють на нуль початковий знаменник, як недопустимі.

Що таке недопустиме значення?

Значення змінної, за якого знаменник перетворюється на нуль, тож вираз у цій точці не визначений. Недопустимі значення початкового дробу залишаються недопустимими й після скорочення.

Як знайти спільний знаменник?

Розкладіть кожен знаменник на множники й перемножте всі різні множники, кожен у найбільшому степені, у якому він трапляється хоча б в одному знаменнику.

Чому не можна скоротити x у (x + 2)/x?

У чисельнику x — доданок, а не множник усього чисельника. Скорочувати можна лише множники, на які помножено весь чисельник і весь знаменник.

Як ділити алгебраїчні дроби?

Помножте перший дріб на дріб, обернений до другого, потім розкладіть на множники й скоротіть. Чисельник другого дробу додає нові недопустимі значення, бо стає знаменником.

Чи працює калькулятор із кількома змінними?

Калькулятор працює з алгебраїчними дробами від однієї змінної. Для многочленів від кількох змінних скористайтеся калькулятором спрощення виразів.

Чим виколота точка відрізняється від асимптоти?

Виколота точка виникає там, де множник скорочується між чисельником і знаменником. Вертикальна асимптота виникає там, де множник залишається в знаменнику після скорочення.

Спробуйте калькулятор алгебраїчних дробів

Скорочуйте, додавайте, віднімайте, множте й діліть алгебраїчні дроби з недопустимими значеннями на кожному кроці.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач