Калькулятор многочленів

Q: Які дії виконує калькулятор многочленів?

Розкриття дужок, додавання, віднімання, множення, ділення з часткою й остачею, обчислення значення при заданому x за схемою Горнера й пошук дійсних коренів.

Q: Як поділити многочлен на многочлен?

Оберіть ділення, введіть ділене як P і дільник як Q. Калькулятор виконає ділення кутом і покаже частку, остачу й результат у вигляді частки плюс остача, поділена на дільник.

Q: Про що каже теорема Безу?

Остача від ділення многочлена P на x мінус c дорівнює P(c). Тому обчислення значення многочлена в точці c — швидкий спосіб знайти остачу або перевірити, чи є c коренем.

Q: Чи показує калькулятор многочленів комплексні корені?

Ні. Режим коренів виводить лише дійсні корені й повідомляє, якщо їх немає. Раціональні корені точні, ірраціональні виводяться наближеними десятковими значеннями.

Q: Що таке схема Горнера?

Спосіб обчислити значення многочлена за допомогою вкладених множень, наприклад записавши ax у кубі плюс bx у квадраті плюс cx плюс d як ((ax + b)x + c)x + d. Вона потребує менше обчислень і призводить до меншої кількості помилок, ніж окреме обчислення кожного степеня.

Q: Що таке степінь многочлена?

Найбільший степінь змінної з ненульовим коефіцієнтом. Він обмежує кількість дійсних коренів і точок локального екстремуму, які може мати многочлен.

Q: Чи можна використовувати дроби як коефіцієнти?

Так. Звичайні й десяткові дроби перетворюються на точні дроби, і всі результати залишаються точними.

Про калькулятор многочленів

Многочлени — найпоширеніші функції в алгебрі: прямі, параболи, кубічні функції й усе, що будується з цілих невід'ємних степенів однієї змінної. Працюючи з ними, постійно повторюєш кілька дій: перемножити дві дужки, поділити на лінійний множник, підставити значення змінної або знайти корені. Усі вони механічні, але в многочленах із великою кількістю членів легко помилитися.

Калькулятор виконує сім дій із многочленами від однієї змінної: розкриття дужок, додавання, віднімання, множення, ділення, обчислення значення й пошук дійсних коренів. Коефіцієнти зберігаються як точні дроби: ділення дає точні частку й остачу, а раціональні корені виводяться точно, а не заокругленими десятковими дробами.

Що таке многочлен?

Многочлен від $x$ — це сума членів вигляду $a x^n$ , де кожен коефіцієнт $a$ — число, а кожен показник $n$ — ціле невід'ємне число. $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ — многочлен; $\frac1x$ і $\sqrt x$ — ні, бо їхні показники від'ємні або дробові.

Степінь — це найбільший показник із ненульовим коефіцієнтом, а старший коефіцієнт — коефіцієнт цього члена. Многочлен степеня $n$ має не більше ніж $n$ дійсних коренів, а його графік — не більше ніж $n - 1$ точок локального екстремуму, що допомагає передбачити вигляд відповіді ще до обчислень.

Як користуватися калькулятором многочленів

Оберіть дію: розкрити дужки, додати, відняти, помножити, поділити, обчислити значення або знайти корені.
Введіть перший многочлен P, наприклад 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5.
Для додавання, віднімання, множення й ділення введіть другий многочлен Q, наприклад x - 2.
Для обчислення значення введіть значення $x$ у додаткове поле.
Натисніть «Обчислити» й стежте за кроками; ділення кутом показує кожне ділення старших членів і кожне віднімання.

Формули

Ділення многочленів з остачею

P(x) = Q(x)\,S(x) + R(x),\quad \deg R < \deg Q

Теорема Безу

P(x) \div (x - c) \;\Rightarrow\; R = P(c)

Виділення лінійного множника

P(c) = 0 \iff (x - c) \text{ ділить } P(x)

Схема Горнера

a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = ((a_3x + a_2)x + a_1)x + a_0

Розв'язаний приклад: Поділити 2x³ − 3x² + 4x − 5 на x − 2

У прикладі $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ ділиться кутом на $x - 2$ . На кожному кроці калькулятор ділить старший член многочлена, що залишився, на $x$ , множить дільник на цей член і віднімає.

Три проходи дають частку $2x^2 + x + 6$ і остачу 7, а результат записується як $2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x - 2}$ . Як і передбачає теорема Безу, початковий многочлен при $x = 2$ теж дорівнює 7.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

2x^{2} + x + 6 + \frac{7}{x - 2}

Як ми зрозуміли вашу задачу

Ділимо P на Q кутом.

Покроковий розв'язок

Записуємо P у стандартному вигляді
Розкриваємо дужки й зводимо подібні члени: степінь 3, старший коефіцієнт 2, вільний член -5.
$P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + 4x - 5$
Записуємо Q у стандартному вигляді
степінь 1, старший коефіцієнт 1, вільний член -2
$Q(x) = x - 2$
Ділимо старші члени: (2x^3) ÷ (x) = 2x^2
Множимо Q на 2x^2 і віднімаємо. Нова остача: x^2 + 4x - 5.
$2x^{2}\cdot(x - 2)$
Ділимо старші члени: (x^2) ÷ (x) = x
Множимо Q на x і віднімаємо. Нова остача: 6x - 5.
$x\cdot(x - 2)$
Ділимо старші члени: (6x) ÷ (x) = 6
Множимо Q на 6 і віднімаємо. Нова остача: 7.
$6\cdot(x - 2)$
Зупиняємося, коли степінь остачі менший за степінь дільника
$\text{частка } 2x^{2} + x + 6,\quad \text{остача } 7$

Використані формули

Ділення з остачею
$P(x) = Q(x)\,q(x) + r(x),\; \deg r < \deg Q$

Q не ділиться на P націло: остача дорівнює 7.

Перевірка

Перевірка: Q·частка + остача дорівнює P.

Докладне пояснення

Множення й розкриття дужок

Щоб перемножити два многочлени, кожен член першого множать на кожен член другого, а потім зводять подібні доданки. У $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ шість добутків спрощуються до $x^3 + 1$ , суми кубів. Калькулятор показує повне розкриття дужок до зведення подібних, щоб жоден добуток не загубився: це звичне джерело помилок у довгих дужках.

Під час додавання й віднімання додаються чи віднімаються лише коефіцієнти при однакових степенях. Під час віднімання всі члени другого многочлена змінюють знак, тому калькулятор явно записує протилежний многочлен перед зведенням.

Ділення кутом і де воно застосовується

Ділення многочленів кутом влаштоване так само, як ділення чисел у стовпчик. Воно закінчується, коли степінь остачі строго менший за степінь дільника. Воно потрібне, щоб розкласти многочлен на множники, коли відомий один корінь, щоб спростити дробово-раціональні функції й щоб знайти похилі асимптоти: частка $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ дорівнює $x + 1$ , тому графік наближається до прямої $y = x + 1$ .

Ділення на лінійний множник $x - c$ можна скоротити за допомогою схеми Горнера, яка працює лише з коефіцієнтами. За теоремою Безу остача дорівнює $P(c)$ , і це дає швидкий спосіб перевірити результат.

Пошук коренів

У режимі коренів калькулятор спершу перевіряє раціональних кандидатів $\frac pq$ , де $p$ ділить вільний член, а $q$ — старший коефіцієнт. Кожен знайдений корінь виділяється як лінійний множник, і степінь знижується. Якщо залишається квадратний множник, він розв'язується через дискримінант, а незвідний множник вищого степеня, що залишився, розв'язується чисельно, і результат позначається як наближений. Для $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ корені 1, 2 і 3 точні; для $x^3 - 2$ єдиний дійсний корінь $\sqrt[3]{2} \approx 1.2599$ виводиться десятковим дробом.

Виводяться лише дійсні корені. Многочлен на зразок $x^2 + 2x + 5$ має від'ємний дискримінант, тому калькулятор повідомляє, що дійсних коренів у нього немає.

Типові помилки

Пропускати відсутній степінь під час ділення кутом; пишіть $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ , щоб стовпці стояли один під одним.
Віднімати під час ділення лише перший член замість усього добутку.
Забувати змінювати всі знаки під час віднімання многочлена.
Перемножувати показники під час множення членів замість того, щоб додавати: $x^2 \cdot x^3 = x^5$ .
Записувати остачу без дільника; $+7$ саме по собі — не те саме, що $+\frac{7}{x - 2}$ .

Поради

Перед будь-якою дією впорядковуйте обидва многочлени за спаданням степенів.
Перевіряйте ділення: помножте частку на дільник і додайте остачу.
Швидко перевіряйте можливий корінь за теоремою Безу: якщо $P(c) = 0$ , то $x - c$ — множник.
Побудуйте графік у побудовнику графіків, щоб знати, скільки дійсних коренів очікувати.
Скористайтеся калькулятором розкладання на множники, якщо многочлен треба записати у вигляді добутку.

Поширені запитання

Які дії виконує калькулятор многочленів?